1-CALCULO DIFERENCIAL EM IRn

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1 
 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE 
INSTITUTO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES DE 1O TRABALHO DE CAMPO DE 
CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn 
 
 
 
Robelho Antónia Aguacheiro 
Código: 708202221 
Turma: B 
 
 
 
 
Curso: Licenciatura em Ensino de Matemática 
Disciplina: Cálculo Diferencial em IRn 
Ano de Frequência: 4º Ano 
Tutor: Albertino Inácio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tete, Abril de 2023 
 
2 
 
Critérios de avaliação (disciplinas de calculo) 
Categorias Indicadores 
Padrões 
Classificação 
Pontuação 
máxima 
Nota do 
tutor 
Subtotal 
 Índice 0.5 
  Introdução 0.5 
 Actividades 0.5 
Conteúdo Actividades2 
 Actividade 1 
17.5 
 
 Actividade 2 
 Actividade 3 
 Actividade 4 
 Actividade 5 
 Actividade 6 
 Actividade 7 
Aspectos 
gerais 
Formatação 
 Paginação, tipo e 
tamanho de letra, 
paragrafa, espaçamento 
entre linhas 
1.0 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor 
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
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___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________ 
 
 
4 
 
Índice 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO .................................................................................................. 5 
Introdução ................................................................................................................................... 5 
Objectivos: .................................................................................................................................. 5 
Objectivo geral ........................................................................................................................... 5 
Objectivos Específicos ............................................................................................................... 5 
CAPITULO II: RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES .............................................................. 6 
Número 01 .................................................................................................................................. 6 
Número 02 .................................................................................................................................. 6 
Número 03 .................................................................................................................................. 7 
Número 04 .................................................................................................................................. 7 
Número 05 .................................................................................................................................. 8 
Número 06 .................................................................................................................................. 9 
Número 07 .................................................................................................................................. 9 
Número 08 ................................................................................................................................ 10 
Número 09 ................................................................................................................................ 11 
CAPITULO III: CONSIDERAÇÕES FINAIS E CITAÇÕES ................................................ 12 
Conclusão ................................................................................................................................. 12 
Referencias Bibliográficas ........................................................................................................ 13 
 
 
 
5 
 
CAPITULO I: INTRODUÇÃO 
Introdução 
Função é uma regra ou lei que associa a cada elemento de um conjunto A (de partida) um e 
apenas um elemento do conjunto B (de chegada). Representa-se y = f(x), onde y é a variável 
dependente e x a independente. 
Podemos notar que uma função de duas variáveis é uma função cujo domínio é um 
subconjunto de IR2 e cuja imagem é um subconjunto de IR. Os objectos formam um plano 
(são pares ordenados) e as imagens formam uma recta (são valores reais). 
A disciplina de Calculo Diferencial e Integral em IRn, denominada apenas por Calculo II, está 
presente no currículo das Engenharias em suas diversas modalidades e nas Licenciaturas em 
Matemática e Física. 
O presente trabalho de Calculo Diferencial e Integral em IRn, ira fazer-se a resolução de 
alguns exercícios relacionados com Determinação do domínio e o esboço do domínio de 
funções; Esboço dos gráficos das curvas de nível das funções; e Demonstração de funções 
diferenciáveis. 
Objectivos: 
Objectivo geral 
 Resolver a ficha de exercícios da cadeira de Calculo Diferencial e Integral em IRn 
correctamente. 
Objectivos Específicos 
 Determinar o domínio e o esboço do domínio de funções; 
 Resolver exercícios de aplicações de funções funções; 
 Fazer a demonstração de funções diferenciáveis. 
 
6 
 
CAPITULO II: RESOLUÇÃO DAS ACTIVIDADES 
Número 01 
Determine o diferencial total �� das funções 
�)	� = ��� + ��� 
Resolução 	
dz = 	
∂f
∂x
dx	 +	
∂f
∂y
dy	
∂f
∂x
= 	y� 	+ 	2xy	
∂f
∂x
= 	 x�y� 	+	x�	
dZ = 	 (y� 	+ 	2xy)	dx	 +	(x�y� 	+	x�)	dy
 
�)	�	 = 	��	(�� 	+ ��) 
Resolução 	
Usando a regra de cadeia 
�
��
[f (g)] = 
�
��
[f (g)]×
�
��
(g) 
Onde: g = x� 	+ y� 
�
��
[Ln (g)]	×
�
��
(x� 	+ y�) 
=
1
g
× 2x 
 
