Fatoração de polinômios

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Matemática Aplicada à Contabilidade II 
 
Fatoração de polinômios 
Fatoração de polinômios pode ser definida como um conjunto de técnicas para 
reescrever o polinômio na forma de produto entre monômios (uma expressão algébrica 
inteira composta por letras e números, ou seja, uma parte literal e um coeficiente 
numérico) ou outros polinômios. Essa decomposição é baseada no teorema 
fundamental da aritmética, que garante que: 
“Todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em um 
produto de números primos”. 
 
As técnicas usadas para fatorar polinômios – chamadas de casos de fatoração – 
baseiam-se nas propriedades da multiplicação, em especial na propriedade 
distributiva. Existem seis casos de fatoração de polinômios: 
 
 
1º caso de fatoração: fator comum em evidência 
Um polinômio em que exista um fator repetido em cada um de seus termos pode ser 
reescrito, colocando-se o fator repetido em evidência: 
ax + bx 
x (a + b) 
Aplicando-se a propriedade distributiva a essa fatoração, teremos o polinômio inicial. 
 
 
2° caso de fatoração: agrupamento 
Ao se colocar fatores comuns em evidência, o resultado pode ser um polinômio que 
ainda possua fatores comuns, devendo tais fatores ser novamente colocados em 
evidência. A fatoração por agrupamento pode ser definida como 
uma dupla fatoração por fator comum. 
xy + 3y + 6x + 18 
Na primeira fatoração, colocaremos o y, comum às duas primeiras parcelas, e o 6, 
comum às demais parcelas, em evidência: 
y(x + 3) + 6(x + 3) 
O polinômio resultante possui, em seus termos, o fator comum x + 3. Colocando-o 
em evidência, teremos: 
(x + 3)(y + 6) 
 
Como no primeiro caso, aplicando-se a propriedade distributiva a 
essa fatoração, teremos o polinômio inicial. 
 
 
 
 
 
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3º caso de fatoração: trinômio quadrado perfeito 
Esse caso, basicamente, é o contrário de produtos notáveis. Observe o produto 
notável a seguir: 
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9 
 
Na fatoração do trinômio quadrado perfeito, escrevemos polinômios expressos 
nessa forma como produto notável. Veja um exemplo: 
4x2 + 20xy + 25y2 = (2x + 5y)2 
 
É preciso ter certeza de que o polinômio é realmente um trinômio (polinômio com três 
monômios sem termos semelhantes) e que esse trinômio forma um quadrado perfeito. 
Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características: 
 
• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados. 
• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois 
outros termos. 
 
Por exemplo: 
 
Será que o trinômio 25x2 + 10x + 1 é um quadrado perfeito? 
 
Analisando as características expostas acima teremos: 
 
25x2 + 10x + 1 
 
 
 
 
5x 1 
 
 
 2 . 5x . 1 
 
O primeiro e terceiro membros têm raízes quadradas e o termo do meio é o dobro do 
produto delas. Então, o trinômio é quadrado perfeito; e a forma fatorada desse trinômio 
será o quadrado da soma das raízes (5x + 1)2. 
 
 
4º caso de fatoração: diferença de dois quadrados 
Polinômios conhecidos como diferença de dois quadrados possuem esta forma: 
x2 – a2 
A sua fatoração é o produto notável conhecido como produto da soma pela diferença. 
O resultado da fatoração desse polinômio será: 
 
x2 – a2 = (x + a)(x – a) 
 
Por exemplo: 
x – 9 = x2 – 32 = (x + 3)(x – 3) 
 
√25𝑥2 
 
√1 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produtos-notaveis.htm
 
 
 
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5º caso de fatoração: Soma de dois cubos 
Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 + y3 pode ser fatorado da seguinte 
maneira: 
x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 
 
Por exemplo: 
x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 – 2x + 22) = (x + 2) (x2 – 2x + 4) 
 
Aplicando-se a propriedade distributiva a essa fatoração, teremos o polinômio inicial: 
x3 – 2x2 + 4x + 2x2 – 4x + 8 = x3 + 8 
 
 
 
6º caso de fatoração: diferença de dois cubos 
Todo polinômio de grau 3 escrito na forma x3 – y3 pode ser fatorado da seguinte 
maneira: 
x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) 
 
Por exemplo: 
x3 - 8 = x3 - 23 = (x - 2)(x2 + 2x + 22) = (x - 2) (x2 + 2x + 4) 
 
Como no caso anterior, aplicando-se a propriedade distributiva a essa fatoração, 
teremos o polinômio inicial. 
 
 
Referências: 
RAMOS, Danielle de Miranda. "Trinômio do Quadrado Perfeito"; Brasil Escola. 
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/trinomio-quadrado-
perfeito.htm. Acesso em 20 de julho de 2019. 
SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que é fatoração de polinômios?"; Brasil Escola. 
Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-fatoracao-
polinomios.htm. Acesso em 20 de julho de 2019.