Guia de COMO RESOLVER OS EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

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GUIA DE 
COMO RESOLVER OS EXERCÍCIOS DE 
 
 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
 
 
 
Autor: Professor George Hessel 
 
2 
 
PREFÁCIO 
 O trabalho que estou apresentando é fruto de toda a minha experiência de 20 anos 
como professor de Matemática Financeira, e considerando principalmente o contato 
direto com o aluno, oportunizando assim o conhecimento profundo de todos os seus 
anseios, suas dificuldades, seus objetivos, seus sonhos, suas esperanças. 
 Ao longo dos anos identifiquei quais as reais dificuldades da maioria dos alunos, 
para aprendizagem, ou seja, como resolver um exercício de Física. Sabemos que as 
questões podem ser teóricas ou práticas, mas são as questões práticas que efetivamente 
para o aluno se torna mais difícil sua solução, isto porque, além de ser necessário o 
conhecimento teórico do conteúdo, ainda tem que ser desenvolvido através da 
matemática. É interessante ressaltar que todos os exercícios contêm na primeira parte 
a aplicação direta da operação financeira, devendo ser aplicadas as fórmulas e equações 
correspondentes, e na segunda parte, é apenas o desenvolvimento matemático destas 
equações. Como parte de minha experiência, o aluno consegue muitas vezes resolver 
somente a primeira parte, não conseguindo resolver o exercício até o final em função 
de não conseguir resolver a segunda parte, simplesmente por deficiência no 
conhecimento da matemática. 
 Mas, mesmo que o aluno tenha razoável conhecimento da matemática, ainda 
assim ocorrem muitas dificuldades para resolver um exercício, considerando que os 
mesmos exigem vários passos que devem ser desenvolvidos obrigatoriamente, a ainda 
numa determinada sequência, pois é muito comum o aluno não saber como iniciar, 
assim como omitir ou seguir na ordem incorreta alguns dos passos, o que leva o aluno 
em alguma fase do exercício, impedir que o mesmo consiga dar continuidade no seu 
desenvolvimento. E é este o aspecto que vamos abordar no presente trabalho, ou seja, 
se o procedimento for correto, o aluno conseguirá com muito mais facilidade e 
segurança chegar até o final do exercício, ressaltando que se a resposta não for a 
correta, certamente foi por algum equívoco no cálculo matemático. 
 Ressalto que neste guia não tenho a intenção de explicar os conteúdos teóricos e 
práticos das operações financeiras, e tampouco as práticas da matemática, mas sim, 
somente o conteúdo específico do presente trabalho, ou seja, apresentar as 
ferramentas necessárias e sua correta utilização para auxiliar o aluno no 
desenvolvimento de qualquer exercício de Matemática Financeira. 
 Espero que este trabalho, que foi realizado com muita dedicação, auxiliem todos 
os alunos na aprendizagem da disciplina de Matemática Financeira, para que consigam 
obter a auto realização. 
 
 
3 
 
 
SUMÁRIO 
Prefácio ...................................................................................................................................... 2 
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 7 
CAPÍTULO 1 – ANÁLISE INDIVIDUAL .......................................................................................... 8 
1.1 APRESENTAÇÃO DO ROTEIRO ....................................................................................... 8 
1.1.1 Leitura do enunciado ........................................................................................... 8 
1.1.2 Coleta dos dados ................................................................................................. 8 
1.1.3 Ajuste das unidades (i) ........................................................................................ 8 
1.1.4 Ajuste das unidades de (n) .................................................................................. 8 
1.1.5 Fluxo de caixa ...................................................................................................... 8 
1.1.6 Fórmulas .............................................................................................................. 8 
1.1.7 Cálculo matemático ............................................................................................. 8 
1.2 APLICAÇÃO DO ROTEIRO .............................................................................................. 9 
1.2.1 Leitura do enunciado ........................................................................................... 9 
1.2.2 Coleta dos dados ................................................................................................. 9 
1.2.3 Ajuste das unidades (i) ........................................................................................ 9 
1.2.4 Ajuste das unidades de (n) .................................................................................. 9 
1.2.5 Fluxo de caixa ....................................................................................................10 
1.2.6 Fórmulas ..............................................................................................................10 
1.2.7 Cálculo matemático .............................................................................................10 
1.3 CÁLCULO COM A CALCULADORA HP 12c ......................................................................11 
 1.4 RESUMO DO ROTEIRO ...................................................................................................12 
 1.5 VÍDEO .............................................................................................................................12 
CAPÍTULO 2 – ANÁLISE GERAL .................................................................................................. 13 
 2.1 PORCENTAGEM ............................................................................................................ 13 
 2.1.1 Enunciado ............................................................................................................ 13 
 2.1.2 Dados ...................................................................................................................13 
 2.1.3 Ajuste do i ............................................................................................................13 
 2.1.4 Fórmulas ..............................................................................................................13 
 2.1.5 Cálculo .................................................................................................................13 
 2.1.6 Resumo do roteiro ...............................................................................................13 
 2.2 JUROS SIMPLES .............................................................................................................14 
 2.2.1 Enunciado .............................................................................................................14 
 2.2.2 Dados ...................................................................................................................14 
 2.2.3 Ajuste do i ............................................................................................................14 
 2.2.4 Ajuste do n ...........................................................................................................14 
 2.2.5 Fluxo de caixa .......................................................................................................14 
 2.2.6 Fórmulas ..............................................................................................................142.2.7 Cálculo ..................................................................................................................15 
 2.2.8 Resumo do roteiro ...............................................................................................15 
 2.3 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................15 
 2.3.1 Enunciado .............................................................................................................15 
 2.3.2 Dados ...................................................................................................................15 
 2.3.3 Ajuste do i ............................................................................................................15 
4 
 