Substituindo: 
⇒ g = x� 	+ y� 
⇒
1
x� 	+ y�
× 2x 
⇒
��
��
 = 
��
��	���
 
 
 
Seguindo a regra de 
cadeia teremos: 
⇒
��
��
 = 
��
��	���
 
⇒ dz	= 
��
��
 dx + 
��
��
 dy 
⇒dz = 
��
��	�	��
dx +
��
��	�	��
dy 
Número 02 
Determine e esboce o domínio das funções: 
a) �(�; 	�) 	= 	�� − (�� − ��) 
Resolução 	
f(x; 	y) 	= 	�9 − (x� − y�) 		⟺ 	f(x; y) 	= 	�9 − x� − y� 
Domínio D	 = 	 {x;�	y	Є	IR= 		 x� + y� ≤ �9}, Pode ser representado por todos os pontos do 
círculo x� + y� ≤ �9} . O gráfico de f tem a equação z = �9 − x� − y� . Elevando ao 
quadrado ambos os lados da equação temos z� = 9 − x� − y� ou 	z� +	x� + y� = 9 uma 
esfera de raio 3 mas com z ≤ �9}. Para achar o traço no plano xy, consideramos z ≤ �0}e temos 
x� + y� = 9	um círculo de raio 3. No plano xz consideramos y = 0 e temos x� + z� = 9 um 
semi círculo de raio 3. No plano yz consideramos x = �9} e temos x� + z� = 9 um semi 
círculo de raio 3. 
 
b) �(�, �) = �� − ��� − �
Resolução 
�� = 4 − 4�� − �� ⟺ 4��
� = 1, � = 2, � = 2 
Domínio: D = {(�;��) ∈	IR
(�,−�, �)
Número 03 
O comprimento e a largura de um rectângulo foram medidos
respectivamente, com um erro máximo de 0,1cm. Utilize os diferenciais para estimar o 
máximo erro cometido no cálculo da área do rectângulo.
Resolução 
A área do rectângulo é dada
��
Como cada erro é de no máximo 0,1 cm temos:
Usamos ��	 = 	0,1 e ��	 =
área do rectângulo é de: ��
Número 04 
As dimensões de uma caixa fechada retangular foram medidas como 80cm, 60cm e 50cm,
respectivamente, com um erro máximo de 0,2cm em cada dimensão. Utilize diferenciais para
estimar o máximo erro cometido no cálculo da área da superfície da caixa.
 
x� + y� = 9 
�� 
� + �� + �� = 4 ⇔
4��
4
+
��
4
+
��
4
=
4
4
⟺ �
� IR2: �� +
��
�
+
��
�
= 1} 
(�, �, �) 
O comprimento e a largura de um rectângulo foram medidos como 30cm e 24cm,
respectivamente, com um erro máximo de 0,1cm. Utilize os diferenciais para estimar o 
erro cometido no cálculo da área do rectângulo. 
dada A = 	x. y 
��	 = 			
��
��
	��	 +			
��
��
��	 = 	���	 + 	���	
de no máximo 0,1 cm temos: |∆�| 	≤ 	0,1	�	|∆�| 	≤ 	0
= 	0,1 com �	 = 	30 e �	 = 	24 então, o erro máximo no calculo da 
��	 = 	24. 0,1	 + 	30. 0,1	 = 	5,4	��� 
uma caixa fechada retangular foram medidas como 80cm, 60cm e 50cm,
respectivamente, com um erro máximo de 0,2cm em cada dimensão. Utilize diferenciais para
estimar o máximo erro cometido no cálculo da área da superfície da caixa.
7 
�� +
��
4
+
��
4
= 1 
(�, �, �)	
como 30cm e 24cm, 
respectivamente, com um erro máximo de 0,1cm. Utilize os diferenciais para estimar o 
0,1 
o erro máximo no calculo da 
uma caixa fechada retangular foram medidas como 80cm, 60cm e 50cm, 
respectivamente, com um erro máximo de 0,2cm em cada dimensão. Utilize diferenciais para 
estimar o máximo erro cometido no cálculo da área da superfície da caixa. 
8 
 
