Funciones especiales Gamma y beta

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La Integral Definida
Dpto. Académico de Matemática
UNALM
Ciclo: 2020 - I
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 1 / 15
2.6 Funciones Especiales
I Función Gamma
I Función Beta
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 2 / 15
Función Gamma (Γ)
La función Γ : [0,+∞〉 → IR dada por
Γ(p) =
∫ +∞
0
e−uup−1du
se conoce como la función gamma. Esta integral es convergente para p > 0.
Propiedades:
1 Γ(1) = 1
2 Γ(p + 1) = pΓ(p); ∀p > −1
3 Γ(n + 1) = n!, ∀n ∈ Z+
4
∫ +∞
0
e−u
2
du =
√
π
2
5 Γ
(
1
2
)
=
√
π
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Ejemplo 1
Calcule:
∫ +∞
0
e−x
3
x2dx
Solución. Hacemos t = x3, dt = 3x2dx
para x = 0, t = 0 ; x → +∞, t → +∞
∫ +∞
0
e−x
3
x2dx =
1
3
∫ +∞
0
e−tdt
=
1
3
Γ(1)
=
1
3
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 4 / 15
frametitleEjemplo 2 Calcule:
∫ +∞
0
e−x
2
x2dx
Solución. Hacemos t = x2, dt = 2xdx ; x = t1/2
para x = 0, t = 0 ; x → +∞, t → +∞
∫ +∞
0
e−x
2
x2dx =
∫ +∞
0
e−tt
dt
2t1/2
=
1
2
∫ +∞
0
e−tt1/2dt
=
1
2
∫ +∞
0
e−tt3/2−1dt =
1
2
Γ
(
3
2
)
=
1
2
1
2
Γ
(
1
2
)
=
√
π
4
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 5 / 15
Ejemplo 3
Calcule:
∫ π/2
0
tan8 x sec2 xe− tan xdx
Solución.
Haciendo un cambio de variable u = tan x , du = sec2 xdx
Si x → 0+ , u → 0+ y si x → π/2 , u → +∞
Reemplazando ∫ π/2
0
tan8 x sec2 xe− tan xdx =
∫ +∞
0
u8e−udu
= Γ (8 + 1)
= 8!
= 40320
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Ejemplo 4
Calcule:
∫ 1
0
1√
−2 ln x
dx
Solución. Haciendo un cambio de variable : x = e−t ; dx = −e−tdt. Además
si x → 0 , t → +∞; si x → 1 , t → 0
Luego: ∫ 1
0
1√
−2 ln x
dx =
∫ 0
+∞
1√
2t
(
−e−tdt
)
=
1√
2
∫ +∞
0
t−1/2e−tdt
= − 1√
2
Γ
(
1
2
)
=
1√
2
√
π
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Ejemplo 5
Calcule:
∫ +∞
0
x3/2e−x
5
dx
Solución. Sea x = u1/5, dx = 15u
−4/5du ; x = 0⇒ u = 0, y si x → +∞ ; u → +∞, luego∫ +∞
0
x3/2e−x
5
dx =
∫ +∞
0
(
u1/5
)3/2
e−u
(
1
5
u−4/5
)
du
=
1
5
∫ +∞
0
u−1/2e−udu
=
1
5
∫ +∞
0
u1/2−1e−udu
=
1
5
Γ
(
1
2
)
=
√
π
5
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Ejercicios
1 Calcule:
∫ 1
0
1√
−3 ln x
dx
2 Calcule:
∫ ∞
0
6−4x
2
dx
3 Calcule:
∫ ∞
0
e−2x√
x
dx
4 Calcule:
∫ 1
0
(x ln x)3dx
5 Calcule:
∫ 1
0
(ln x)4dx
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Función Beta (β)
Sea la función β : IR+ × IR+ → IR, definida mediante la integral
β(m, n) =
∫ 1
0
um−1(1− u)n−1du
donde m > 0 y n > 0
Propiedades:
1 β(m, n) = β(n,m)
2 β(m, n) =
Γ(m)Γ(n)
Γ(m + n)
3
∫ π
2
0
sen2m−1 θ cos2n−1 θdθ =
1
2
β(m, n)
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Ejemplo 1
Calcule:
∫ 4
1
5
√
(x − 1)2(4− x)3dx
Solución. ∫ 4
1
5
√
(x − 1)2(4− x)3dx =
∫ 4
1
(x − 1)2/5(4− x)3/5dx
Hacemos el cambio de variable : x − 1 = (4− 1)z ⇒ dx = 3dz .
