Matriz Inversa (1)

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Matemática 
Ensino Médio, 2º Ano
Matriz Inversa
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Noções iniciais
• No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, 
denominado inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b = b.a =1
• É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1. 
 Exemplo:
a
1
15
5
1
5
1
5 ==
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Definição 
• Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se invertível se, e somente se, 
existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que: 
Em que In é a matriz identidade de ordem n e B é denominada inversa de A e 
indicada por A-1 .
nIABBA ==
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Matriz Inversa
Exemplo 1:
• Verifique que a matriz é a inversa da matriz . 





−
−
=
411
13
B 





=
311
14
A






=





−
−






=
10
01
411
13
311
14
BA






=











−
−
=
10
01
311
14
411
13
AB
Como A · B = B · A = I2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A
-1.
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
• Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e, 
em caso afirmativo, determinar sua inversa, 
apresentaremos, a seguir, um processo baseado na 
definição de matriz inversa e na resolução de sistemas 
lineares. 
• Quando uma matriz é invertível, dizemos que ela é uma matriz 
não singular, caso contrário, será uma matriz singular. 
Observações: 
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 2:
• Vamos encontrar, se existir, a inversa de . 
Devemos verificar se existe , tal que A . A-1 = In. 






=
45
23
A






=−
dc
ba
A 1
Logo: 






=





++
++






=











10
01
4545
2323
10
01
45
23
dbca
dbca
dc
ba
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Matriz Inversa
Exemplo 2 (continuação):
Do conceito de igualdade, seguem os sistemas: 



=+
=+



=+
=+
045
123
045
123
db
db
ca
ca
, cuja solução é a = 2 e c = -5/2
, cuja solução é b = -1 e c = 3/2
Então,








−
−
=−
2
3
2
5
12
1A
É fácil ver que A-1 . A = In também está satisfeita. 
 
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Matriz Inversa
Exemplo 3:
• Vamos encontrar, se existir, a inversa de . 





=
12
24
A
Fazendo A.A-1 = In , temos: 
 






=





++
++






=











10
01
22
2424
10
01
.
12
24
dbca
dbca
dc
ba
Logo: 
 



=+
=+



=+
=+
12
024
02
124
db
db
e
ca
ca
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Matriz Inversa
Exemplo 4:
Com o primeiro sistema não admitindo solução, já seria possível concluir 
que não existe a inversa de A (O segundo sistema também não admitiu 
solução). . 



=+
=+



=+
=+
12
024
02
124
db
db
ca
ca
.(-2) .(-2)



−=−−
=+



=−−
=+
224
024
024
124
db
db
ca
ca
Resolvendo os sistemas pelo método da adição, temos: 
10 = 20 −=(Impossível) (Impossível) 
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Matriz Inversa
• O processo apresentado nos exemplos anteriores, apesar 
do grande nível de complexidade, pode ser usado para o 
cálculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com 
n ≥ 2. 
• Estudar métodos para solução de sistemas lineares será 
bastante eficaz para o cálculo de matrizes inversas de ordem 
n, com n ≥ 3. 
Observações: 
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Matriz Inversa
Exercícios 
01. Obter a matriz inversa da matriz . 





=
11
12
A
Resolução:
Sendo , temos: 





=−
cc
ba
A 1






=





++
++






=











10
0122
10
01
.
11
12
dbca
dbca
dc
ba



=+
=+



=+
=+
0
12
0
12
db
db
ca
ca
, cuja solução é a = 1 e c = -1
, cuja solução é b = -1 e c = 2
 





−
−
=−
21
11
1A
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Matriz Inversa
Exercícios 
02. Verifique se é a inversa de . 





−
−
31
52






21
53
Resposta: SIM
03. Determine, se existir, a inversa da matriz . 





01
21
Resposta:








−
2
1
2
1
10
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Matriz Inversa
Exercícios 
04. Verifique se a inversa de é a matriz . 
Resposta: SIM










−
301
020
001
















−
−
3
1
0
3
1
0
2
1
0
001
05. A inversa de é a matriz . Determine x e y. 





−
−
x
y
2
3
Resposta: x = 7 e y = 1






−
−
15
4
x
xx
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Matriz Inversa
Propriedades
• Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e invertíveis, temos 
as seguintes propriedades:
• Dada A, se existir A-1, então ela é única;
• (A-1)-1 = A;
• (A . B)-1 = B-1 . A-1;
• (A-1)t = (At)-1.
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Matriz Inversa
Propriedades
• Se uma matriz A é invertível, então esta inversa é única. 
• Demonstração: 
De fato, vamos supor que A seja invertível de ordem n, que B e C 
sejam suas inversas e ainda que B ≠ C. Dessa forma, AB = BA = In e 
AC = CA = In. Tomando a primeira equação e multiplicando ambos os 
lados da equação, à esquerda, por C, temos C (AB) = CIn, ou seja, 
(CA)B= CIn, como CA = In. Logo: B = C. 
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Matriz Inversa
Propriedades
• Se uma matriz A é invertível, então a inversa A-1 é invertível e 
(A-1)-1 = A . 
• Demonstração: 
Sabemos que uma matriz B é inversa de A se, e somente se,
 A.B=B.A = In. 
Como A-1 é a inversa e A, então AA-1 = A-1A =In.
Pela demonstração anterior, temos que a inversa é única, então B = A é 
a inversa e A-1 , ou seja, (A-1)-1= A. 
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exemplo 5:
• Vamos encontrar a inversa de . . 
Fazendo A . A-1 = In: 






