AP2 Métodos Estatísticos I 2023-1 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Estat́ısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo • Apresente o desenvolvimento de todas as respostas.
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Algumas pessoas foram pesquisadas sobre preferência de filmes de acordo com a faixa etária. Os
resultados estão na tabela abaixo.
Drama (D) Comédia (C) Ação (A) Total
≤ 16 anos (X) 20 15
de 17 a 20 anos (Y) 5 20
de 21 a 35 anos (Z) 25 5 10
≥ 36 anos (W) 20 15 40
Total 60 50
MMétodos Estat́ısticos I AP2 1/2023
Questão 1 [1,0 ponto] Complete a tabela e REFAÇA A TABELA COMPLETA NA FOLHA DE
RESPOSTAS.
R: Notemos que na linha W há o total de 40, isso implica que o valor faltante é 40− 20− 15 = 5.
Com este valor encontrado, a coluna (A) terá 15 + 20 + 10 + 5 = 50. Assim, a linha dos totais será
60 + 50 + 50 = 160. Este valor 160 é o total geral. Completando as colunas (D) e (C), a célula da
coluna D será: 10 e a célula da linha C será: 10 também. Assim, a linha X terá um total de 45, a
linha Y terá um total de 35 e a linha Z, 40.
Logo, a tabela completa será:
Drama (D) Comédia (C) Ação (A) Total
≤ 16 anos (X) 10 20 15 45
de 17 a 20 anos (Y) 5 10 20 35
de 21 a 35 anos (Z) 25 5 10 40
≥ 36 anos (W) 20 15 5 40
Total 60 50 50 160
Questão 2 [0,5 ponto] Determine a probabilidade de uma pessoa selecionada aleatoriamente preferir
Drama ou ter mais de 20 anos;
R: Ter mais de 20 anos implica nos eventos Z e W . Assim, o que se deseja obter é:
P (D ∪ (Z ∪W )) = P (D) + P (Z ∪W )− P (D ∩ (Z ∪W )) = 60160 +
40 + 40
160 −
25 + 20
160 =
95
160
= 0, 59375.
Questão 3 [0,5 ponto] Sabendo que uma pessoa selecionada aleatoriamente tem menos de 17
anos, qual a probabilidade de ela preferir Comédia?
R: Probabilidade condicional.
P (C|X) = P (C ∩X)
P (X) =
20/160
45/160 =
20
45 = 0, 444.
Questão 4 [1,0 ponto] Os eventos “ter de 17 a 20 anos” e “preferir filmes de Ação” são indepen-
dentes? Justifique com todos os cálculos!!!!
R: Para que dois eventos sejam independentes é preciso verificar se a probabilidade da interseção
entre eles é igual ao produto das probabilidades dos eventos. No nosso caso, os eventos são Y e A.
Temos que P (Y ∩ A) = 20160 = 0, 125.
Por outro lado, P (Y )P (A) = 35160 ×
50
160 = 0, 21875× 0, 3125 = 0, 068359.
Como os resultados são diferentes, então os eventos “NÃO SÃO INDEPENDENTES”
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6.
Em uma linha de produção, 20% das peças são produzidas pela fábrica A, 45% pela fábrica B e 35%
pela fábrica C. Das peças produzidas pela fábrica A, 2,5% são defeituosas, 1% das peças produzidas
pela fábrica B são defeituosas e 1,5% das peças produzidas pela fábrica C são defeituosas. Uma
peça desta linha de produção será sorteada de forma aleatória para inspeção.
Questão 5 [1,5 ponto] Determine a probabilidade de a peça não ser defeituosa.
R: Considere os seguintes eventos:
• A: A peça foi produzida pela fábrica A;
• B: A peça foi produzida pela fábrica B;
• C: A peça foi produzida pela fábrica C;
• D: A peça é defeituosa.
Estamos interessados em P (D).
De acordo com o enunciado, temos as seguintes probabilidades:
P (A) = 0, 20 P (B) = 0, 45 P (C) = 0, 35
P (D|A) = 0, 025 P (D|B) = 0, 01 P (D|C) = 0, 015
Pelo Teorema da Probabilidade Total, temos:
P (D) = 1− P (D)
= 1− [P (A)P (D|A) + P (B)P (D|B) + P (C)P (D|C)]
= 1− [(0, 2× 0, 025) + (0, 45× 0, 01) + (0, 35× 0, 015)]
= 1− [0, 005 + 0, 0045 + 0, 00525]
= 1− 0, 01475
= 0, 98525.
