Lista de Exercicios de Fixacao A6

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Lista de Exercícios – Fixação do Conteúdo AULA 6 
 
1-) A cabine do teleférico e seus passageiros pesam 3000 libras (força peso, e não massa), e o centro de gravidade 
do conjunto está em G. O braço de suspensão AE tem área da seção transversal quadrada de 3 polegadas e está 
preso por pinos acoplados às suas extremidades A e E. Determine a maior tensão de tração desenvolvida na região 
CD do braço (em psi). Dados: ft = pés (unidade de comprimento); in. = polegadas (unidade de comprimento); 1 
psi = 1 lb / 1 in² = 6894,76 Pa (unidade de tensão). 
 
Resolução: 
Diagrama de Corpo Livre 
 
𝑀𝐶𝐷 = 3000.2 = 6000 𝑙𝑏. 𝑓𝑡 
A tensão normal é dada por: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 
No segmento AB a tensão normal resulta em: 
𝜎𝐴𝐵 =
𝐹𝐴𝐵
𝐴
=
3000
3.3
= 333,333 𝑙𝑏/𝑝𝑜𝑙² 
Para o segmento CD a tensão normal resulta em: 
𝜎𝐶𝐷 =
𝐹𝐶𝐷
𝐴
=
3000
3.3
= 333,333 𝑙𝑏/𝑝𝑜𝑙² 
Como no segmento CD temos momento, este segmento também sofrerá flexão. Esta flexão é calculada por: 
𝜎𝐶𝐷 =
𝑀.𝑐
𝐼
 
Para calcular a tensão de flexão precisamos antes determinar o momento de inércia: 
𝐼 =
𝑏.ℎ³
12
=
3.3³
12
= 6,75 𝑝𝑜𝑙4 
𝜎𝐶𝐷 =
6000.(12).3
6,75
= 32000 𝑙𝑏/𝑝𝑜𝑙² 
Obs. Tivemos que multiplicar o momento por 12, para transformá-lo de lb.ft para lb.pol. 
Para calcularmos a tensão no braço CD, basta somar as duas tensões, pois temos uma situação de cargas 
combinadas: 
𝜎𝐶𝐷 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 333,333 + 32000 = 32333,33 𝑙𝑏/𝑝𝑜𝑙² ou 𝜎𝐶𝐷 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 32333,33 𝑝𝑠𝑖 
 
 
 
 
 
2-) Determine as tensões normais máxima e mínima na seção “a” do suporte, quanto a carga é aplicada em x = 0. 
 
Resolução: 
Diagrama de corpo livre da parte seccionada “a” 
 
Para calcular o momento fletor M da seção e a força normal N, basta aplicar as equações de equilíbrio ∑ 𝐹 = 0 e 
∑ 𝑀 = 0. 
∑ 𝐹 = 0; → −6 + 𝑁 = 0 → 𝑁 = 6𝑘𝑁 
∑ 𝑀 = 0; → −6.103. 0,01 + 𝑀 = 0 → 𝑀 = 60𝑘𝑁𝑚 
Como a equação da carga combinada é dada por 
𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑐
𝐼
 
temos que determinar as propriedades da seção transversal, ou seja, a área e o momento de inércia da seção “a”, 
por: 
𝐴 = 𝑏ℎ = (0,008 + 0,008). 0,02 = 3,2. 10−4 𝑚² 
𝐼 =
𝑏ℎ³
12
=
(0,008+0,008).0,02³
12
= 1,0667. 10−8 𝑚4 
Com a força normal N, o momento fletor M e as propriedades da seção transversal calculados, substituímos na 
equação da carga combinada: 
𝜎 =
−6.10³
3,2.10−4
±
60.(0,02/2)
1,0667.10−8
 
Obs: o sinal negativo da força normal é devido à carga ser de compressão. 
Portanto, a tensão máxima é dada pela subtração da tensão normal com a tensão de flexão e a tensão mínima é 
dada pela soma da tensão normal com a tensão de flexão: 
𝜎𝑚á𝑥 = −18,75. 10
6 − 56,25. 106 = −75. 106𝑃𝑎 ou 𝜎𝑚á𝑥 = 75 𝑀𝑃𝑎 de compressão 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −18,75. 10
6 + 56,25. 106 = 37,5. 106𝑃𝑎 ou 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 37,5 𝑀𝑃𝑎 de tração 
3-) A junta está sujeita a uma força de 2 kN, como mostra a figura. Determine a tensão nos pontos C e B se a 
seção transversal retangular do elemento tiver uma largura de 15 mm e espessura de 16 mm. 
 
