AP2 Métodos Estatísticos I - Gabarito 2019.2

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Estat́ısticos I – 2/2019
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula e
Polo.
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja
de telefone celular ou de qualquer outro aparelho que
permita a conexão à internet.
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli-
cador.
• Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul ou preta
para registro das resoluções nas Folhas de Respostas.
• As Folhas de Respostas serão o único material considerado
para correção. Quaisquer anotações feitas fora deste espaço,
mesmo que em folha de rascunho, serão ignoradas.
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois
isto pode inviabilizar a digitalização e a correção.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
As peças produzidas em uma linha de produção são oriundas das máquinas B1, B2, B3 e B4. Os
percentuais de produção das peças pelas máquinas B1, B2 e B3 são, respectivamente, 30%, 20%
e 15%. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% das peças produzidas por cada
máquina, respectivamente, são defeituosas. Suponha que uma peça já acabada seja selecionada
aleatoriamente.
Questão 1 [1,0 ponto] Qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B4?
R:
Como todas as peças são produzidas pelas quatro máquinas, então:
P (B4) = 1− [P (B1) + P (B2) + P (B3)]⇒ P (B4) = 1− 0, 65 = 0, 35.
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Questão 2 [1,0 ponto] Qual a probabilidade que ele não apresente defeito?
R: Considere os seguintes eventos:
• D: o produto apresenta defeito
• N: o produto não apresenta defeito.
Temos então as seguintes probabilidades:
P (B1) = 0, 30 P (B2) = 0, 20 P (B3) = 0, 15 P (B4) = 0, 35
P (D|B1) = 0, 02 P (D|B2) = 0, 04 P (D|B3) = 0, 03 P (D|B4) = 0, 02
Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P (D) = P (B1)P (D|B1) + P (B2)P (D|B2) + P (B3)P (D|B3) + P (B4)P (D|B4)
= (0, 30× 0, 02) + (0, 20× 0, 04) + (0, 15× 0, 03) + (0, 35× 0, 02)
= 0, 006 + 0, 008 + 0, 0045 + 0, 007
= 0, 0255
Logo:
P (N) = 1− P (D) = 1− 0, 0255 = 0, 9745.
Questão 3 [1,0 ponto] Sabendo que a peça sorteada é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter
sido produzida pela máquina B4?
R: Pelo Teorema de Bayes,
P (B4|D) =
P (B4)P (D|B4)
P (D) =
0, 007
0, 0255 = 0, 2745.
Questão 4 [1,0 ponto] Um gerente está com a agenda lotada e pretende marcar uma reunião
com empresários. Para não perder o horário da reunião, resolve colocar três dispositivos de alarme
diferentes (D1, D2, D3) para despertá-lo. Sabendo que as probabilidades de falha de cada um dos
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dispositivos são, respctivamente, 0,02, 0,05 e 0,04, qual a probabilidade de ele não perder o horário
da reunião (ou seja, qual a probabilidade de pelo menos um dispositivo funcionar)?
R: Sejam os eventos:
• D1 : o dispositivo D1 funciona ⇒ D1: o dispositivo D1 falha.
• D2 : o dispositivo D2 funciona ⇒ D2: o dispositivo D2 falha.
• D3 : o dispositivo D3 funciona ⇒ D3: o dispositivo D3 falha.
Temos, então:
P (D1) = 0, 02 P (D1) = 0, 05 P (D1) = 0, 04
P (pelo menos um dispositivo funcione) = 1− P (nenhum dispositivo funcione)
= 1− P (D1 ∩D2 ∩D3)
= 1− [P (D1)P (D2)P (D3)]
= 1− (0, 02× 0, 05× 0, 04)
= 1− 0, 00004
= 0, 99996.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 5 A 8.