 2.3.4 Ajuste do n ............................................................................................................ 15 
 2.3.5 Fluxo de caixa ....................................................................................................... 16 
 2.3.6 Fórmulas ............................................................................................................... 16 
 2.3.7 Cálculo .................................................................................................................. 16 
 2.3.8 Resumo do Roteiro ............................................................................................... 16 
 2.4 TAXAS EQUIVALENTES (SEM CAPITALIZAÇÃO) ............................................................ 16 
 2.4.1 Enunciado ............................................................................................................. 16 
 2.4.2 Dados .................................................................................................................... 16 
 2.4.3 Ajuste do i ............................................................................................................. 17 
 2.4.4 Fórmulas ............................................................................................................... 17 
 2.4.5 Cálculo .................................................................................................................. 17 
 2.4.6 Resumo do roteiro ................................................................................................ 17 
 2.5 TAXAS EQUIVALENTES (COM CAPITALIZAÇÃO) .......................................................... 17 
 2.5.1 Enunciado ............................................................................................................. 17 
 2.5.2 Dados .................................................................................................................... 17 
 2.5.3. Ajuste do i ............................................................................................................. 18 
 2.5.4 Fórmulas ............................................................................................................... 18 
 2.5.5 Cálculo .................................................................................................................. 18 
 2.5.6 Resumo do roteiro ................................................................................................ 18 
 2.6 RENDAS FINANCEIRAS COM PAG. IGUAIS (DESCAPITALIZAÇÃO ANTECIPADA) ........ 18 
 2.6.1 Enunciado ............................................................................................................. 18 
 2.6.2 Dados .................................................................................................................... 18 
 2.6.3 Ajuste do i ............................................................................................................. 19 
 2.6.4 Fluxo de caixa ........................................................................................................ 19 
 2.6.5 Fórmulas ............................................................................................................... 19 
 2.6.6 Cálculo .................................................................................................................. 19 
 2.6.7 Resumo do roteiro ................................................................................................ 19 
 2.7 RENDAS FINANCEIRAS COM PAG. IGUAIS (DESCAPITALIZAÇÃO POSTECIPADA) ....... 20 
 2.7.1. Enunciado ............................................................................................................. 20 
 2.7.2 Dados .................................................................................................................... 20 
 2.7.3 Ajuste do i ............................................................................................................. 20 
 2.7.4 Fluxo de caixa ........................................................................................................ 20 
 2.7.5 Fórmulas ............................................................................................................... 20 
 2.7.6 Cálculo .................................................................................................................. 21 
 2.7.7 Resumo do roteiro ................................................................................................ 21 
 2.8 RENDAS FINANCEIRAS COM PAG. IGUAIS (CAPITALIZAÇÃO ANTECIPADA) ...............21 
 2.8.1 Enunciado ............................................................................................................. 21 
 2.8.2 Dados .................................................................................................................... 21 
 2.8.3 Ajuste do i ............................................................................................................. 21 
 2.8.4 Fluxo de caixa ....................................................................................................... 22 
 2.8.5 Fórmulas ............................................................................................................... 22 
 2.8.6 Cálculo .................................................................................................................. 22 
 2.8.7 Resumo do roteiro ............................................................................................... 22 
 2.9 RENDAS FINANCEIRA COM PAG. IGUAIS (CAPITALIZAÇÃO POSTECIPADA) ............... 22 
 2.9.1 Enunciado ............................................................................................................. 22 
 2.9.2 Dados .................................................................................................................... 23 
 2.9.3 Ajuste do i ........................................................................................................ ..... 23 
 2.9.4 Fluxo de caixa ....................................................................................................... 23 
5 
 
 2.9.5 Fórmulas ............................................................................................................ 23 
 2.9.6 Cálculo ................................................................................................................ 23 
 2.9.7 Resumo do roteiro ............................................................................................. 23 
 2.10 DESCONTO SIMPLES ..................................................................................................24 
 2.10.1 Enunciado .......................................................................................................... 24 
 2.10.2 Dados ................................................................................................................. 24 
 2.10.3 Ajuste do i .......................................................................................................... 24 
 2.10.4 Ajuste do n ........................................................................................................ . 24 
 2.10.5 Fluxo de caixa ..................................................................................................... 24 
 2.10.6 Fórmulas ............................................................................................................ .. 24 
 2.10.7 Cálculo ............................................................................................................... 24 
 2.10.8 Resumo do roteiro ............................................................................................. 25 
 2.11 DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................ 25 
 2.11.1 Enunciado .......................................................................................................... 25 
 2.11.2 Dados ................................................................................................................. 25 
 2.11.3 Ajuste do i .......................................................................................................... 25 
 2.11.4 Fluxo de caixa .................................................................................................... 25 
 2.11.5 Fórmulas ............................................................................................................ 25 
 2.11.6 Cálculo ............................................................................................................... 26 
 2.11.7 Resumo do roteiro ............................................................................................. 26 
 2.12 INFLAÇÃO .................................................................................................................. 26 
 2.12.1 Enunciado .......................................................................................................... 26 
 2.12.2 Dados ................................................................................................................. 26 
 2.12.3 Ajuste do i .......................................................................................................... 26 
 2.12.4 Fórmulas ............................................................................................................ 26 
 2.12.5 Cálculo ............................................................................................................... 26 
 2.12.6 Resumo do roteiro ............................................................................................. 27 
 2.13 AMORTIZAÇÃO (TABELA PRICE) ............................................................................... 27 
 2.13.1 Enunciado .......................................................................................................... 27 
 2.13.2 Dados ................................................................................................................. 27 
 2.13.3 Ajuste do i .......................................................................................................... 27 
 2.13.4 Fórmulas ............................................................................................................ 27 
 2.13.5 Cálculo ............................................................................................................... 28 
 2.13.6 Resumo do roteiro ............................................................................................. 28 
 2.14 AMORTIZAÇÃO (TABELA SAC) ................................................................................. 29 
 2.14.1 Enunciado .......................................................................................................... 29 
 2.14.2 Dados ................................................................................................................. 29 
 2.14.3 Ajuste do i .......................................................................................................... 29 
 2.14.4 Fórmulas ............................................................................................................ 29 
 2.14.5 Cálculo ............................................................................................................... 29 
 2.14.6 Resumo do roteiro ............................................................................................. 30 
 3 – FORMULÁRIO ................................................................................................................. 31 
 3.1 Porcentagem ............................................................................................................... 31 
 3.2 Juros simples ............................................................................................................... 31 
 3.3 Juros compostos .......................................................................................................... 31 
 3.4 Taxas equivalentes (sem capitalização) ...................................................................... 31 
 3.5 Taxas equivalentes (com capitalização) ...................................................................... 31 
 3.6 Rendas financeiras (descapitalização antecipada) ...................................................... 31 
6 
 
 3.7 Rendas financeiras (descapitalização postecipada) .................................................... 31 
 3.8 Rendas financeiras (capitalização antecipada) ............................................................ 32 
 3.9 Rendas financeiras (capitalização postecipada) .......................................................... 32 
 3.10 Desconto simples ....................................................................................................... 32 
 3.11 Desconto composto ................................................................................................... 32 
 3.12 Inflação ..................................................................................................... ................. 32 
 3.13 Amortização (tabela Price) ......................................................................................... 32 
 3.14 Amortização (tabela SAC) .......................................................................................... 33 
 3.15 Amortização americana ............................................................................................. 33 
 3.16 Roteiro geral .............................................................................................................. 33 
 4 - ROTEIRO GERAL ........................................................................................................ ..... 34 
 5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................ 35 
 6 – SOBRE O AUTOR .............................................................................................................35 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 INTRODUÇÃO 
 
