Autovalores e Autovetores - Álgebra Linear

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- RESUMÃO – 
AUTOVALORES E 
AUTOVETORES 
(Álgebra Linear e Geometria Analítica) 
Formulário, Dicas e Macetes para a Prova 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Autovalores e Autovetores de uma Matriz 
Autovalores e Autovetores 
Def: Seja 𝐴 uma matriz quadrada. Um vetor 𝑣 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝐴), 𝒗 ≠ 𝟎, é autovetor de 𝐴 
associado ao autovalor 𝜆 se: 
𝐴𝑣 = 𝜆𝑣 
• 𝜆 pode ser 0 
• Um mesmo autovalor pode estar associado à mais de um autovetor 
 
Autoespaços 
Def: Sendo {𝑣1, … , 𝑣𝑘} autovetores l.i. associados à um mesmo autovalor de 𝜆, o 
autoespaço associado à 𝜆, 𝐴𝑢𝑡(𝜆) é 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑣1, … , 𝑣𝑘} 
Ex: Se {(1,2,3), (1,0,1)} são tais que: 
𝐴 (
1
2
3
) = (
2
4
6
) 
𝐴 (
1
0
1
) = (
2
0
2
) 
Então 𝐴𝑢𝑡(2) = [(1,2,3), (1,0,1)] 
 
• Se 𝐴 ∈ 𝑀𝑛×𝑛(ℝ), a soma da dimensão dos autoespaços de 𝐴 ≤ 𝑛 
• 𝐴𝑢𝑡(0) = 𝑁𝑢𝑐(𝐴) 
 
Calculando Autovalores e Autovetores 
Calculando os Autovalores e Autovetores 
• Os autovalores de 𝐴 são as raízes da equação det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0, a qual é chamada 
de polinômio característico 
• Achando um autovalor 𝜆 de 𝐴, resolvemos a equação (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0, para calcular 
os autovetores 𝑥 associados à lambda 
 
Multiplicidade 
• A multiplicidade algébrica de um autovalor 𝜆, 𝑚. 𝑎. (𝜆) é a sua multiplicidade como 
raíz do polinômio característico 
• A multiplicidade geométrica de 𝜆 é dim(𝐴𝑢𝑡(𝜆)) 
• Vale sempre 𝑚. 𝑎. (𝜆) ≥ 𝑚. 𝑔. (𝜆) 
 
Bizus 
• O determinante de 𝐴 é o produto de seus autovalores 
• O traço de 𝐴 é a soma de seus autovalores 
• Os autovalores de 𝐴−1 são o inverso dos autovalores de 𝐴 
 
 
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Autovalores e Autovetores de uma T.L. 
Def: Seja 𝑇: 𝑉 → 𝑉 uma transformação linear. Um vetor 𝑣 ∈ 𝑉, 𝒗 ≠ 𝟎, é autovetor de 𝑇 
associado ao autovalor 𝜆 se: 
𝑇(𝑣) = 𝜆𝑣 
Papo reto: calculamos os autovalores e autovetores de 𝑇 usando [𝑇]𝐶𝑎𝑛. Achando a 
matriz fazemos igualzinho e valem as mesmas coisas que os autovalores e autovetores de 
uma matriz. 
 
Projeção e Reflexão 
• Se 𝑇 possui somente os autovalores 0 e 1, 𝑇 é a projeção no espaço 𝐴𝑢𝑡(1). 
• Se 𝑇 possui somente os autovalores 1 e -1, 𝑇 é a reflexão no espaço 𝐴𝑢𝑡(1) 
 
Subespaços Invariantes 
Def: Se 𝑈 ⊂ 𝑉 , 𝑇(𝑈) = {𝑇(𝑢): 𝑢 ∈ 𝑈} 
 
Def: Um subespaço 𝑈 ⊂ 𝑉 é 𝑇 −invariante se 𝑇(𝑈) ⊂ 𝑈 
• Se 𝑈 é 𝑇 −invariante, então existe um autovalor 𝜆 de 𝑇 tal que 𝑈 ⊂ 𝐴𝑢𝑡(𝜆) 
 
 
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