Área_de_figuras_planas

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Questão 1
(a) O domı́nio dessa integral é dado pelos limites de integração. No caso, x varia de
−1 a 2 e y varia de x2 a x+ 2. Portanto, o domı́nio é definido por:
−1 ≤ x ≤ 2
x2 ≤ y ≤ x+ 2
Invertendo a ordem de integração:∫ 2
−1
dy
∫ x+2
x2
dx
∫ x+2
x2
dx = [x]x+2x2 = (x+ 2)− x
2
∫ 2
−1
[(x+ 2)− x2]dy
∫ 2
−1
[(x+ 2)− x2]dy =
[
(x+ 2)y − x2y
]2
−1
=
[
(x+ 2)(2)− x2(2)
]
−
[
(x+ 2)(−1)− x2(−1)
]
=
[
2x+ 4− 2x2
]
−
[
−x− 2 + x2
]
= 2x+ 4− 2x2 + x+ 2− x2
= 3 + 3x− 3x2
∫ 2
−1
dx
∫ x+2
x2
dy =
∫ 2
−1
(3 + 3x− 3x2)dx
=
[
3x+
3
2
x2 − x3
]2
−1
=
[
3(2) +
3
2
(2)2 − (2)3
]
−
[
3(−1) + 3
2
(−1)2 − (−1)3
]
= [6 + 6− 8]−
[
−3 + 3
2
− (−1)
]
= 4−
[
−3 + 3
2
+ 1
]
= 4 +
1
2
=
9
2
(b)
0 ≤ y ≤ a
a− y ≤ x ≤
√
a2 − y2
Invertendo a ordem de integração:
∫ a
0
dx
∫ √a2−y2
a−y
dy
∫ √a2−y2
a−y
dy = [y]
√
a2−y2
a−y =
√
a2 − y2 − (a− y)
∫ a
0
[√
a2 − y2 − (a− y)
]
dx
=
[
x
(√
a2 − y2 − (a− y)
)]a
0
= a
(√
a2 − y2 − (a− y)
)
− 0
= a
√
a2 − y2 − a(a− y)
= a
√
a2 − y2 − a2 + ay
∫ a
0
dx
∫ √a2−y2
a−y
dy =
∫ a
0
a
√
a2 − y2 − a2 + aydx
=
[
a
√
a2 − y2x− a2x+ (ay)x
]a
0
= a
√
a2 − y2a− a2a+ (aa)y − 0
= a2
√
a2 − y2 − a3 + a2y
Questão 2
(a) ∫ 3 secφ
0
rdr =
∫ 3 secφ
0
3 sec(φ)dφ
∫ arctan(2)
π
4
3 sec(φ)dφ
∫
sec(φ) sec(φ) tan(φ)dφ
Substituindo u = sec(φ), du = sec(φ) tan(φ)dφ∫
udu
u2
2
+ C
sec2(φ)
2
+ C[
sec2(arctan(2))
2
]
−
[
sec2
(
π
4
)
2
]
sec(arctan(2)) =
√
1 + tan2(arctan(2)) =
√
1 + 22 =
√
1 + 4 =
√
5 sec
(
π
4
)
=√
1 + tan2
(
π
4
)
=
√
1 + 1 =
√
2
[
sec2(arctan(2))
2
]
−
[
sec2
(
π
4
)
2
]
=
[
(
√
5)2
2
]
−
[
(
√
2)2
2
]
=
5
2
− 2
2
=
3
2
(b) ∫ a(1+cosφ)
a
rdr
∫ π
2
−π
2
a(1 + cosφ)dφ
a
∫ π
2
−π
2
(1 + cosφ)dφ
∫
1dφ = φ∫
cosφdφ = sinφ
a
∫ π
2
−π
2
(1 + cosφ)dφ
= a [(φ+ sinφ)]
π
2
−π
2
= a
[(π
2
+ sin
(π
2
))
−
(
−π
2
+ sin
(
−π
2
))]
= a
[(π
2
+ 1
)
−
(
−π
2
− 1
)]
= a
[(π
2
+ 1
)
+
(π
2
+ 1
)]
= a(π + 2)
Questão 3
Para x = y e x = 2y: Igualando as duas equações, temos:
y = 2y
Portanto, y = 0. Substituindo y em x = y, temos:
x = 0
Portanto, o ponto de interseção é (0, 0).
Para x+y = a e x+3y = a: Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos:
(x+ y)− (x+ 3y) = a− a
Simplificando, temos:
−2y = 0
Portanto, y = 0. Substituindo y em x+ y = a, temos:
x+ 0 = a
Portanto, x = a. Portanto, o ponto de interseção é (a, 0).