 As questões de Matemática Financeira poderão ser teóricas ou práticas. Quanto às 
questões práticas, as mesmas são constituídas de duas partes, sendo a primeira, 
referente ao conhecimento teórico propriamente dito, em que são utilizadas as 
fórmulas correspondentes, e a montagem das equações matemáticas, e a segunda parte 
referente ao desenvolvimento matemático destas equações. 
 Para resolver os exercícios há necessidade de dois tipos de conhecimentos: 
 - Conhecimento teórico das operações financeiras (teoria); 
 - Conhecimento da matemática básica (prática). 
 Evidentemente que, quanto maior são estes conhecimentos, mais preparado estará 
o aluno para iniciar a solução de um exercício. Mas mesmo que atenda estas duas 
condições, ainda será necessário o conhecimento de outro aspecto, ou seja: 
 - Conhecimento das ferramentas auxiliares para o desenvolvimento do exercício. 
 Estas ferramentas correspondem a um roteiro passo a passo, onde o aluno já deve 
ter conhecimento do mesmo antes de iniciar a solução de determinado exercício, e que 
será apresentado a seguir, devendo ser memorizado e seguido numa determinada 
ordem rigorosa. Este roteiro poderá sofrer algumas pequenas variações de um conteúdo 
para outro, mas de um modo geral, são muito semelhantes. 
 Dividimos este guia em dois capítulos, onde no capítulo 1, demonstraremos a 
aplicação do método de uma maneira detalhada para somente um conteúdo, onde foi 
selecionado um determinado exercício, correspondente ao conteúdo de Juros Simples, 
incluindo na solução do mesmo a utilização da calculadora HP 12c, a fim de efetuar o 
comparativo dos resultados, além também de um vídeo explicativo sobre o mesmo 
tema, mas de uma forma diferenciada e divertida, através de uma técnica combinatória 
virtual/musical, muito interessante para motivação, compreensão, e fixação do 
conteúdo. 
 No capítulo 2, demonstraremos a utilização do método através de uma forma mais 
simplificada, sendo aplicado a todos os demais assuntos inerentes à disciplina, através 
da seleção de um exercício para cada um, visando viabilizar o desenvolvimento deste 
trabalho. 
 Evidentemente que, para o desenvolvimento dos exercícios, o aluno já deve ter um 
bom conhecimento teórico das operações financeiras correspondentes, assim como 
também uma boa base matemática. 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 CAPÍTULO 1 
1. – ANÁLISE INDIVIDUAL (um conteúdo) 
 Nesta 1ª parte do trabalho, selecionamos um exercício de apenas um 
conteúdo, no caso JUROS SIMPLES, para demonstração detalhada da aplicação do 
roteiro correspondente. 
 
1.1 – APRESENTAÇÃO DO ROTEIRO (passo a passo) 
 A seguir apresentamos o roteiro com as devidas definições: 
 1.1.1 – Leitura do enunciado: 
 O enunciado do exercício deve ser lido com muita concentração, de uma 
forma lenta, quantas vezes for necessário, até a identificação e compreensão 
exata dos seguintes parâmetros: conteúdos, dados, e incógnitas. 
 1.1.2 - Coleta dos dados: 
 É interessante que se coloque uma chave, efetuando a identificação, e a 
introdução de todos os dados e incógnitas constantes no enunciado. 
 
 1.1.3 – Ajuste das unidades (i): 
 Deve ser ajustado as unidades da taxa de juros (i) para o sistema decimal. 
 
 1.1.4 – Ajuste das unidades de (n): 
 Deve ser ajustado as unidades do período (n), para que as mesmas fiquem 
compatíveis com as unidades da taxa de juros. 
 
 1.1.5 - Fluxo de caixa: 
 Deve ser elaborado um desenho do fluxo de caixa devendo constar todas as 
variáveis e incógnitas indicadas no enunciado. 
 
 1.1.6 – Fórmulas: 
Introduzir as fórmulas específicas e necessárias correspondente ao conteúdo, devendo 
montar todas as equações iniciais. 
 
 1.1.7 – Cálculo matemático: 
 Desenvolver o cálculo matemático de todas as equações estabelecidas, até 
encontrar os valores de todas incógnitas indicadas no item coleta de dados. 
 
 
 
9 
 
 
1.2 – APLICAÇÃO DO ROTEIRO 
 1.2.1. ENUNCIADO 
O enunciado do exercício deve ser lido com muita concentração, de uma forma lenta, quantas 
vezes for necessário, até a identificação e compreensão exata dos seguintes parâmetros: 
conteúdo, dados, e incógnitas. 
 Foi realizada uma aplicação de R$ 6.000,00. Após o término de 135 dias o 
montante desta aplicação a juros simples será resgatado. Calcular o valor do resgate, 
considerando uma taxa de juros de 18,75 % a.a., assim como também os rendimentos 
obtidos nesta aplicação. 
 
 1.2.2. COLETA DE DADOS 
 
 É interessante que se coloque uma chave, efetuando a identificação e a inclusão de todos os dados 
e incógnitas constantes no enunciado. 
 
 Dados: 
 Vi = 6.000,00 
 i = 18,75 % a.a. 
 n = 135 d 
 J = ? 
 Vf = ? 
 Juros = simples 
 
 1.2.3. AJUSTE DAS UNIDADES (i) 
 
 Deve ser ajustado as unidades da taxa de juros (i) para o sistema decimal. 
 
 i = 18,75/100 
 i = 0,1875 
 
 1.2.4. AJUSTE DAS UNIDADES (n) 
 
 Deve ser ajustado as unidades do período (n), para que as mesmas fiquem compatíveis com as 
unidades da taxa de juro 
 
 Anos Dias 
 1 ___ 360 X = 
1 𝑥 135
360
 .: X = 0,375 anos 
 X ___ 135 
 
 
 
 Legenda: 
Vf = valor final (montante) 
Vi = valor inicial (capital) 
J = juros 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
 
10 
 
 
 
 1.2.5. FLUXO DE CAIXA 
 
 Deve ser elaborado um desenho do fluxo de caixa devendo constar todos as variáveis e 
incógnitas indicadas no enunciado. 
 
 
 
 
 0 0,375 
 
 
 1.2.6. FÓRMULAS 
 Introduzir as fórmulas específicas e necessárias correspondente ao conteúdo, devendo montar todas 
as equações iniciais. 
 Juros Simples 
 
 
 
 
 1.2.7. CÁLCULO 
 Desenvolver o cálculo matemático de todas as equações estabelecidas, até encontrar 
os valores de todas incógnitas indicadas no item coleta de dados. 
 