Resolução 
�								 = 		�	. �	
dA	 = 	
∂A
∂x
dx	 +	
∂A
∂y
dy	 +	
∂A
∂z
dz	 = 	xydx	 + 	xydy	 + 	xydz	
Erro é de 0,2 cm no máximo 
|∆X| 	≤ 	0,2	e	|∆Y| 	≤ 	0,2	e	|∆Z| 	≤ 	0,2	
Usamos dX	 = 	0,2	dy	 = 	0,2	e	dz	 = 	0,2	com	x	 = 	80					y = 	60			e	Z = 50 
Enato o erro máximo no calculo de área do rectângulo é de: 
dA	 = 	60	.50	. 0,2	 + 	80	.50	. 0,2	 + 	80	.60	. 0,2	
dA	 = 	600	 + 	800	 + 	960	
dA = 2360	���	
Embora pareça grande, o erro cometido é de apenas 1% da área da caixa 
Número 05 
Determine, se existir, o limite: 
a) lim�;�)→(�;�)
�����
����������
	
Resolução 
Caminho 1: y	= 	� 
f(x, 0) = 
�.���.�
����������	
 
f(x, 0) = 
���
�������
 
 
 
Caminho 2: recta � = � 
f(x, x) = 
�.���.�
����������
 
f(x, x) = 
�����
��������
 
lim
�→�
0� − 2.0
2. 0� − 4.0 + 4
 
lim�→∞
�
�
 = 0 
O limite existe nos pontos que foi determinado 
�) ���
(�,�,�)→(�,�,�)
�
�
+	
�
�
+	
�
�
 
Resolução 
Caminho 1: �	 = 	3 
f(	x, 3, z) 	= 	 lim
(�,�,�)→(�,�,�)
1
1
+	
1
3
+	
1
4
	= 	1 +	
1
3
+	
1
4
	= 	
12	 + 	4	 + 	3
12
= 	
17
12
 
 
Caminho 2: �	 = 	� 
lim(�,�,�)
�
�
+	
�
�
+	
�
�
⟺ lim(�,�,�)
��
�
+	
�
�
= 	2	 +	
�
�
= 	
���
�
= 	
�
�
 
O limite não existe nos pontos definidos. 
9 
 
Número 06 
Usando a regra de cadeia, determine 
��
��
 
a) �(�, �) = 	�	 +	y2	; 	�	 = 	�			�	�	 = t3 
Resolução 
Começando a calcular as derivadas parciais 
��
��
 = 1 + y2 
��
��
 = x + 2y 
Em seguida calculamos as outras derivadas 
��
��
= 2t 
��
��
= 3t� 
Aplicamos a regra de cadeia, substituindo 
as derivadas calculadas anteriormente 
��
��
=
��
��
 
��
��
+ 
��
��
 
��
��
 
��
��
 = (1 +y�) 2t + (x + 2y) 3t2 
Substituindo x = t2 e y = t3 na expressão 
temos: 
 
��
��
 = [1 + ( t3)2] 2t + (t2 + 2t2) 
dz
dt
= (1 + t�)2t + (	t� + 2t�)3t� 
dz
dt
= 2t + 2t� + 2t� + 4t� 
dz
dt
= 2t� + 4t� + 2t� + 2t 
b) �(�) = 	����, �	 = 	��		�		�	 = 	�� 
Resolução 
��
��
	= px���y� e 
��
��
	= x�qy��� 
��
��
 = 0 
��
��
 = 0 
dz
dt
= 	
∂z
∂y
		
dx
dt
	+	
∂t
∂y
	
∂y
∂t
 
⟹
��
��
	= px���y� × 0 + x�qy��� × 0 
⟹
dz
dt
= 0 + 0 
⟹
dz
dt
= 0	 
 
Número 07 
Determine os vectores velocidade e aceleração da partícula no instante t dado: 
a) �(�) = (� + �)� + (�� + �) com � = � 
Resolução 
Velocidade 
v�⃗ =
dr
dt
[(t + 1)i + (t� + 1)] 
v�⃗ = i + (2t)j No instante t = 1 
v�⃗ (1) = i + (2 × 1)j 
v�⃗ (1) = i + 2j 
Aceleração 
a�⃗ =
dv
dt
(i + 2tj) 
a�⃗ (t) = 2j No instante t = 1 
a�⃗ (1) = 2j 
 
 
 
10 
 
b) �(�) = ���(��) � + ����(��)� com � = � 
Resolução 
Velocidade 
�(�) =
��
��
[cos(2�)� + 3sin(2�)�] 
�(�) = [−2 sin(2�)� + 6 cos(2�)�] 
No instante � = 0 
�(0) = [−2 sin(2 × 0)� + 6 cos(2 × 0)�] 
�(0) = [−2 sin(0)� + 6 cos(0)�] 
�(0) = 0 × � + 6 × 1 × � 
�(0) = 6� 
Aceleração 
�⃗ = 	
��
��
[−2	���	(2�)]� +	[6	���	(2�)] 
�⃗ =	[−4	���(2�)]� +	[−12	���	(2�)] 
�⃗ = 	 [−4	���(2�)]� +	[−12	���	(2�)] 
No instante t = 0 
�⃗(0) = 	 [−4	���	(2. 0)]� +	[−12	���	(2.0)] 
�⃗(0) = 	 [−4	���	(0)]� +	 [−12	���	(0)] 
�⃗(0) = 	 [−4	. 1	]� +	 [−12	.0] 
�⃗(0) = 	−4� + 0 
�⃗(0) = 	−4� 
 
