1-Trabalho 1 de Estruturas Algebricas e Teoria de Numeros

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE 
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES DE TRABALHO 1 DE ESTRUTURAS 
ALGEBRICAS E TEORIA DE NUMEROS 
 
 
Robelho Antónia Aguacheiro 
Código: 708202221 
Turma: B 
 
 
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática 
Disciplina: Estruturas Algébricas e Teoria de Números 
Ano de Frequência: 4º Ano 
Tutor: Noivado Beula 
 
 
 
 
 
 
Tete, Abril de 2023 
 
2 
 
Critérios de avaliação (disciplinas de calculo) 
Categorias Indicadores 
Padrões 
Classificação 
Pontuação 
máxima 
Nota do 
tutor 
Subtotal 
 Índice 0.5 
  Introdução 0.5 
 Actividades 0.5 
Conteúdo Actividades
2
 
 Actividade 1 
17.5 
 
 Actividade 2 
 Actividade 3 
 Actividade 4 
 Actividade 5 
 Actividade 6 
 Actividade 7 
Aspectos 
gerais 
Formatação 
 Paginação, tipo e 
tamanho de letra, 
paragrafa, espaçamento 
entre linhas 
1.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
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4 
 
Índice 
Introdução ........................................................................................................................................ 5 
Objectivos: ....................................................................................................................................... 5 
Objectivo geral ................................................................................................................................ 5 
Objectivos Específicos .................................................................................................................... 5 
RESOLUÇÃO DA ACTIVIDADE ................................................................................................. 6 
Número 01 ....................................................................................................................................... 6 
Número 02 ....................................................................................................................................... 6 
Número 03 ....................................................................................................................................... 6 
Número 04 ....................................................................................................................................... 8 
Número 05 ....................................................................................................................................... 8 
Número 06 ....................................................................................................................................... 9 
Número 07 ....................................................................................................................................... 9 
Número 08 ....................................................................................................................................... 9 
Número 09 ..................................................................................................................................... 10 
Número 10 ..................................................................................................................................... 12 
Número 11 ..................................................................................................................................... 12 
Conclusão ...................................................................................................................................... 13 
Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 14 
 
 
5 
 
Introdução 
Durante a licenciatura em Matemática, faz-se necessário cursar disciplinas com objectivos mais 
diferenciados, convergindo na formação de um profissional capaz de actuar 
em uma era que busca constantemente inovações no processo de ensino, já que a sociedade 
frequentemente sofre um processo de metamorfose. 
Salientamos que a Teoria dos Números é o ramo da Matemática que estuda as propriedades dos 
números em geral, sendo a Teoria Elementar dos Números responsável pelas propriedades dos 
números inteiros. Abordamos como foco principal a Aritmética Modular e o uso de suas 
aplicações a partir do livro didáctico. 
O presente trabalho de Estruturas Algébricas e Teoria de Número, ira fazer-se a resolução de 
alguns exercícios relacionados com desta disciplina na vida prática. 
Objectivos: 
Objectivo geral 
 Resolver todas actividades de Estruturas Algébricas e Teoria de Números. 
Objectivos Específicos 
 Resolver actividades de Teoria de Numero; 
 Resolver actividades de Estruturas Algébricas; 
 Resolver exercícios relacionados com a aplicação das Estruturas Algébricas e Teoria de 
Numero. 
 
6 
 
RESOLUÇÃO DA ACTIVIDADE 
Número 01 
Sejam as funções definidas por . Determinar os domínios das funções f 
∘ g e g ∘ f. 
Resolução 
 ( ) √ ( ) 
 ( ) √ 
 
( )( ) 
 
Dominio * + 
 
 ( ) √ √ 
 √ 
 
Dominio * + 
Número 02 
Seja a função bijectiva de ℝ em ℝ, definida por determinar f
−1
. 
Resolução 
 ( ) { 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
Número 03 
Um cabeleireiro cobra 120,00 mt pelo corte para clientes com hora marcada e 100,00mt sem hora 
marcada. Ele atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um número 
variável x de clientes sem hora marcada. 
7a) O que é dado em função do que? 
 Resposta: A quantia em dinheiro 
b) Escreva a fórmula matemática que fornece a quantia R recebida por dia em função do 
número x. 
Resolução 
Sabendo que cada cliente com hora marcada paga um valor de 120, 00 mt e está limitado a 6 
clientes por dia e o cliente sem hora marcada paga 100,00mt e não há limite de clientes, então 
essa será a parte variável da função. 
O aluno deverá chegar a conclusão que a expressão que representa a quantia (Q) diária em função 
do número x de clientes sem hora marcada será: 
 
 
c) Qual foi a quantia recebida num dia em que foram atendidos 16 clientes? 
Resolução 
Deverá ser notado aqui que, já que o total de clientes com hora marcada são 6 e a quantidade 
total de clientes nesse dia foram 16, logo a quantidade de clientes sem hora marcada (x) foram 
10, A quantia arrecadada deverá ser expressa desse modo: 
 