 
 Vf = 6000 ( 1 + 0,1875 x 0,375 )J = Vf – 6000 
 J = 6421,88 – 6000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vi 
Vf 
anos período 
Vf = Vi (1 + in) J = Vf - Vi 1 2 
Vf = 6421,88 
J = 421,88 
3 
4 
11 
 
 
1.3. CÁLCULO COM A CALCULADORA HP 12c 
 
 Até aqui solucionamos o exercício através das Fórmulas; 
 Vamos agora solucionar através da calculadora financeira HP12c, para conferir os 
resultados. 
 
 
 FÓRMULAS CALCULADORA 
 
 
 Valor do J: Valor do Vf: 
 
 
 
 
 
 
 
 Os valores de J e Vf encontrados no cálculo das fórmulas conferem com os valores 
encontrados na calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 1.4. RESUMO DO ROTEIRO 
 
 A seguir apresentamos o resumo do roteiro correspondente, no intuito de facilitar 
sua utilização: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1.5. VÍDEO 
 A seguir vou apresentar um vídeo, constando o mesmo tema anterior, mas numa 
versão diferenciada e divertida, com recursos técnicos e combinatórios virtual/musical, 
e que tem como objetivo principal oferecer ao aluno maior motivação e fixação na sua 
aprendizagem. 
https://youtu.be/zh6eCOgR1kU (Ctrl + clique) 
 Este link refere-se ao mesmo vídeo já referenciado, e que tem 9 minutos de 
duração, no formato MP4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Ajuste do n; 
5. Fluxo de caixa; 
6. Fórmulas; 
7. Cálculo. 
https://youtu.be/zh6eCOgR1kU
13 
 
 CAPÍTULO 2 
 
2. ANÁLISE GERAL (todos os conteúdos) 
 
 Nesta 2ª parte do trabalho selecionamos um exercício de cada conteúdo da 
Matemática Financeira, para que possamos demonstrar a aplicação dos roteiros 
correspondentes a cada um: 
 
 2.1. PORCENTAGEM 
 
 2.1.1. Enunciado: 
 Qual é o valor do custo de uma mercadoria que foi vendida por R$ 550,00, com 
margem de lucro de 10 % sobre o preço de custo? 
 
 2.1.2. Dados: 
 
 Vf = 550,00 
 Vi =? 
 i = 10 % 
 
 2.1.3. Ajuste do i: 
 i = 
10
100
 .: i = 0,1 
 
 2.1.4. Fórmulas: 
 
 
 
 2.1.5. Cálculo: 
 550 = Vi + (0,1 x Vi ) 
 550 = 1,1 x Vi .: Vi = 500,00 
 
 2.1.6. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vf = Vi + ( i x Vi ) 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i: 
4. Fórmulas; 
5. Cálculo; 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
14 
 
 
2.2. JUROS SIMPLES 
 
 2.2.1. Enunciado: 
 Calcular o rendimento obtido da aplicação de R$ 2.000,00 por um período de 180 
dias à taxa de juros simples de 3 % ao mês. 
 
 2.2.2. Dados: 
 
 J =? 
 Vi = 2.000,00 
 n = 180 dias 
 im= 3 % a.m. 
 J = Simples 
 
 
 2.2.3. Ajuste do i: 
 i = 
3
100
 .: i = 0,03 
 
 2.2.4. Ajuste do n: 
 mês dia 
 1 30 
 X 180 
 
 X =
180 𝑥 1
30
 .: X = 6 meses 
 2.2.5. Fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 2.2.6. Fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
0 180 
 
meses 
 
Vi 
 
Vf 
Vf = Vi x ( 1 + in ) Vf = Vi + J 
 Legenda: 
Vf = valor final (montante) 
Vi = valor inicial (capital) 
J = Juros 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
15 
 
 
 2.2.7. Cálculo: 
 
 Vf = 2000 x (1 + 0,03 x 6 ) 2360 = 2000 + J 
 Vf = 2360 J = 360,00 
 
 2.2.8. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.3. JUROS COMPOSTOS 
 
 2.3.1. Enunciado: 
 
 Você aplica hoje R$ 1.000,00, visando uma viagem que custa R$ 1610,51. Se o 
regime de capitalização for de juros compostos e a taxa combinada de 10 % ao mês, em 
quanto tempo você terá essa quantia? 
 
 2.3.2. Dados: 
 
 Vi = 1000,00 
 Vf = 1610,51 
 i = 10 % a.m. 
 n = ? 
 
 2.3.3. Ajuste do i: 
 
 i = 10/100 = 0,1 
 
 2.3.4. Ajuste do n: 
 
Não há necessidade de ajuste, lembrando que o período que vai ser calculado ficará na mesma unidade, 
ou seja, em m (mês). 
 
 
 
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Ajuste do n; 
5. Fluxo de caixa; 
6. Fórmulas; 
7. Cálculo. 
 Legenda: 
Vf = valor final (montante) 
Vi = valor inicial (capital) 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
16 
 
 2.3.5. Fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 2.3.6. Fórmulas: 
 
 
 
 
 2.3.7. Cálculo: 
 1610,51 = 1000,00 ( 1 + 0,1)𝑛 
 1,61051 = 1,1𝑛 
 n x log 1,1 = log 1,61051 
 n x 0,09531 = 0,47655 
 n = 5 meses 
 
 2.3.8. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4. TAXAS EQUIVALENTES (sem capitalização) 
 
 2.4.1. Enunciado: 
 
 Sabendo-se que a taxa mensal é de 3 %, calcular a taxa trimestral equivalente. 
 
 2.4.2. Dados: 
 
 ix = 3 % a.m. 
 iy = ? a.t. 
 
 
 
 
0 n 
 m 
Vi 
Vf 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Ajuste do n; 
5. Fluxo de caixa; 
6. Fórmulas; 
7. Cálculo. 
Vf = Vi ( 1 + 𝑖 )𝑛 
 Legenda: 
ix = taxa de juros período x 
iy = taxa de juros período y 
fx = frequência anual do x 
fy = frequência anual do y 
17 
 
 2.4.3. Ajuste do i: 
 ix = 
3
100
 .: ix = 0,03 .: im = 0,03 
 
 2.4.4. Fórmulas: 
 
 
 
 
 2.4.5. Cálculo: 
 
 ( 1 + 𝑖𝑚 )12 = ( 1 + 𝑖𝑡 )4 
 ( 1 + 0,03 )3 = ( 1 + 𝑖𝑡 )1 
 it = 0,092727 .: it = 9,27 % a.t. 
 
