Soma dos termos de uma PA como função quadrática

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FÓRMULA DA SOMA: 
Vamos começar com a tradicional fórmula da soma dos termos de uma PA que estão nos livros 
didáticos: 
( )1
2
n
n
a a
S n
+
= 
Mas a fórmula do termo geral nos diz que: 
( )1 1na a n r= + − 
Substituindo na fórmula da soma temos: 
( )( ) ( ) ( )2 21 1 1 121 1
2
1
1 2 22 2
2 2 2 2 2 2
2 2
n
n
a a n r a nr r n a rna n r nr n r na nr r
S n n n
r r
S n n a
+ + − + − −+ − + −
= = = = = +
 
= + − 
 
 
Conclusão: 
A soma dos termos é uma função do segundo grau em n sem o termo independente; 
2
1
( )
2 2
S n an bn
r r
a b a
= +
=  = −
 
EXEMPLO: 
Sendo nS a soma dos n primeiros termos de uma PA, qual o valor do primeiro termo e a 
razão dessa PA sabendo que: 
25 3nS n n= + 
SOLUÇÃO: 
Considerando o primeiro item das conclusões acima, temos que: 
25 3
5 3
nS n n
a b
= +
=  =
 
1
2 2
r r
a b a=  = − 
 1 1 1
5 10
2
10
3 3 3 3 5 8 8;18;28;38;...
2 2 2
r
r
r r
a a a PA
=  =
= −  = +  = + = + = =