Aula-07_Resistência dos Materiais Avançado

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AULA 07
Os elementos estruturais de uma construção devem ser selecionados de
acordo com:
Resistência – Capacidade de suportar o carregamento sem tensões excessivas;
Rigidez – Capacidade de suportar o carregamento sem deformações excessivas;
Estabilidade - Capacidade de suportar o carregamento sem mudar seu estado inicial de
equilíbrio.
Flambagem é a deflexão lateral que elementos compridos
e esbeltos, (geralmente colunas), sofrem ao serem
submetidos a uma carga axial acima de um valor crítico.
Um elemento sob compressão com elevada esbeltez pode
se deformar lateralmente e falhar por flambagem em vez
de falhar diretamente pela compressão do material.
Em projeto estrutural, ambos os métodos de falha devem ser considerados.
Fase Elástica Fase PlásticaNa Fase elástica o
corpo consegue voltar
ao tamanho original
Na Fase plástica a
deformação é permanente.
Encruamento
Escoamento
No escoamento o
corpo se deforma
mesmo sem a
adição de carga.
Limite elástico
No encruamento, para
continuar a deformação é
necessário o aumento da carga.
Limite da resistência
Limite da Ruptura
Esse limite é menor do que a de
resistência devido a diminuição da
área do corpo a partir do limite
de resistência.
Lei de Hooke para tensões
Lei de Hooke 𝑭𝑭𝒆𝒆 = 𝒌𝒌 � 𝒙𝒙
𝝈𝝈 = 𝑬𝑬 � 𝜺𝜺
𝑬𝑬 ⇒ módulo de elasticidade;
𝜺𝜺 ⇒ deformação normal específica.
 Flambagem é a deflexão lateral
que elementos compridos e
esbeltos, (geralmente colunas),
sofrem ao serem submetidos a
uma carga axial acima de um
valor crítico.
A definição pode ser melhor compreendida a partir da análise das
condições de equilíbrio de uma bola sobre uma superfície lisa.
Quando um sistema passa de um estado estável de equilíbrio para outro,
há perda de estabilidade.
Se um sistema está em equilíbrio estável (A), após sofrer uma perturbação,
retornará ao seu estado inicial de equilíbrio.
Se um sistema está em equilíbrio neutro (B), após sofrer uma perturbação,
vai se manter como foi deixado.
Se um sistema está em equilíbrio instável (C), após sofrer uma perturbação,
não voltará a seu estado inicial.
Tipos de molas
Mola de tensão Mola de tração Mola de torção
A carga P no ponto A está perfeitamente alinhada com o apoio no ponto B,
mantendo o sistema numa posição de equilíbrio estável. Agora imagine
que um pequeno deslocamento lateral seja aplicado no ponto C, formando
um ângulo θ com a vertical. O sistema retornará à posição original?
Isso dependerá da dimensão da força P aplicada e da constante da mola.
 (A) Exemplo de estrutura
teórica idealizada de
flambagem.
 (B) Situação deformada
da estrutura.
 (C) Diagrama de corpo
livre da barra AC.
𝑃𝑃𝑥𝑥
𝑃𝑃𝑦𝑦
𝑃𝑃𝑦𝑦
 Para verificar se o sistema é estável ou instável, vamos
considerar as forças agindo no trecho AC.
 Utilizando o diagrama de corpo livre da barra AC e
calculando os momentos em torno do ponto A, sabendo
que o ângulo de deflexão da mola é 2θ, teremos:
𝑴𝑴−𝑷𝑷
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽 = 𝟎𝟎
𝑷𝑷
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝜽𝜽 = 𝑲𝑲 𝟐𝟐𝜽𝜽
 OBS:
Se o ângulo θ for pequeno,
podemos considerar que
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽 = 𝜽𝜽.
𝑭𝑭𝒆𝒆 = 𝒌𝒌 � 𝒙𝒙
𝑭𝑭𝒆𝒆 = 𝒌𝒌 � 𝜽𝜽
𝑷𝑷 � 𝑳𝑳 = 𝟒𝟒 � 𝑲𝑲
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
 A força na qual
ocorre o equilíbrio
neutro é chamada
de Carga Crítica.
 A partir da análise é possível concluir que o 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 é
o único valor de carga em que a estrutura estará
em equilíbrio após sofrer uma perturbação.
 Dessa forma, os três estados de equilíbrio para o
sistema estrutural apresentado podem ser
descritos da seguinte forma:
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
 Equilíbrio Estável
 Equilíbrio Instável
 Equilíbrio Neutro
– carga crítica
𝑷𝑷 <
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
𝑷𝑷 >
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
𝑷𝑷 =
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
Uma estrutura idealizada de flambagem é um
elemento teórico carregado axialmente por
uma carga P locada perfeitamente no
centroide da seção transversal.
A estrutura é perfeitamente reta e é feita de
material elástico-linear, que segue a lei de
Hooke.
Essa estrutura hipotética dificilmente é
reproduzida na prática, pois as cargas
geralmente não são centradas, diversas falhas
construtivas podem fazer a estrutura ter
imperfeições e os materiais aplicados na
construção (aço, madeira, concreto, etc...) não
seguem completamente a lei de Hooke.
 Equilíbrio Estável
𝑷𝑷 <
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
 Equilíbrio Instável
𝑷𝑷 >
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
 Equilíbrio Neutro –
carga crítica
𝑷𝑷 =
𝟒𝟒𝑲𝑲
𝑳𝑳
 Uma coluna rígida, com uma mola de torsão de rigidez (K) na base.
 Aplicando uma carga P, a coluna pode apenas sofrer rotação,
tendo, portanto, apenas um grau de liberdade.