 2.4.6. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
2.5. TAXAS EQUIVALENTES (com capitalização) 
 
 2.5.1. Enunciado: 
 
 A taxa de 40 % ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a que taxa 
efetiva trimestral? 
 
 2.5.2. Dados: 
 
 iN = 40 % a.b. 
 iC = .........a.m. 
 iE = ? a.t. 
 
 
 
 
 
 
( 1 + 𝑖𝑥 )𝑓𝑥 = ( 1 + 𝑖𝑦)𝑓𝑦 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fórmulas; 
5. Cálculo. 
 Legenda: 
iN = taxa de juros nominal 
iC = taxa de juros capitalizada 
iE = taxa de juros efetiva 
fN = frequência anual do N 
fC = frequência anual do C 
fE = frequência anual do E 
 
 
18 
 
 2.5.3. Ajuste do i: 
 
 iN = 
40
100
 .: iN = 0,4 
 
 2.5.4. Fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 2.5.5. Cálculo 
 
 iC x 12 = 0,4 x 6( 1 + 𝑖𝐸 )4 = ( 1 + 0,2 )12 
 ( 1 + 𝑖𝐸 )1 = ( 1 + 0,2 )3 
 iC = 0,2 .: iC = 20 % a.m. 
 iE = 0,728 :. iE = 72,80 % a.t. 
 
 2.5.6. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6. RENDAS FINANCEIRAS COM PAGAMENTOS IGUAIS (descapitalização antecipada) 
 
 2.6.1. Enunciado: 
 Um objeto é vendido à vista por R$ 3.350,00 ou a prazo em nove prestações mensais 
e iguais, sendo a primeira dada como entrada. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada 
pela loja é de 4,5 % ao mês, calcular o valor de cada prestação mensal. 
 
 2.6.2. Dados: 
 
 Vi = 3.350,00 
 p = 9 
 Antecipado p = n + 1 .: n = 8 
 i = 4,5 % a.m. 
 Descapitalização 
 
 
iC x fC = iN x fN ( 1 + 𝑖𝐸 )𝑓𝐸 = ( 1 + 𝑖𝐶 )𝑓𝐶 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fórmulas; 
5. Cálculo. 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
Pi = pagamentos (iguais) 
p = nº pagamentos 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
 
19 
 
 
 2.6.3. Ajuste do i: 
 
 i = 
4,5
100
 .: i = 0,045 
 
 2.6.4. Fluxo de Caixa: 
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 meses 
 
 
 
 
 
 
 
 2.6.5. Fórmulas: 
 
 
 DESCAPITALIZAÇÃO 
 
 
 2.6.6. Cálculo: 
 
0 = 3350 𝑥 (1 + 0,045)0 - ∑ Pi 
∑ Pi = 335 
 
 Pi = 441,03 
 
 2.6.7. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vi 
Pi 
Vf = Vi 𝑥 ( 1 + 𝑖 )−𝑛 - ∑ Pi ∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 ) 𝑝+1 −1−𝑖
𝑖 𝑥 ( 1+𝑖 )𝑝
 
3350 = Pi x 
( 1+0,045 ) 9+1 −1−0,045
0,045 𝑥 ( 1+0,045)9
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados: 
3. Ajuste do i; 
4. Ajuste do n; 
5. Fluxo de caixa; 
6. Fórmulas; 
7. Cálculo. 
20 
 
 
2.7. RENDAS FINANCEIRAS COM PAGAMENTOS IGUAIS (descapitalização postecipada) 
 
 2.7.1. Enunciado: 
 
 Um objeto é financiado em dez prestações mensais e iguais a R$ 250,00. Sabendo-
se que a taxa composta de juros cobrada pela loja é de R$ 4,5 % ao mês, calcular o preço 
à vista desse objeto. 
 
 2.7.2. Dados: 
 
 p = 10 
 Pi = 250,00 
 i = 4,5 % a.m. 
 Vi =? 
 Postecipado p = n .: n = 10 meses 
 Descapitalização 
 
 
 2.7.3. Ajuste do i: 
 
 i = 
4,5
100
 .: i = 0,045 
 
 2.7.4. Fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.7.5. Fórmulas: 
 
 DESCAPITALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses 
 
 
 
Pi 
Vi 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )−𝑛 - ∑ Pi ∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
( 1+𝑖 )𝑝 𝑥 𝑖
 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
Pi = pagamentos (iguais) 
p = nº pagamentos 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
 
21 
 
 2.7.6. Cálculo: 
 
0 = Vi x ( 1 + 0,045 )0 − ∑ Pi ∑ Pi = 250 x 
( 1+0,045 ) 10 −1
( 1+0,045 )10 𝑥 0,045
 
Vi = ∑ Pi ∑ Pi = 1978,18 
Vi = 1.978,18 
 
 
 2.7.7. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8. RENDAS FINANCEIRAS COM PAGAMENTOS IGUAIS (capitalização antecipada) 
 
 2.8.1. Enunciado: 
 Você planeja depositar R$ 100,00 no início de cada mês pelos próximos 
100 meses. Se o banco lhe paga juros de 1,10 % ao mês, calcule o montante no final 
desse período. 
 
 2.8.2. Dados: 
 
 Pi = 100,00 
 n = 100 meses 
 i = 1,10 % a.m. 
 Vf = ? 
 Antecipado p = n + 1 .: p = 101 
 Capitalização 
 
 
 2.8.3. Ajuste do i: 
 i = 
1,1
100
 .: i = 0,011 
 
 
 
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fluxo de caixa; 
5. Fórmulas; 
6. Cálculo. 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
Pi = pagamentos (iguais) 
p = nº pagamentos 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
 
22 
 
 
 2.8.4. Fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.8.5. Fórmulas: 
 
 CAPITALIZAÇÃO 
 
 
 2.8.6. Cálculo: 
 
Vf = 0 x ( 1 + 0,011 )0 + ∑ Pi ∑ Pi = 100 x 
( 1+0,011 )101−1−0,011
0,011
 
Vf = ∑ Pi ∑ Pi = 18.254,77 
Vf = 18.254,77 
 
 2.8.7. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.9. RENDAS FINANCEIRAS COM PAGAMENTOS IGUAIS (capitalização postecipada) 
 
 2.9.1. Enunciado: 
 
 Foi realizada uma aplicação consistindo em 12 depósitos mensais num fundo de 
renda fixa que remunera à taxa de juros compostos de 2 % ao mês. Sabendo que cada 
depósito tinha o valor igual de R$ 500,00, calcule o valor acumulado imediatamente 
após o último depósito. 
 
