AP3 Métodos Estatísticos I 2023-1 - GABARITO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Estat́ısticos I – 1/2023
Código da disciplina EAD06076
GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
• Preencha o número total de folhas somente quando for entregar a prova!
• Identifique a Prova, colocando Nome e Matŕıcula, Polo • Apresente o desenvolvimento de todas as respostas.
e Data. • Somente utilize caneta esferográfica com tinta azul
• É permitido o uso de calculadora, desde que não seja de ou preta para registro das resoluções nas Folhas de
telefone celular ou de qualquer outro aparelho que permita Respostas.
a conexão à internet. • As Folhas de Respostas serão o único material
• Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao aplicador. considerado para correção. Quaisquer anotações feitas
• Não amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, fora deste espaço,mesmo que em folha de rascunho,
pois isto pode invialbilizar a digitalização e a correção. serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 4.
Os graus dos alunos de uma turma vão de 29 a 97 e estão no diagrama de ramo-e-folhas abaixo:
2 9
3 7 8
4 7 9
5 2 6 8
6 0 2 3 3 3 5 5 6 8 8 9 9
7 0 0 1 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 9
8 1 1 2 2 3 3 4 5 7 7 8 9
9 0 1 4 7
Métodos Estat́ısticos I AP3 1/2023
Sabendo que σ2 = 215, 2836 e que ∑nixi = 3.571, determine:
Questão 1 [0,5 ponto] O grau médio.
R:
X =
∑
nixi
n
= 3.57150 = 71,42.
Questão 2 [0,5 ponto] O grau mediano.
R:
Como n = 50 é par, então a mediana será calculada por:
Q2 =
x(25) + x(26)
2 =
73 + 74
2 = 73,5.
Questão 3 [0,5 ponto] O grau modal.
R:
Para o cálculo da moda, verifiquemos o valor que tem a maior frequência. Observando nos dados do
diagrama de ramo-e-folhas percebemos que o grau 63 aparece com maior freqüência: 3. Então:
x∗ = 63.
Questão 4 [0,5 ponto] O Coeflciente de Assimetria destes graus.
R:
Para o cálculo do coeficiente de assimetria, usemos a fórmula abaixo e os dados do problema:
e = X − x
∗
σ
= X − x
∗
√
σ2
= 71, 42− 63√215, 2836 =
8, 42
14, 67 = 0,574.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 5 A 8.
A área comercial de uma indústria de queijos é composta por 5 departamentos de vendas que
atendem as regiões Norte, Sul, Sudeste, Nordeste e Oeste. Todos os departamentos são formados
por profissionais de ambos os sexos, conforme tabela a seguir.
Sexo
Região de Atendimento
Total
Norte (N) Sul (S) Sudeste (SE) Nordeste (NE) Oeste (O)
Masculino (M) 20 5 15 20 15 75
Feminino (F ) 15 10 5 35 20 85
Total 35 15 20 55 35 160
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Um profissional será selecionado ao acaso. Determine a probabilidade de ele:
Questão 5 [0,5 ponto] Atender a Região Sudeste, dado que é do sexo feminino.
R:
P (SE|F ) = P (SE ∩ F )
P (F ) =
5/160
85/160 =
5
85 = 0,058824.
Questão 6 [0,5 ponto] Ser do sexo masculino e atender a Região Sul.
R:
P (M ∩ S) = 5160 = 0,03125.
Questão 7 [0,5 ponto] Ser do sexo feminino, dado que atende a Região Oeste.
R:
P (F |O) = P (F ∩O)
P (O) =
20/160
35/160 =
20
35 = 0,571429.
Questão 8 [0,5 ponto] Ser do sexo masculino ou atender a Região Norte.
R:
P (M ∪N) = P (M) + P (N)− P (M ∩N) = 75160 +
35
160 −
20
160 =
90
160 = 0,5625.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 9 E 10.
A produção das peças vendidas em uma determinda loja provém de três unidades produtoras: U1, U2 e
U3. Historicamente, sabe-se que das peças produzidas por estas unidades são defeituosas respectiva-
mente 1,2%, 3,1% e 2,3%. Se os percentuais de produção de peças desta loja por unidade produtora
são respectivamente 60%, 10% e 30% e uma peça desta loja deve ser sorteada aleatoriamente para
averiguação e controle.