 
 
 
 
Então a quantia recebida nesse dia foi de 1720 mt 
d) Qual foi o número de clientes atendidos num dia em que foram recebidos 2120,00mt? 
Resolução 
O aluno deverá perceber que a situação se inverteu nesta questão, pois agora ele terá de descobrir 
a quantidade total de clientes em um dia. Utilizando a lei de formação da primeira questão 
teremos: 
 
 
 
8 
 
 
 
 
14 = x 
O total foi de 20 clientes atendidos 
e) Qual é a expressão que indica o número C de clientes atendidos por dia em função de 
x? 
Resolução 
A atividade anterior mostrará claramente como chegar a resposta desta questão, pois se o número 
de clientes com hora marcada é limitado a 6 por dia e o de clientes sem hora marcada é variável 
de acordo com o dia (x), logo a expressão que indicará o total de clientes em um dia será: 
 
Número 04 
Dada a função f: IR IR definida por: ; determine f(0), f(-4), f(2) e f(10). 
Resolução 
 ( ) {
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
Número 05 
Quais dos diagramas abaixo se encaixam na definição de função de A em B, onde A = {a,b,c} e 
B = {1,2,3}. 
 
9 
 
 
Resolução 
Somente o diagrama b, repreenta uma funcao A em B. 
Número 06 
Explique os procedimentos usados na construção de sistemas numéricos? 
Resposta 
Há registros de vários sistemas de numeração durante a história das civilizações. Com a 
necessidade de contabilizar, o ser humano desenvolveu a ideia de número e a sua representação 
em algarismos e sistemas de numeração. Acontece que cada povo desenvolveu um tipo de grafia 
para os números e, consequentemente, houve sistemas numéricos diferentes, com quantidade de 
símbolos e rigor matemáticos distintos. 
Entre os sistemas que se destacam, há o de numeração decimal, que usamos atualmente, mas há 
também os que foram desenvolvidos por povos como os: romanos; egípcios; sumérios; maias e 
chineses. 
Número 07 
Escrever o número = 1257 com 𝑏 = 9 na forma a = b.q + r com 0 < < 𝑏 . 
Resolução 
 com 𝑏 𝑏 𝑏 
a 
r 
b 
q 
 
1257 
6 
9 
139 
 
 𝑏 
Número 08 
Dados os números inteiros a e b, determinar m = mmc (a,b) e d = mdc(a,b), use algoritmo de 
Euclides. a) = 120 𝑏 = 250 b) = 3309 𝑏 = 243 
Resolução 
10 
 
 𝑏 ( 𝑏) e ( ) 
a) e 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
b) e 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
Número 09 
Encontre o mdc (726, 275) e expresse na forma de combinação linear. 
Resolução 
Q 2 1 1 1 3 2 
726 275 176 99 77 22 11 mdc 
R 176 99 77 22 11 0 
 
 1 
3 
1 
1 
1 
2 
3 
4 
7 
11 
-29 
 
 ( ) 
11 
 
 
12 
 
Número 10 
Os restos de a e b por 11, são 5 e 7 respectivamente. Calcule o resto da divisão de 3ab + a
2
 por 
11. 
Resolução 
 
 ( )( ) ( ) 
 ( ) ( )( ) 
 ( ) ( ) 
 
 ( ) 
 
 Por 11 é 9 
 Número 11 
Prove que, se dividirmos dois números naturais pelo seu mdc e calcularmos o mdc do seu 
resultado, teremos um. 
Resolução 
Seja dadas quaisquer números naturais 24 e 12, se dividimos 24 por 12 é igual a 2, e calculamos 
mdc de 4 teremos: 
2 2 
1 
 
13 
 
Conclusão 
Conclui-se que, todas as aplicações vistas até aqui podem facilmente ser abordadas desde a 
Educação Básica, tendo suas devidas alterações. Salientamos que a nossa pesquisa visa 
o processo de ensino e aprendizagem do discente, ou melhor, do futuro professor, e é de 
fundamental importância saber como a Aritmética Modular vem sendo abordada na 
Educação Básica. A partir de duas dissertações recentes de Sant’Anna (2013) e Santos 
(2013), os quais evidenciam o uso da Aritmética Modular cada vez mais presente nos 
concursos de acesso ao nível médio das Escolas Militares e na OBMEP, explanamos 
suas aplicações. 
 
14 
 
Referencias Bibliográficas 
BOYER, B. C. História da matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, 
1974. 
DE AMIO, Waldemar. Fundamentos de Matemática. Álgebra. Estruturas Algébricas Básicas e 
Fundamentos da Teoria de Números, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2007. 
GOVERNO DO ESTADO DE SAO PAULO. Matemática, Caderno do Professor, Ensino 
Fundamental, 8ª Série, Volume 1, 2009. 
LANDAU, Edmund. Elementare Zahlentheorie. Leipzig: S. Hirzyel Verlag, 1927.