0 
Vf 
100 
Pi 
meses 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )𝑛 + ∑ Pi ∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1−𝑖
𝑖
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fluxo de caixa; 
5. Fórmulas; 
6. Cálculo. 
23 
 
 
 2.9.2. Dados: 
 p = 12 
 i = 2 % a.m. 
 Pi = 500,00 
 Vf =? 
 Postecipado n = p .: n = 12 meses 
 Capitalização 
 
 2.9.3. Ajuste do i: 
 i = 
2
100
 .: i = 0,02 
 
 2.9.4. Fluxo de caixa: 
 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
 
 
 
 
 
 2.9.5. Fórmulas: 
 
 CAPITALIZAÇÃO 
 
 
 2.9.6. Cálculo: 
 
 Vf = 0 x ( 1 + 0,02 )0 + ∑ Pi ∑ Pi = 500 x 
( 1+0,02 )12−1
0,02
 
 Vf = ∑ Pi ∑ Pi = 6.705,80 
Vf = 6.705,80 
 
 2.9.7. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
meses 
Vf 
Pi 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )𝑛 + ∑ Pi ∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
𝑖
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fluxo de caixa; 
5. Fórmulas; 
6. Cálculo. 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
Pi = pagamentos (iguais) 
p = nº pagamentos 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
24 
 
 
 2.10. DESCONTOS SIMPLES 
 
 2.10.1. Enunciado: 
 Um título, cujo valor face é R$ 7.000,00, foi descontado 60 dias antes do seu 
vencimento, por meio de uma operação de desconto bancário simples, à taxa de 
desconto de 10 % ao mês. Calcular o valor atual do título, ou seja, o valor de facedo 
título menos o desconto. 
 
 
 
 2.10.2. Dados: 
 T = 7.000,00 
 n = 60 dias 
 i = 10 % a.m. 
 T – D =? 
 
 2.10.3. Ajuste do i: 
 i = 
10
100
 .: i = 0,1 
 
 2.10.4. Ajuste do n: 
 
 Mês dia 
 1 30 
 X 60 X = 
1 𝑥 60
30
 .: X = 2 meses 
 
 2.10.5. Fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 0 1 2 
 
 2.10.6. Fórmulas: 
 
 
 
 2.10.7. Cálculo: 
 
 D = 7000 x 2 x 0,1 VR = 7000 - 1400 
 D = 1400 VR = 5600 
 T – D = 5.600,00 
 
VR 
T 
meses 
D = T n i VR = T - D 
 Legenda: 
T = título 
VR = valor de resgate 
D = desconto 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
 
25 
 
 
 2.10.8. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.11. DESCONTO COMPOSTO 
 
 2.11.1. Enunciado: 
 
 Um título de valor nominal de R$ 8.000,00 é pago 2 meses antes do vencimento 
com desconto comercial composto, a uma taxa de 5 % ao mês. Calcular o valor de 
resgate e do desconto. 
 
 2.11.2. Dados: 
 
 T = 8.000,00 
 n = 2 meses 
 i = 5 % a.m. 
 VR =? 
 D =? 
 
 2.11.3. Ajuste do i: 
 i = 
5
100
 .: i = 0,05 
 
 2.11.4. Fluxo de caixa: 
 
 
 
0 1 2 
 meses 
 
 
 2.11.5. Fórmulas: 
 
 
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Ajuste do n; 
5. Fluxo de caixa; 
6. Fórmulas; 
7. Cálculo. 
VR T 
T = VR x ( 1 + 𝑖 )𝑛 VR = T - D 
 Legenda: 
T = título 
VR = valor de resgate 
D = desconto 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
26 
 
 
 2.11.6. Cálculo: 
 
 8000 = VR x ( 1 + 0,05)2 7272 = 8000 – D 
 VR = 7.272,00 D = 728,00 
 2.11.7. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.12. INFLAÇÃO 
 
 2.12.1. Enunciado: 
 Um empréstimo foi contratado a uma taxa efetiva de 30 % ao ano, tendo sido a inflação no 
mesmo período de 20 %. Calcular a taxa real de juros do empréstimo no mesmo período 
 2.12.2. Dados: 
 iN = 30 % a.a. 
 iI = 20 % a. m. 
 n = 1 ano 
 iR = ? 
 
 2.12.3. Ajuste do i: 
iN = 
30
100
 .: iN = 0,3 iI = 
20
100
 .: iI = 0,2 
 
 2.12.4. Fórmulas: 
 
 
 
 
 
 2.12.5. Cálculo: 
 
 iR = 
1+0,3
1+0,2
 - 1 .: iR = 0,0833 .: iR = 8,33 % a.a. 
 
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fluxo de caixa; 
5. Fórmulas; 
6. Cálculo. 
 
 iR = 
1+𝑖𝑁
1+𝑖𝐼
 - 1 
 
 Legenda: 
iN = taxa de juros nominal 
iR = taxa de juros real 
iI = taxa de juros da inflação 
n = nº períodos 
 
27 
 
 
 2.12.6. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.13. AMORTIZAÇÃO (tabela Price): 
 
 2.13.1. Enunciado: 
 Construir a planilha de amortização com base no sistema francês (Price), 
correspondente a um empréstimo de R$ 12.000,00, a uma taxa de 2 % ao mês, a ser 
liquidado em 12 prestações mensais. 
 
 2.13.2. Dados: 
 
 Vi = 12.000,00 
 i = 2 % 
 p = 12 
 postecipado n = p .: n = 12 meses 
 descapitalização 
 tabela Price = ? P = cte = Pi 
 
 
 
 
 2.13.3. Ajuste do i: 
 i = 
2
100
 .: i = 0,02 
 
 
 2.13.4. Fórmulas: 
 
 
 DESCAPITALIZAÇÃO 
 
 
 
 
 
1. Enunciado; 
2. Dados; 
3. Ajuste do i; 
4. Fórmulas; 
5. Cálculo. 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )−𝑛 - ∑ 
Pi 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
( 1+𝑖 )𝑝 𝑥 𝑖
 
 Jn = SDn-1 x i mn = Pi - Jn SDn = SDn-1 - mn 
 
 Legenda: 
Vi = Valor inicial (empréstimo) 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
p = nº prestações 
J = juros 
m = amortização 
Pi = pagamentos (iguais) 
SD = saldo devedor 
 
28 
 
 2.13.5. Cálculo: 
 
0 = 12000 x ( 1 + 0,02 )−0 - ∑ Pi 
∑ Pi = 12000 12000 = Pi x 
( 1+0,02 )12−1
( 1+0,02 )12 𝑥 0,02
 