Questão 9 [1,0 ponto] Determine a probabilidade de a peça sorteada ser defeituosa.
R: Considere os seguintes eventos:
• U1: A peça foi produzida pela unindade U1;
• U2: A peça foi produzida pela unindade U2;
• U3: A peça foi produzida pela unindade U3;
• D: A peça é defeituosa.
Estamos diante de suma situação de parrição de um espaço amostral e de um evento transversal.
Isso nos leva a situação de uso dos Teoremas de Bayes e da Probabilidade Total.
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P (U1) = 0, 6 P (U2) = 0, 1 P (U3) = 0, 3
P (D|U1) = 0, 012 P (D|U2) = 0, 031 P (D|U3) = 0, 023
Aqui, usa-se o Teorema da Porbabilidade Total:
P (D) = P (U1)P (D|U1) + P (U2)P (D|U2) + P (U3)P (D|U3)
= (0, 6× 0, 012) + (0, 1× 0, 031) + (0, 3× 0, 023)
= 0, 0072 + 0, 0031 + 0, 0069
= 0,0172.
Questão 10 [1,0 ponto] Sabendo que a peça sorteada não possui defeitos, qual a probabilidade de
ela ter sido produzida na unidade U1?
R: Aqui, usa-se o Teorema de Bayes:
P (U1|D) =
P (U1)P (D|U1)
P (D)
Notemos que P (D|U1) = 1− P (D|U1) = 1− 0, 012 = 0, 988. Então:
P (U1|D) =
P (U1)P (D|U1)
P (D)
= 0, 6× 0, 9881− 0, 0172
= 0, 59280, 9828
= 0,603175.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 11 A 13.
Considere a dsitribuição de probabilidades de uma V.A Discreta X abaixo:
X 1 2 3 4 5
p(x) 0,1 0,2 0,3 0,1 0,3
Determine:
Questão 11 [0,5 ponto] P (2 ≤ X < 4).
R:
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P ((2 ≤ X < 4) = p(2) + p(3) = 0, 2 + 0, 3 = 0,5.
Questão 12 [0,5 ponto] E(X).
R:
E(X) = (1×0, 1)+(2×0, 2)+(3×0, 3)+(4×0, 1)+(5×0, 3) = 0, 1+0, 4+0, 9+0, 4+1, 5 = 3,3.
Questão 13 [1,0 ponto] V AR(X).
R: Para o cálculo da variância, precisamos de E(X2).
E(X2) = (1×0, 1)+(4×0, 2)+(9×0, 3)+(16×0, 1)+(25×0, 3) = 0, 1+0, 8+2, 7+1, 6+7, 5 = 12, 7.
Logo:
V AR(X) = E(X2)− E2(X) = 12, 7− (3, 3)2 = 12, 7− 10, 89 = 1,81.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 14 A 17.
Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial de probabilidades. Sabendo que E(X) = 12,
V AR(X) = 4 e Z = X−63 . Determine:
Questão 14 [0,5 ponto] p.
R: Como X ∼ Binomial(n; p), então E(X) = np e V AR(X) = np(1− p). Assim:
np = 12 e np(1− p) = 4
Substituindo np na segunda equação, temos:
12(1− p) = 4
Consequentemente,
1− p = 412 =⇒ 1− p =
1
3 .
Logo:
p = 2
3
Questão 15 [0,5 ponto] n.
R: Com o resultado da questão anterior e sabendo que np = 12, teremos
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n
2
3 = 12 =⇒ n =
3
2 × 12 =
3× 12
2 =
36
2 = 18.
Questão 16 [0,5 ponto] E(Z).
R:
E(Z) = E
(
X − 6
3
)
= E(X − 6)3 =
12− 6
3 =
6
3 = 2.
Questão 17 [0,5 ponto] V AR(Z).
R:
V AR(Z) = V AR
(
X − 6
3
)
= V AR(X − 6)32 =
V AR(X)
9 =
4
9
.
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