=
45
23
A






=





++
++






=











10
01
4545
2323
10
01
45
23
dbca
dbca
dc
ba
Então








−
−
=−
2
3
2
5
12
1A
Calculando (A-1)-1 






=








+−+−
−−






=














−
−
10
01
2
3
2
5
2
3
2
5
22
10
01
2
3
2
5
12
wyzx
wyzx
wz
yx
( ) AA =





=
−−
45
2311
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Matriz Inversa
Propriedades
• Se A e B são invertíveis, então AB também é e (AB)-1 = B-1A-1. 
• Demonstração: 
Para verificarmos esta propriedade, devemos mostrar que 
(AB)B-1A-1=In e B
-1A-1(AB) = In .
(AB)B-1A-1=A(BB-1)A-1 =AInA
-1 =AA-1 = In .
A segunda identidade é inteiramente análoga. 
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Matriz Inversa
Exemplo 6:
• Encontrando as inversas e o produto de e . 





=
45
23
A
Calculando (AB)-1 e B-1A-1 , podemos confirmar a igualdade: 








−
−
=−
2
3
2
5
12
1A






=
11
12
B






−
−
=−
21
11
1B 





=
914
58
AB
( )








−
−
=
−
87
5
2
9
1
AB








−
−
=−−
87
5
2
9
11AB
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Matriz Inversa
Propriedades
• Se A é invertível, então At também é e (At)-1 = (A-1)t.
• Demonstração: 
Com efeito, fazendo uso da propriedade anterior, temos: 
( ) ( )
( ) ( ) ntn
ttt
n
t
n
ttt
IIAAAA
IIAAAA
===
===
−−
−−
11
11
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Matriz Inversa
Exemplo 6:
• Vamos verificar a propriedade (At)-1 = (A-1)t para a matriz 





=
12
13
A
Calculando At e A-1 , teremos respectivamente: 






=
11
23
tA 





−
−
=−
32
11
1A
Fazendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:
( ) ( )ttAA 11
31
21
−− =





−
−
=
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Matriz Inversa
Aplicação prática:
1. As senhas numéricas de quatro dígitos dos clientes de um determinado 
banco são representadas como uma matriz S2 x 2, em que os dois primeiros 
são a 1ª linha e os dois últimos, a 2ª linha. O banco usa uma matriz invertível 
denominada matriz chave, para 
 manter o sigilo das senhas de seus clientes. E, por questões de segurança, o 
banco gera uma nova matriz T = S.X , denominada matriz transmitida. 
a) Como ‘recuperar’ a senha de um cliente, se só conhecemos a matriz chave 
e a matriz transmitida?
b) Sabendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é , 
qual sua senha? 






=
24
13
X






=
1836
1226
T
Resposta: 
a) (SX)X-1=S(XX-1)= SI2 =S b) 2509
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
Exercícios de fixação
01. Encontre a inversa de cada matriz dada, se possível: 





 −
=










−
=












=


cos
cos
)
222
2
2
2
)
3
2
6
5
5
3
4
3
)
sen
sen
Cc
Bb
Aa
Resp: é singular
Resp:
Resp: cosɵ senɵ
-senɵ cosɵ 
1/5 √2 1/5 √2 
-2/5 √2 1/10 √2 
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Matriz Inversa
Exercício de Fixação
02. Dadas as matrizes ,calcule: .
14
02
11
32






=




 −−
= BeA
a) (AB)-1 b) (AB)t c) AA-1 – I d) (2B)-1 
1/2 3/2
-3 -8Resp: a) b) c) 0 d)
-16 6
-3 1
1/4 0
-1 1/2
Matemática, 2º Ano
Matriz Inversa
03. São dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem n e invertíveis. A 
solução da equação (BAX)t = B, em que (BAX)t é a transposta da matriz 
(BAX), é a matriz X tal que:
Exercício de Fixação
( ) tBABX 1−=
( ) tBBAX 1−=
( ) 1−= ABBX t
( ) 1−= BABX t
a)
b)
c)
d)
Resposta: B






=
10
11
A 





−
=
11
10
B






=
01
12
X
Exercícios de fixação
04. Se e , determine a matriz X2x2 tal que 
(A-1.X)-1 = B.
Resposta:
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