 Vi = SDn-1 = SD0 Pi = 1.134,72 
J1 = SD0 x i 
J1 = 12000 x 0,02 .: J1 = 240,00 
 
m1 = Pi – J1 .: m1 = 1134,72 – 240,00 .: m1 = 894,72 
 
SD1 = SD0 – m1 SD1 = 12000 – 894,72 .: SD1 = 11.105,28 
 
TABELA PRICE 
 n SDn mn Jn Pi 
0 12.000,00 
1 11.105,28 894,72 240,00 1.134,72 i = 0,02 
2 10.192,67 912,61 222,11 1.134,72 Vi = 12.000,00 
3 9.261,80 930,87 203,85 1.134,72 p = 12 
4 8.312,31 949,48 185,24 1.134,72 
5 7.343,84 968,47 166,25 1.134,72 
6 6.356,00 987,84 146,88 1.134,72 
7 5.348,40 1.007,60 127,12 1.134,72 
8 4.320,65 1.027,75 106,97 1.134,72 
9 3.272,34 1.048,31 86,41 1.134,72 
10 2.203,07 1.069,27 65,45 1.134,72 
11 1.112,41 1.090,66 44,06 1.134,72 
12 -0,06 1.112,47 22,25 1.134,72 
TOTAL 12.000,06 1616,58 13.616,64 
 
 
 
 
 
 2.13.6. Resumo do roteiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – Enunciado; 
2 – Dados; 
3 – Ajuste do i; 
4 – Fórmulas; 
5 – Cálculo. 
 
29 
 
2.14. AMORTIZAÇÃO (tabela SAC) 
 
 2.14.1. Enunciado: 
 
 Construir a planilha de amortização com base no sistema de amortização SAC, 
correspondente a um empréstimo de R$ 12.000,00, a uma taxa de 2 % ao mês, a ser 
liquidado em 12 prestações mensais. 
 
 
 2.14.2. Dados: 
 
 Vi = 12.000,00 
 i = 2 % 
 p = 12 
 postecipado n = p .: n = 12 meses 
 descapitalização 
 tabela SAC = ? m = cte. 
 
 
 
 2.14.3. Ajuste do i: 
 
 i = 
2
100
 .: i = 0,02 
 
 2.14.4. Fórmulas: 
 
 
 
 
 2.14.5. Cálculo: 
 
m = 
12000
12
 .: m = 1.000,00 
Jn = SDn-1 x i .: J1 = SD0 x i .: J1 = 12.000 x 0,02 .: J1 = 240,00 
P1 = J1 + m .: P1 = 240,00 + 1.000,00 .: P1 = 1.240,00 
SD1 = SD0 – m .: SD1 = 12.000,00 – 1.000,00 .: SD1 = 11.000,00 
 
 
 Legenda: 
Vi = Valor inicial (empréstimo) 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
p = nº prestações 
J = juros 
m = amortização 
Pi= pagamentos (iguais) 
SD = saldo devedor 
 
m = 
𝑉𝑖
𝑛
 
Jn = SDn-1 x i Pn = Jn + m SDn = SDn-1 - m 
30 
 
 
TABELA SAC 
n SDn m Jn Pn Dados 
0 12.000,00 i = 0,02 
1 11.000,00 1.000,00 240,00 1.240,00 Vi = 12.000,00 
2 10.000,00 1.000,00 220,00 1.220,00 p = 12 
3 9.000,00 1.000,00 200,00 1.200,00 
4 8.000,00 1.000,00 180,00 1.180,00 
5 7.000,00 1.000,00 160,00 1.160,00 
6 6.000,00 1.000,00 140,00 1.140,00 
7 5.000,00 1.000,00 120,00 1.120,00 
8 4.000,00 1.000,00 100,00 1.100,00 
9 3.000,00 1.000,00 80,00 1.080,00 
10 2.000,00 1.000,00 60,00 1.060,00 
11 1.000,00 1.000,00 40,00 1.040,00 
12 0,00 1.000,00 20,00 1.020,00 
TOTAL 12.000,00 1560,00 13.560,00 
 
 2.14.6. Resumo do roteiro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 – Enunciado; 
2 – Dados; 
3 – Ajuste do i; 
4 – Fórmulas; 
5 – Cálculo. 
 
31 
 
3 - FORMULÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 – Porcentagem 
 
 
3.2 – Juros simples 
 
 
 
Vf = Vi x ( 1 + i x n ) Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
J = juros 
 
3.3 – Juros compostos 
 
 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )𝑛 
J = Vf - Vi 
J = Vf - Vi 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
n = nº períodos 
J = juros 
 
 
 
3.4 – Taxas equivalentes (s/capitalização) 
 
 
 
 
( 1 + 𝑖𝑥 )𝑓𝑥 = ( 1 + 𝑖𝑦 )𝑓𝑦 
 
 Legenda: 
ix = taxa de juros (x) 
iy = taxa de juros (y) 
fx = frequência anual do x 
fy – frequência anual do y 
3.5 – Taxas equivalentes (c/capitalização) 
 
 
 
 
( 1 + 𝑖𝐸 )𝑓𝐸 = ( 1 + 𝑖𝐶 )𝑓𝐶 
 
iC x fC = iN x fN 
 
 Legenda: 
iE = taxa de juros efetiva (real) 
iC = taxa de juros capitalizada 
iN = taxa de juros nominal 
fE = frequência anual da iE 
fC = frequência anual da iC 
fN = frequência anual da iN 
3.6 – Rendas financeiras c/Pi (descapitalização antecipada): 
 
 
 
 
 
 
Vf = Vi x (1 + 𝑖)−𝑛 - ∑ Pi - ∑ PD 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 ) 𝑝+1 −1−𝑖
𝑖 𝑥 ( 1+𝑖 )𝑝
 
 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
Pi = pagamentos iguais 
n = nº períodos 
p = nº pagamentos 
PD = pagamentos diferentes 
3.7 – Rendas financeiras c/Pi (descapitalização postecipada): 
 
 
 
 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )−𝑛 - ∑ Pi - ∑ PD 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
( 1+𝑖 )𝑝 𝑥 𝑖
 
 
 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
Pi = pagamentos iguais 
n = nº períodos 
p = nº pagamentos 
PD = pagamentos diferentes 
 
Vf = Vi ± i x Vi Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
 
∑ PD = PD x ( 1 + 𝑖 )−𝑛 + ... 
∑ PD = PD x ( 1 + 𝑖 )
−𝑛
 + ... 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8 – Rendas financeiras c/Pi (capitalização antecipada): 
 
 
 
 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )𝑛 + ∑ Pi + ∑ PD 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1−𝑖
𝑖
 
