Examen Final AR2 UNMSM

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Universidad del Perú, Decana de América
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS REAL II (2020− II)
1. Sea f : M −→ M ′, donde M y M ′ son espacios métricos. Demuestre la equivalencia de las
aserciones siguientes:
a) Si T es abierto en M ′, entonces f−1(T ) es abierto en M .
b) f es continua en M .
c) Si K es cerrado en M ′, entonces f−1(K) es cerrado en M .
2. Sea M un espacio métrico. Demuestre:
a) A ⊂M conexo =⇒ A es conexo.
b) A ⊂ B ⊂ A y A conexo =⇒ B es conexo.
3. Sea M un espacio métrico. A,B ⊂M y χ
A
: M −→ {0, 1} es la función caracteŕıstica de A.
Demuestre:
a) χ
A∩B
= χ
A
χ
B
b) χ
C (A)
= 1−χ
A
c) χ
A\B
= χ
A
−χ
B
(B ⊂ A)
d) χ
A∪B
= máx
{
χ
A
, χ
B
}
4. Sea f(x, y) =
x y2
x2 + y4
si x 6= 0; y f(0, y) = 0 ∀ y ∈ R. Demuestre que f no es diferenciable
en (0, 0), en toda dirección (c, d).
5. Sean f y g caminos en R2. Demuestre:
a)
d
dt
〈f(t), g(t)〉 = 〈f ′(t), g(t)〉+ 〈f(t), g′(t)〉.
b)
d
dt
‖f(t)‖ = 〈f(t), f
′(t)〉
‖f(t)‖
; f(t) 6= 0.
Lima, 27 de Enero del 2021
J.P.AHolahoahoa