 Verificando os momentos agindo em torno do ponto A,
considerando que o ângulo de rotação θ é pequeno e sabendo
que o momento resultante da mola é 𝑲𝑲 � 𝜽𝜽, teremos:
𝑷𝑷 � 𝑳𝑳 sin𝜽𝜽 = 𝑲𝑲𝜽𝜽
𝑷𝑷 � 𝑳𝑳 sin𝜽𝜽 = 𝑴𝑴𝑨𝑨
 Equilíbrio Estável
 Equilíbrio Instável
 Equilíbrio Neutro
𝑷𝑷𝑳𝑳 < 𝑲𝑲
𝑷𝑷𝑳𝑳 > 𝑲𝑲
𝑷𝑷𝑳𝑳 = 𝑲𝑲
 A força associada com o sistema neutro é a
carga crítica, designada por 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 . Portanto,
para o sistema considerado, a carga crítica de
flambagem é dada por:
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝑲𝑲
𝑳𝑳
𝑷𝑷 � 𝑳𝑳𝜽𝜽 = 𝑲𝑲𝜽𝜽 𝑷𝑷 � 𝑳𝑳 = 𝑲𝑲
 Você foi convidado para fazer uma avaliação de viabilidade da reforma
da biblioteca de sua antiga escola de ensino médio. Você inicia sua
análise pelos pilares P5 e P6, pois sabe que o aumento de cargas
devido a mudança dos livros para o andar superior poderá causar uma
alteração da estabilidade da estrutura. Indagado pelo arquiteto
responsável pelo projeto, você deve responder os seguintes
questionamentos:
a) Qual o estado de equilíbrio atual da estrutura e como esse equilíbrio
pode se alterar caso os livros sejam removidos para o andar superior.
b) Considere que o pilar P5 é uma barra rígida, conforme a figura e
calcule qual a carga crítica que ele pode resistir, considerando que a
mola fictícia de torção da base do pilar tem o coeficiente 𝑲𝑲 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 �
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑵𝑵/𝒎𝒎.
c) Com a mudança dos livros para o andar superior, causará um
aumento de carga total no pilar (anteriormente de 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒌𝒌 𝑵𝑵) em
aproximadamente 50%. Nesta condição o pilar se manterá estável.
d) Caso não seja 50%, qual deverá ser o aumento em % da carga
máxima que poderia ser aplicada sobre o pilar?
 Utilizando o método do equilíbrio,
sabendo que a configuração do
pilar P5, a carga crítica de
flambagem é dada por:
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝑲𝑲
𝑳𝑳
 𝑳𝑳 = 𝟑𝟑𝒎𝒎 e 𝑲𝑲 = 𝟒𝟒,𝟓𝟓 � 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟔𝟔 𝑵𝑵/𝒎𝒎 :
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 =
4,5 � 106
3
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 4,5 � 106 𝑁𝑁 = 1500𝑘𝑘 𝑁𝑁
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 = 1100𝑘𝑘 𝑁𝑁
 Anteriormente a carga crítica do pilar era:
𝑃𝑃𝑓𝑓 = 𝑃𝑃𝑖𝑖 + 𝑃𝑃𝑖𝑖 � 50%
 Amentando 50% teremos:
𝑃𝑃𝑓𝑓 = 1100𝑘𝑘 + 1100𝑘𝑘 � 0,5
𝑃𝑃𝑓𝑓 = 1650𝑘𝑘 𝑁𝑁
Comparando com a caga crítica
encontrada no questionamento,
temos que 𝑃𝑃𝑓𝑓 > 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐 . Assim o
equilíbrio do sistema é
INSTÁVEL
 Assim a carga máxima acima do pilar será:
𝑃𝑃𝑓𝑓 = 𝑃𝑃𝑖𝑖 + 𝑃𝑃𝑖𝑖 � 𝑥𝑥
1500𝑘𝑘 = 1100𝑘𝑘 + 1100𝑘𝑘 � 𝑥𝑥
𝑥𝑥 =
400𝑘𝑘
1100𝑘𝑘
𝑥𝑥 = 0,3636 𝑜𝑜𝑜𝑜 36,36%
 O sistema é formado por duas barras rígidas com molas de rotação de rigidez K nos
pontos A, B e C.
 Configuração de flambagem do sistema.  Diagrama de corpo livre da barra BC.
 Configuração de flambagem do sistema.  Diagrama de corpo livre da barra BC.
Fazendo o somatório dos momentos no
ponto C, teremos:
�𝑴𝑴𝑪𝑪 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴𝑪𝑪 + 𝑴𝑴𝑩𝑩 − 𝑷𝑷𝜽𝜽
𝑳𝑳
𝟐𝟐
= 𝟎𝟎
𝟐𝟐𝑲𝑲𝜽𝜽 + 𝑲𝑲𝜽𝜽 = 𝑷𝑷𝜽𝜽
𝑳𝑳
𝟐𝟐
𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟔𝟔𝑲𝑲
𝑳𝑳 𝑷𝑷𝒄𝒄𝒄𝒄 =
𝟔𝟔𝑲𝑲
𝑳𝑳
Portanto a carga crítica para a
configuração do sistema apresentado é:
	Resistência dos Materiais Avançado
	Conceito de Estabilidade Elástica
	Conceito de Estabilidade Elástica - �Resistência
	Conceito de Estabilidade Elástica - �Resistência
	Conceito de Estabilidade Elástica - Rigidez
	Definição de Estabilidade Elástica
	Definição de Estabilidade Elástica
	Definiçãode Estabilidade Elástica
	Definição de Estabilidade Elástica
	Carga Crítica
	Carga Crítica
	Método do Equilíbrio
	Exemplo 01:
	Exemplo 01:
	Método do Equilíbrio em Flambagem de uma Barra Horizontal
	Número do slide 16