 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
Pi = pagamentos iguais 
n = nº períodos 
p = nº pagamentos 
PD = pagamentos diferentes 
 
3.9 – Rendas financeiras c/Pi (capitalização postecipada): 
 
 
 
 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )𝑛 + ∑ Pi + ∑ PD 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
𝑖
 
 
 Legenda: 
Vf = valor final 
Vi = valor inicial 
i = taxa de juros 
Pi = pagamentos iguais 
n = nº períodos 
p = nº pagamentos 
PD = pagamentos diferentes 
 
3.10 – Descontos simples (comercial; p/fora) 
 
 
 
D = T x n x i 
 
VR = T - D 
 
 Legenda: 
D = desconto 
T = título 
VR = valor de resgate 
n = nº de períodos 
i = taxa de juros 
3.11 – Descontos compostos (racional; 
p/dentro) 
 
 
 
T = VR x ( 1 + 𝑖 )𝑛 
 
VR = T - D 
 
 Legenda: 
D = desconto 
T = título 
VR = valor de resgate 
n = nº de períodos 
i = taxa de juros 
 
3.12 – Inflação 
 
 
 iE = 
1+𝑖𝑁
1+𝑖𝐼
 - 1 
 
Legenda: 
iE = taxa de juros efetiva (real) 
iN = taxa de juros nominal 
iI = taxa de juros da inflação 
 
3.13 – Amortização (tabela Price) : P = Pi = cte 
 
 
 
 
 
 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )−𝑛 - ∑ Pi 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
( 1+𝑖 )𝑝 𝑥 𝑖
 
 
Jn = SDn-1 x i 
 
mn = Pi - Jn 
 
SDn = SDn-1 - mn 
 
mn = m1 x ( 1 + 𝑖 )
𝑛−1
 
SDn = Vi - ∑ mn 
∑ mn = m1 x s 
∑ Pin = n x Pi 
∑ Pin = ∑ Jn + ∑ mn s = 
 ( 1+𝑖 )𝑛−1
𝑖
 
 Legenda: 
Vf = valor final (Montante) 
Vi = valor inicial (Capital) 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
p = nº de pagamentos 
SD = saldo devedor 
J = juros 
m = amortização 
Pi = pagamentos iguais 
s = coeficiente de amortização 
 
∑ PD = PD x ( 1 + 𝑖 )𝑛 + ... 
 
∑ PD = PD x ( 1 + 𝑖 )𝑛 + ... 
 
33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.14 – Amortização (tabela SAC): m = cte 
 
Vf = Vi x ( 1 + 𝑖 )−𝑛 - ∑ Pi 
 
∑ Pi = Pi x 
( 1+𝑖 )𝑝−1
( 1+𝑖 )𝑝 𝑥 𝑖
 
Pn = P1 + (n-1) x (-m x i) 
∑ mn = m x n 
SDn = Vi - ∑ mn 
SDn = Vi - ∑ mn 
 Legenda: 
Vf = valor final (Montante) 
Vi = valor inicial (Capital) 
n = nº períodos 
i = taxa de juros 
p = nº de pagamentos 
SD = saldo devedor 
J = juros 
m = amortização 
Pi = pagamentos iguais 
s = coeficiente de amortização 
 
3.15 – Amortização (tabela americana): m=0; P=cte; J=cte; SD=cte 
 
Jn = SDn-1 x i 
Pn = Jn 
 Legenda: 
SD = saldo devedor 
J = juros 
P = pagamento 
i = taxa de juros 
 
 
 
 3.16 – Roteiro geral 
1 – Enunciado; 
2 – Coleta de dados; 
3 – Ajuste do i; 
4 – Ajuste do n; 
5 – Fluxo de caixa; 
6 – Fórmulas; 
7 – Cálculo. 
 
Jn = SDn x i 
Pn = Jn + m 
SDn = SDn-1 - m SDn = Vi - ∑ mn 
m = 
𝑉𝑖
𝑛
 
34 
 
 
4. ROTEIRO GERAL 
 
 A seguir apresentamos o resumo do roteiro geral, objeto deste trabalho, o qual 
deve ser aplicado em todos os exercícios de Matemática Financeira, devendo ser 
seguido a rigor a sua sequência, e podendo ser omitido alguns dos itens dependendo do 
exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ROTEIRO GERAL: 
 
1 º - LEITURA DO ENUNCIADO; 
2º - COLETA DE DADOS; 
3º - AJUSTE DA UNIDADE (i); 
4º - AJUSTE DA UNIDADE (n); 
5º - DESENHO FLUXO DE CAIXA; 
6º - INTRODUÇÃO DAS FÓRMULAS; 
7º - CÁLCULO MATEMÁTICO. 
35 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 Como podemos observar, trata-se de um trabalho técnico, onde é utilizado uma 
metodologia moderna, eficaz, e inédita, de grande importância para o aluno de 
Matemática Financeira, considerando que esta ferramenta complementar oferece 
muito mais segurança e facilidade para o desenvolvimento de quaisquer exercícios, 
tornando-se assim um recurso praticamente obrigatório para o sucesso do aluno.Podemos também salientar que este recurso também faz parte da preparação para 
a solução dos exercícios, além evidentemente, como já nos referimos no início, do bom 
conhecimento teórico e prático das operações financeiras e do conhecimento prático 
da matemática básica. 
 Outro aspecto interessante é que o próprio aluno, através da prática da utilização 
desta ferramenta, poderá elaborar os roteiros específicos de cada conteúdo. 
 Para que este trabalho fosse criado, tive como motivação e idealização os meus 
próprios alunos, que tiveram sucesso na sua aprendizagem à medida que foram 
utilizando esta metodologia. 
 E finalmente poderemos acessar a seguir alguns dados do autor, professor George 
Hessel, o qual foi o criador e editor deste trabalho, incluindo o vídeo anexado ao capítulo 
1. 
 
 
 
 
 
 
6. SOBRE O AUTOR 
 George Hessel é graduado em Engenharia Civil pela UFRGS, pós-graduado em 
Docência no Ensino Superior pela Centro Universitário Mauá, e técnico em Transações 
Imobiliárias pelo IFRGS, com especialização em Matemática Financeira e Física, e 
também em Ensino à Distância. Atualmente exerce a profissão de professor de 
Matemática Financeira para cursos técnicos e superior, e Física e Matemática para os 
ensinos fundamental e médio. 
 email: aulas.hessel@gmail.com 
 george.hessel@hotmail.com 
 
 URL: http://www.aulasmatematicafinanceira.com 
 
 
 
 
 
mailto:aulas.hessel@gmail.com
mailto:george.hessel@hotmail.com
http://www.aulasmatematicafinanceira.com/