Questão 6 [1,0 ponto] Sabendo que a peça selecionada é defeituosa, qual a a probabilidade que
ela tenha sido produzida pela fábrica C?
R: Pelo Teorema de Bayes.
P (C|D) = P (C)P (D|C)
P (D) =
0, 00525
0, 01475 = 0, 355932.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 7 A 10.
A cada 10 pênaltis cobrados, O jogador de Futebol Cris Ronald acerta 8.
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MMétodos Estat́ısticos I AP2 1/2023
Questão 7 [0,5 ponto] Determine a probabilidade de Cris Ronald não acertar nenhum pênalti em
uma disputa com 5 cobranças.
R: Seja X a variável aleatória ”Acertar o pênalti”. Então X ∼ Binomial(5; 0, 8). Deseja-se P (X =
0).
P (X = 0) =
(
5
0
)
(0, 8)0(0, 2)5 = 1× 1× 0, 00032 = 0, 00032.
Questão 8 [0,5 ponto] Determine a probabilidade de Cris Ronald acertar no máximo 1 pênalti em
uma disputa com 6 cobranças.
R: Neste caso, X ∼ Binomial(6; 0, 8). Desejamos P (X ≤ 1).
P (X ≤ 1) = p(0) + p(1)
=
[(
6
0
)
(0, 8)0(0, 2)6
]
+
[(
6
1
)
(0, 8)1(0, 2)5
]
= [1× 1× 0, 000064] + [6× 0, 8× 0, 00032]
= 0, 000064 + 0, 001536
= 0, 0016.
Questão 9 [0,5 ponto] Determine a probabilidade de Cris Ronald acertar todos os pênaltis em uma
disputa com 7 cobranças.
R: Neste caso, temos X ∼ Binomial(7; 0, 8). Deseja-se P (X = 7).
P (X = 7) =
(
7
7
)
(0, 8)7(0, 2)0 = 1× 0, 2097152× 1 = 0, 2097152.
Questão 10 [0,5 ponto] Se Cris Ronald cobra 50 pênaltis, qual é a Variância do número de acertos
das cobranças?
R: Temos que X ∼ Binomial(50; 0, 8). Estamos interessados em V (X). Temos que V (X) =
np(1− p). Assim:
V (X) = np(1− p) = 50× 0, 8× 0, 2 = 8.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 11 A 14.
Uma empresa de telemarketing possui seis linhsa telefônicas. Seja X o número de linhas telefônicas
em uso em um determinado horário. Considere a distribuição de probabilidades de X:
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MMétodos Estat́ısticos I AP2 1/2023
x 0 1 2 3 4 5 6
p(x) 0,10 0,15 0,20 0,25 0,20 0,06 0,04
Determine:
Questão 11 [0,5 ponto] a probabilidade de no máximo três linhas estarem em uso.
R: Deseja-se P (X ≤ 3).
P (X ≤ 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) = 0, 10 + 0, 15 + 0, 20 + 0, 25 = 0, 70.
Questão 12 [0,5 ponto] a probabilidade de menos de três linhas estarem em uso.
R: Deseja-se P (X < 3).
P (X < 3) = p(0) + p(1) + p(2) = 0, 10 + 0, 15 + 0, 20 = 0, 45.
Questão 13 [0,5 ponto] a probabilidade de pelo menos duas linhas estarem em uso.
R: Deseja-se P (X ≥ 2).
P (X ≥ 2) = p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 0, 20 + 0, 25 + 0, 20 + 0, 06 + 0, 04 = 0, 75
Questão 14 [1,0 ponto] o número médio de linhas telefônicas em uso.
R: Deseja-se E(X).
E(X) = (0× 0, 10) + (1× 0, 15) + (2× 0, 20) + (3× 0, 25) + (4× 0, 20) + (5× 0, 06) +
(6× 0, 04)
= 0 + 0, 15 + 0, 40 + 0, 75 + 0, 80 + 0, 30 + 0, 24
= 2, 64.
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