Resolução: 
Diagrama de corpo livre da parte que deve ser seccionada: 
 
Para obter a força normal N, a força cortante V e o momento fletor M, temos que aplicar as equações de 
equilíbrio: 
∑ 𝐹𝑥 = 0; → −𝑁 + 2.
4
5
= 0 → 𝑁 = 1,6 𝑘𝑁 
∑ 𝐹𝑦 = 0; → 𝑉 − 2.
3
5
= 0 → 𝑉 = 1,2 𝑘𝑁 
∑ 𝑀 = 0; → 𝑀 − 2.10³
3
5
. 0,045 + 2.10³
4
5
. 0,025 = 0 → 𝑀 = 14 𝑁𝑚 
Como a equação da carga combinada é dada por 
𝜎 =
𝑁
𝐴
±
𝑀𝑐
𝐼
 
temos que determinar as propriedades da seção transversal, ou seja, a área e o momento de inércia por: 
𝐴 = 𝑏ℎ = 0,016.0,015 = 2,4. 10−4 𝑚² 
𝐼 =
𝑏ℎ³
12
=
0,016.0,015³
12
= 4,5. 10−9 𝑚4 
Com a força normal N, o momento fletor M e as propriedades da seção transversal calculados, substituímos na 
equação da carga combinada: 
𝜎 =
1,6.10³
2,4.10−4
±
14.(0,015/2)
4,5.10−9
 
Portanto, a tensão máxima é dada pela soma da tensão normal com a tensão de flexão e a tensão mínima é dada 
pela subtração da tensão normal com a tensão de flexão: 
𝜎𝑚á𝑥 = 6,667. 10
6 + 23,33. 106 = 30. 106𝑃𝑎 ou 𝜎𝑚á𝑥 = 30 𝑀𝑃𝑎 de tração 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 6,667. 10
6 − 23,33. 106 = −16,667. 106𝑃𝑎 ou 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 16,667 𝑀𝑃𝑎 de compressão 
4-) Determine as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano. Faça um esboço do círculo de 
Mohr para o elemento. 
 
Resolução: 
Primeiro temos que determinar quais as tensões encontradas no elemento plano: 
𝜎𝑥 = 100 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 = 0 e 𝜏𝑥𝑦 = −75 𝑀𝑃𝑎 
Tensão média: 
𝜎𝑚é𝑑 =
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
=
100+0
2
= 50 𝑀𝑃𝑎 
Tensões principais: 
𝜎1,2 =
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
± √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 = 50 ± √(
100−0
2
)
2
+ (−75)2 = 50 ± 90,14 
𝜎1 = 140,14 𝑀𝑃𝑎 e 𝜎2 = −40,14 𝑀𝑃𝑎 
Tensão máxima de cisalhamento: 
𝜏𝑚á𝑥 = √(
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦2 = √(
100−0
2
)
2
+ (−75)2 = 90,14 𝑀𝑃𝑎 é o raio do círculo de Mohr 
Ângulos do plano principal: 
𝑡𝑔2𝜃𝑝 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥−𝜎𝑦
=
2.(−75)
(100−0)
= −1,5 
2𝜃𝑝1 = −56,31° → 𝜃𝑝1 = −28,16° e 𝜃𝑝2 = 90 + 𝜃𝑝1 = 61,85° 
Orientação do plano de cisalhamento máximo: 
𝑡𝑔2𝜃𝑠 =
−(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2𝜏𝑥𝑦
=
−(100−0)
2.(−75)
= 0,666666 
2𝜃𝑠1 = 33,69° → 𝜃𝑠1 = 16,845° e 𝜃𝑠2 = 90 + 𝜃𝑠1 = 106,845° 
Círculo de Mohr 
 
5-) O estado de tensão em um ponto de um elemento estrutural é mostrado na figura. Determine as componentes 
de tensão que agem no plano inclinado AB. 
 
Resolução: 
Primeiro temos que determinar quais as tensões encontradas no elemento plano: 
𝜎𝑥 = 142 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑦 = 63 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑥𝑦 = −48 𝑀𝑃𝑎 
Como o elemento está girando no sentido anti-horário com um ângulo de 30°, então 𝜃 = +30° 
 
Tensão média: 
𝜎𝑚é𝑑 = (
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
) =
(142+63)
2
= 102,5 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑥
′ = 𝜎𝑚é𝑑 + (
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
) cos(2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦 sen(2𝜃) 
𝜎𝑥
′ = 102,5 + (
142−63
2
) cos(2.30) + (−48). sen(2.30) = 80,68 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑦
′ = 𝜎𝑚é𝑑 − (
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
) cos(2𝜃) − 𝜏𝑥𝑦 sen(2𝜃) 
𝜎𝑦
′ = 102,5 − (
142−63
2
) cos(2.30) − (−48). sen(2.30) = 124,32 𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑥′𝑦′ = − (
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
) sen(2𝜃) + 𝜏𝑥𝑦 cos(2𝜃) 
𝜎𝑥′𝑦′ = − (
142−63
2
) sen(2.30) + (−48). cos(2.30) = −58,21 𝑀𝑃𝑎