Además si x = 1⇒ z = 0 si x = 4⇒ z = 1
I =
∫ 1
0
(3z)2/5(3− 3z)3/5 (3dz) = 9
∫ 1
0
z2/5(1− z)3/5dz = 9
∫ 1
0
z7/5−1(1− z)8/5−1dz
= 9β
(
7
5 ;
8
5
)
=
9Γ
(
7
5
)
.Γ
(
8
5
)
Γ (3)
=
9
(
2
5
)
Γ
(
2
5
)
.
(
3
5
)
Γ
(
3
5
)
2!
= 2725 Γ
(
2
5
)
.Γ
(
3
5
)
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Ejemplo 2
Calcule
∫ 1
−1
(
1− t2
)n
dt, donde n ∈ N∗.
Solución.
Como
(
1− t2
)n
es una función par entonces
∫ 1
−1
(
1− t2
)n
dt = 2
∫ 1
0
(
1− t2
)n
dt.
Hacemos u = t2, du = 2tdt; dt =
1
2
√
u
du. t → 0+ , u → 0+ y t → 1− , u → 1−.
∫ 1
−1
(
1− t2
)n
dt = 2
∫ 1
0
(1− u)n 1
2
√
u
du =
∫ 1
0
(1− u)n+1−1 u
1
2
−1du
= β(
1
2
, n + 1) =
Γ
(
1
2
)
Γ(n + 1)
Γ(n +
3
2
)
=
Γ
(
1
2
)
n!
Γ(n +
1
2
+ 1)
=
√
πn!(
n +
1
2
)
Γ
(
n + 12
) .
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Ejemplo 3
Calcule:
∫ π
2
0
cos5/3 (u) sen13 (u) du
Solución. Es una función beta como:
1
2
β (m, n), donde:
2m − 1 = 5
3
⇒ m = 4
3
2n − 1 = 13 ⇒ n = 7
=
1
2
β
(
4
3
, 7
)
=
1
2
Γ
(
4
3
)
Γ (7)
Γ
(
4
3
+ 7
) = 1
2
6! · Γ
(
4
3
)
22
3
· 19
3
· 16
3
· ... · 4
3
· Γ
(
4
3
) = 12 6!22
3
· 19
3
· 16
3
· ... · 4
3
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 13 / 15
Ejemplo 4
Calcule
∫ π/2
0
sen4xdx
Solución. Se tiene
I =
∫ π/2
0
sen4xdx =
∫ π/2
0
sen2(
5
2 )−1x cos2(
1
2 )−1 0dx =
1
2
β
(
5
2
,
1
2
)
=
1
2
Γ
(
5
2
)
Γ
(
1
2
)
Γ
(
5
2
+
1
2
) = 1
2
Γ
(
3
2
+ 1
)
Γ
(
1
2
)
Γ(3)
=
3
4
Γ
(
1
2
+ 1
)
Γ
(
1
2
)
2!
=
3
8
.
1
2
Γ2
(
1
2
)
=
3
16
π.
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 14 / 15
Ejercicios Propuestos∫ ∞
0
xe−x
3
dx∫ ∞
0
√
xe−8x
3
dx∫ ∞
0
x
3
2 e−9xdx∫ 1
0
1√
1− 4
√
x
dx∫ 8
0
x−
1
2 (2− x
1
3 )
1
4 dx∫ 1
0
x(1− x4)−
1
2
Dpto. Académico de Matemática UNALM La Integral Definida Ciclo: 2020 - II 15 / 15
dx
	Función Gamma
	Función Beta ()