Área = base×altura
2
A base do triângulo é a distância entre os pontos (0, 0) e (a, 0),
que é igual a |a − 0| = |a| = a. A altura do triângulo é a distância vertical entre a
reta x = 2y e a reta x+ y = a. Substituindo y = x
2
na equação x+ y = a, obtemos:
x+
x
2
= a
2x+ x = 2a
3x = 2a
x =
2a
3
A altura do triângulo é |2a
3
− 0| = |2a
3
| = 2a
3
.
Área =
a× 2a
3
2
= 2a
2
6
= a
2
3
Portanto, a área limitada pelas retas x = y, x = 2y, x + y = a e x + 3y = a é
igual a a
2
3
.
Questão 4
Equação da curva: (3− y)2 = 4ax
Simplificando, temos: y2 − 6y + (9− 4ax) = 0
Encontrando o valor de y, temos: y = 3± 2
√
ax
Encontrando o ponto de interseção com o eixo x, temos: 0 = 3± 2
√
ax
Resolvendo a equação acima, encontramos: 2
√
ax = 3
Simplificando, temos: 4ax = 9
Encontrando o valor de x, temos: x = 9
4a
A área é dada por: A =
∫ 9
4a
0
(3− 2
√
ax)dx
Calculando a integral, temos:
∫
(3− 2
√
ax)dx = 3x− 4a
3
(ax)
3
2
Substituindo os limites de integração, temos: A =
[
3x− 4a
3
(ax)
3
2
] 9
4a
0
Simplificando, temos: A = 27
4a
− 4a
3
(
9
4a
) 3
2
Portanto, a área limitada pela curva (3− y)2 = 4ax é igual a 27
4a
− 4a
3
(
9
4a
) 3
2 .
Questão 5
x = r cos(θ)
y − x = r sin(θ)
r2 sin2(θ) + r2 cos2(θ) = 1
r2(sin2(θ) + cos2(θ)) = 1
r2 = 1
r = 1
x = cos(θ)
y = sin(θ) + cos(θ)
A área é dada por: A =
∫∫
D
dA
O domı́nio D é limitado pela elipse. Neste caso, o domı́nio é definido por: D =
{(x, y) | 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}
A =
∫ 2π
0
∫ 1
0
r dr dθ
Simplificando, temos: A = 1
2
∫ 2π
0
dθ
Calculando a integral, temos: A = 1
2
[θ]2π0
Simplificando, temos: A = 1
2
(2π − 0)
Portanto, a área é igual a π.
Questão 6
Resolvendo a equação 10x+ 25 = −6x+ 9, encontramos: x = −1.
Substituindo x = −1 na equação y2 = 10x+ 25, temos: y2 = 10(−1) + 25.
Simplificando, temos: y2 = −10 + 25.
Encontrando o valor de y, temos: y = ±
√
15.
Portanto, temos dois pontos de interseção: (−1,
√
15) e (−1,−
√
15).
Calculando as áreas:
A1 =
∫ 0
−1(10x+ 25) dx
Simplificando, temos: A1 = [5x
2 + 25x]
0
−1
Simplificando ainda mais, temos: A1 = 0− (−5 + 25) = 5 + 25 = 30
A2 =
∫ 0
−1(−6x+ 9) dx
Simplificando, temos: A2 = [−3x2 + 9x]0−1
Simplificando ainda mais, temos: A2 = 0− (3 + 9) = −12
Atotal = A1 + A2 = 30 + (−12) = 18
Portanto, a área total é igual a 18.
Questão 7
Resolvendo a equação x2 + y2 = 2x, encontramos: x = 0 e y = 0.
Portanto, um ponto de interseção é (0, 0).
Resolvendo a equação x2 + y2 = 4x, encontramos: x = 0 e x = 4.
Portanto, temos dois pontos adicionais de interseção: (0, 0) e (4, 4).
Agora que temos os pontos de interseção (0, 0), (0, 0) e (4, 4), podemos calcular
a área limitada pelas curvas.
Atotal =
∫ 4
0
x dx
Simplificando, temos: Atotal =
[
x2
2
]4
0
Simplificando ainda mais, temos: Atotal =
42
2
− 02
2
= 8
Portanto, a área limitada pelas curvas é igual a 8.
Questão 8
Dado r = secφ e r = 2, temos secφ = 2.
Simplificando, obtemos cosφ = 1
2
.
A área A é dada por A = 1
2
∫ b
a
r2 dφ.
Substituindo r2 = 22 = 4 na fórmula da área, temos A = 1
2
∫ 2π
3
π
3
4 dφ.
Simplificando, temos A = 2
∫ 2π
3
π
3
dφ.
Calculando a integral, temos A = 2 [φ]
2π
3
π
3
.
Simplificando ainda mais, temos A = 2
(
2π
3
− π
3
)
.
Simplificando novamente, temos A = 2π
3
.