Número 08 
Determine o gradiente da função no ponto dado: 
a) �(�, �) = � − �� P (-1, 0) 
Resolução 
∇�(�) = 
��	
��
(�), 
��
��
	(�) 
��	
��
(�, �) = 	−2�		 ⟺	
��	
��
(−1, 0) = 	−2. (−1) = 2 
��	
��
(�, �) = 1	 ⟺	
��	
��
(−1, 0) = 1 
��(�, �) = 〈�, �〉 
 
b) �(�, �, �) = �� + �� + ��� + ���(�) �(�, �, �) 
Resolução 
��	
��
= 2� +	
�
�
	⇒ 	
��	
��
(1, 1, 1) = 2. 1 +	
1
1
= 2 + 1 = 3 
��	
��
= 2�	 ⇒ 	
��	
��
(1, 1, 1) = 2. 1 = 2 
��	
��
− 4� + 	��(�) ⇒ 	
��	
��
(1, 1, 1) = 	−	4.1 + ln(1) = 	−4 + 	0 = 	−4 
��(�, �, �) = 〈�, �, −�〉 
11 
 
Número 09 
Determine as derivadas parciais de segunda ordem: 
a) f(x, y) = exy 
Resolução 
∂f	
∂x
(x, y) = y	e��(��������	�����) ⇒	
∂�f	
∂x�
(x, y) = 	 y�	e��	(�������	�����) 
∂f	
∂y
(x, y) = x	e��(��������	�����) ⇒		
∂�f	
∂y�
(x, y) = 	 x�	e��(�������	�����) 
b) f(x, y, z) = xy2 + x2y3+ x3y4 
Resolução 
∂f	
∂x
(x, y, z) = y�2xy� +	3xy�(��������	�����) 
	
∂�f	
∂x�
(x, y) = 	2y�6xy�(�������	�����) 
∂f	
∂y
(x, y, z) = 2yx +	x�3y� +	x�4y�(��������	�����) 
∂�f	
∂y�
= (x, y, z) = 2x +	x�3y +	x�2y�(�������	�����) 
 
 
12 
 
CAPITULO III: CONSIDERAÇÕES FINAIS E CITAÇÕES 
Conclusão 
Terminado presente trabalho podemos concluir que Domínio de uma função é o conjunto de 
elementos do conjunto de partida que através da lei (função) tem um correspondente no 
conjunto de chegada. 
Como vimos para o caso de funções de uma variável que o domínio duma função definida por 
uma regra é o maior domínio no qual a regra dá um único valor e com sentido. Para funções 
de duas vaiáveis x e y o domínio D é um conjunto de pontos no plano xoy, ou seja, “é o 
conjunto D de todos os pares (x,y) para os quais a regra z = f(x,y) é definida”. 
Geralmente, é difícil desenhar o gráfico de uma função de duas variáveis. Uma maneira de 
tentar fazer isso é desenhar um conjunto de contornos unindo pontos que estão a mesma 
altura. 
O conjunto de pontos (x,y) no plano xy que satisfaz à equação f (x, y)  k , é chamado de 
curva de nível de f em k. Fazendo variar o valor de C, é possível gerar uma família de curvas 
de nível, tal que pilotando alguns membros dessa família no plano xy obtêm-se a forma 
aproximada da superfície (o gráfico da função). 
 
13 
 
Referencias Bibliográficas 
I. AVILA,G. Analise Matemática para Licenciatura, 2ª Edição revista e ampliada, 
Editora Blucher, São Paulo - Brasil, 2005. 
II. Uache, Salvador Ernesto. Modulo de Calculo Diferencial e Integral em IR, 1ª 
Edição. UCM. Beira, Agosto de 2011. 
III. Vuma, Jose Pedro e Watchave Dias. Pré-Universitário Matemática 12ª classe, 
Longmam Moçambique, Maputo 2010. 
IV. UNIVERSIDADE CATOLICA DE MOCAMBIQUE. Modulo de Calculo 
Diferencial e Integral em IRn.