A tabela a seguir traz o resultado de uma pesquisa realizada em uma Universidade com alunos de
Graduação, Especialização, Mestrado e Doutorado sobre o tempo de uso dário de um Laboratório de
Informática:
Graduação Especialização Mestrado Doutorado Total
Tempo de uso diário (G) (E) (M) (D)
Menos de 1 hora (A) 320 200 150 80 750
Entre 1 e 4 horas (B) 260 180 170 90 700
Mais de 4 horas (C) 220 120 230 180 750
Total 800 500 550 350 2.200
De posse destas infromações e assumindo que um aluno será selecionado aleatoriamente, determine
a probabilidade de ele:
Questão 5 [0,5 ponto] Usar o Laboratório de Informática por pelo menos 1 hora por dia;
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R:
P (B ∪ C) = P (B) + P (C) = 7002.200 +
750
2.200 =
1.450
2.200 = 0, 659.
Questão 6 [0,5 ponto] Usar o Laboratório de Informática por mais de 4 horas por dia e ser aluno
de Graduação;
R:
P (C ∩G) = 2202.200 = 0, 1.
Questão 7 [0,5 ponto] Usar o Laboratório de Informática por menos de 1 hora por dia, dado que
é aluno de Mestrado;
R:
P (A|M) = P (A ∩M)
P (M) =
150/2.200
550/2.200 =
150
550 = 0, 2727.
Questão 8 [0,5 ponto] Usar o Laboratório de Informática por um peŕıodo entre 1 e 4 horas por
dia ou ser aluno de Doutorado.
R:
P (B ∪D) = P (B) + P (D)− P (B ∩D) = 7002.200 +
350
2.200 −
90
2.200 =
960
2.200 = 0, 43636.
Questão 9 [2,0 pontos] Uma urna contém 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. Três bolas serão
retiradas aleatoriamente, em sequência, desta urna. Seja X a variável aleatória: número de bolas
pretas obtidas. Obtenha a tabela de distribuição de probabilidades de X quando as retiradas são
feitas com reposição.
R: As retiradas com reposição são equivalentes à Distribuição Binomial de Probabilidades. Assim,
basta considerar os posśıveis valores que X pode assumir:
• X = 0 : se as três bolas retiradas forem brancas;
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• X = 1 : se uma bola retirada for preta e as outras duas forem brancas;
• X = 2 : se duas bolas retiradas forem pretas e a outra for branca;
• X = 3 : se as tês bolas retiradas forem pretas.
Como há 6 bolas pretas em um total de 10, então a probabilidade de sucesso será p = 610 = 0, 6 e
n = 3.
Assim, basta calcular as probabilidades de X assumir cada valor destes:
P (X = 0) =
(
3
0
)
(0, 6)0(0, 4)3 = 1× 1× 0, 064 = 0, 064.
P (X = 1) =
(
3
1
)
(0, 6)1(0, 4)2 = 3× 0, 6× 0, 16 = 0, 288.
P (X = 2) =
(
3
2
)
(0, 6)2(0, 4)1 = 3× 0, 36× 0, 4 = 0, 432.
P (X = 3) =
(
3
3
)
(0, 6)3(0, 4)0 = 1× 0, 216× 1 = 0, 216.
Assim, a tabela será:
x 0 1 2 3
p(x) 0,064 0,288 0,432 0,216
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESPONDER AS QUESTÕES DE 10 A 12.
O número de Smart TVs vendidas diariamente por um vendedor em uma loja de eletrodomésticos é
uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de probabilidades:
x 0 1 2 3 4 5
p(x) 0,3 0,4 0,2 0,07 0,02 0,01
Questão 10 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de em um dia serem vendidos exatamente 3 Smart
TVs?
R:
P (X = 3) = 0, 07.
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Questão 11 [0,5 ponto] Qual a probabilidade de em um dia serem vendidas pelo menos duas Smart
TVs?
R:
P (X ≥ 2) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 0, 2 + 0, 07 + 0, 02 + 0, 01 = 0, 3.
Questão 12 [1,0 ponto] Qual a quantidade esperada de venda de Smart TV?
R: Deseja-se a esperança.
E(X) = (0× 0, 3) + (1× 0, 4) + (2× 0, 2) + (3× 0, 07) + (4× 0, 02) + (5× 0, 01)
= 0 + 0, 4 + 0, 4 + 0, 21 + 0, 08 + 0, 05
= 1, 14.
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