PROVA II GEOMETRIA ANALITICA E ALGEBRA VETORIAL

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Disciplina:
	Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual ( Cod.:668549) ( peso.:1,50)
	Prova:
	30095016
	Nota da Prova:
	8,00
	
	
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
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	1.
	A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
(    ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
(    ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	V - V - V - F.
	 d)
	V - F - V - F.
	2.
	A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
	
	 a)
	Os autovalores associados são 0 e 2.
	 b)
	Os autovalores associados são 1 e -1.
	 c)
	Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
	 d)
	Os autovalores associados são 5 e 3.
	3.
	Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y) = (x + y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?
	 a)
	As coordenadas são (2, -4, 1).
	 b)
	As coordenadas são (0, 4, 1).
	 c)
	As coordenadas são (2, -4, 0).
	 d)
	As coordenadas são (2, 4, 1).
	4.
	Em muitas aplicações, não é interessante trabalhar com um espaço vetorial "inteiro", mas com uma parte deste espaço, ou seja, um subespaço, que seja constituído pelas combinações lineares de um dado conjunto de vetores. Será, então, conveniente, escrever os elementos desse subespaço como combinações lineares de um conjunto que contenha o menor número possível de vetores e que estes sejam escritos de forma simplificada. Neste aspecto, podemos representar estes subespaços através de bases. Sobre os conjuntos que podem ser bases de R², classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) {(2,3),(-1,4)}.
(    ) {(2,3),(-6,-9)}.
(    ) {(1,5),(3,11)}.
(    ) {(0,2),(0,0)}.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - V - F - F.
	 b)
	V - F - V - F.
	 c)
	F - F - F - V.
	 d)
	F - V - F - V.
	5.
	Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa CORREA que apresenta um conjunto de vetores LI:
	 a)
	{(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}.
	 b)
	{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
	 c)
	{(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}.
	 d)
	{(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
	6.
	No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir:
I- [(1,1),(1,0)].
II- [(1,1),(0,1)].
III- [(0,1),(1,0)].
IV- [(1,1)].
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	Somente a opção III está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção IV está correta.
	 d)
	Somente a opção II está correta.
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	7.
	Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
	 a)
	[(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
	 b)
	[(0,1,0);(1,0,-1)].
	 c)
	[(0,-1,0);(1,0,-1)].
	 d)
	[(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
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	8.
	Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) u x v = 1.
(    ) u x v = -1.
(    ) u x v = 4.
(    ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - F - F.
	 b)
	F - F - V - F.
	 c)
	F - V - F - F.
	 d)
	F - F - F - V.
	9.
	Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
(    ) Um plano é um subespaço de R²
(    ) Um ponto é um subespaço de R.
(    ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - F - V.
	 b)
	F - V - V - F.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	V - V - F - F.
	10.
	Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x, - x + y).
III- T (x,y) = (- x + y, x - 1).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções II e IV estão corretas.
	 b)
	As opções III e IV estão corretas.
	 c)
	As opções I e III estão corretas.
	 d)
	Somente a opção IV está correta.
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