Portanto, a área é igual a 2π
3
.
Questão 9
Dado a(1 + cosφ) = a cosφ, podemos simplificar a equação para cosφ = −1.
Isso implica que φ = π.
A área A é dada por A = 2
(
1
2
∫ π
0
(a(1 + cosφ))2 dφ
)
.
Simplificando, temos A =
∫ π
0
a2(1 + 2 cosφ+ cos2 φ) dφ.
Continuando a simplificação, temos A =
∫ π
0
a2(1 + 2 cosφ+ 1
2
(1 + cos 2φ)) dφ.
Simplificando ainda mais, temos A =
∫ π
0
(a2 + a2 cosφ+ a
2
2
+ a
2
2
cos2 φ) dφ.
Continuando a simplificação, temos A =
∫ π
0
(a2+a2 cosφ+ a
2
2
+ a
2
2
(2 cos2 φ−1)) dφ.
Simplificando ainda mais, temos A =
∫ π
0
(5/2a2 + a2 cosφ+ a
2
2
cos2 φ) dφ.
Calculando a integral, temos A =
(
5
2
a2φ+ a2 sinφ+ a
2
6
cos3 φ
) ∣∣∣∣π
0
.
Simplificando novamente, temos A =
(
5
2
a2π + a
2
6
)
− a2
6
.
Simplificando ainda mais, temos A = 5
2
a2π.
Portanto, a área é igual a 5
2
a2π.
Questão 10
Dado
(
x2
4
+ y
2
9
)2
= x
2
4
− y2
9
, podemos simplificar a equação para:
x4 + 8x
2y2
9
+ 9y
4
16
− 4x2
1
+ 9y
2
4
= 0.
Simplificando ainda mais, temos x4 − 4x2 + 8x2y2/9 + 9y4/16 + 9y2/4− 4 = 0.
A equação pode ser reescrita como
(
x2 + 2xy
3
)2
+
(
3y2
4
+ 9
8
)2
− 4− 81
16
= 0.
A área A é dada por A = π · 2 · 3.
Simplificando, temos A = 6π.
Portanto, a área é igual a 6π.
Questão 11
Dado (x− 2y+3)2 + (3x+4y− 1)2 = 100, podemos expandir a equação para obter:
10x2 + 36y2 − 10x+ 4y − 108 = 0.
Simplificando, temos 10x2 − 10x+ 36y2 + 4y − 108 = 0.
Podemos reescrever a equação como 10(x2 − x) + 4(9y2 + y)− 108 = 0.
Completando o quadrado, obtemos 10(x− 1
2
)2 + 4(9y + 1
6
)2 − 108 = 0.
Podemos simplificar ainda mais para 10(x− 1
2
)2 + 4(9y + 1
6
)2 = 108.
A equação é equivalente a
(x− 1
2
)2
10
+
(9y+ 1
6
)2
27
= 1.
A área A é dada por A = π ·
√
1
10
·
√
1
27
.
Simplificando, temos A = π ·
√
1
270
.
Portanto, a área é igual a π√
270
.
Questão 12
Dada a primeira equação, x2 = a·y, podemos reescrevê-la em termos de u da seguinte
forma:
x2 = a · y
Substituindo x2 por u · y, temos:
u · y = a · y
Portanto, u = a.
Da mesma forma, reescrevendo a segunda equação, x2 = b · y, em termos de u,
obtemos: u = b.
A terceira equação, y2 = α · x, pode ser reescrita em termos de v:
y2= α · x
Substituindo y2 por v · x, temos:
v · x = α · x
Assim, v = α.
Reescrevendo a quarta equação, y2 = β · x, em termos de v, obtemos:
v = β
.
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para deter-
minar os limites de integração. Igualando as equações (1) e (3), temos:
a = α · x
x =
a
α
Igualando as equações (2) e (4), temos:
b = β · x
x =
b
β
Podemos ver que os valores de x são limitados por a
α
e b
β
.
A área A é dada pela integral definida de y = x
2
a
até y = x
2
b
em relação a y:
A =
∫ x2
b
x2
a
x dy
du =
2x
a
dy
dy =
a
2x
du
A =
∫ x2
b
x2
a
x · a
2x
du
A =
a
2
∫ x2
b
x2
a
du
A =
a
2
[u]
x2
b
x2
a
A =
a
2
(
x2
b
− x
2
a
)
A =
a
2
· x
2(b− a)
ab
Questão 13
ax = bx
x(a− b) = 0
α = β
ax = α
x =
α
a
bx = α
x =
α
b
Área =
∫ α
b
α
a
y dx
y =
√
ax
Área =
∫ α
b
α
a
√
ax dx
Area =
[
2
3a
· (ax)
3
2
]α
b
α
a
Area =
2
3a
·
((a
b
) 3
2 − 1
)