Física 3 - Exercicíos de Campo e Força Elétrica e Lei de Gauss I e II

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Reforço Engenharia 1 
Física 3 
 
Exercicíos de Campo e Força Elétrica e Lei de Gauss I e II 
Professor: Rodrigo Jordão 
 
Resumo 
 
Campo elétrico no eixo ortogonal de um fio finito 
Exercício 1: Encontre o campo elétrico que está uma distância Z acima do ponto central de um segmento de 
linha reta com comprimento 2L e que tem uma densidade linear de carga 𝜆 
 
Resolução 
 
∫𝑑𝐸𝑟⃗⃗⃗⃗ = 2∫𝑑�⃗� . cos 𝜃 
𝐸𝑟 = 2∫
1
4𝜋. 𝜀0
.
𝜆. 𝑑𝑥
𝑟²
. cos 𝜃 
=
2𝜆
4𝜋. 𝜀0
∫
𝑑𝑥
(𝑍² + 𝑥²)
.
𝑍
(𝑍² + 𝑥²)
1
2
 
=
2𝜆. 𝑍
4𝜋. 𝜀0
∫
𝑑𝑥
(𝑍² + 𝑥²)
3
2
𝐿
0
=
2𝜆. 𝑍
4𝜋. 𝜀0
. [
𝑥
𝑍²(𝑍² + 𝑥²)
1
2
]
𝐿
0
 
𝑬𝒓⃗⃗ ⃗⃗ =
𝟏
𝟒𝝅. 𝜺𝟎
.
𝟐𝝀𝑳
√𝒁² + 𝑳²
�̂� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 2 
Física 3 
 
Campo elétrico sobre um fio finito 
Exercício 2: Encontre o campo elétrico que está uma distância Z acima de uma das extremidades de um 
segmento de reta L e que tem uma distribuição de carga uniforme, de densidade 𝜆. Verifique se a fórmula é 
coerente com o que seria de se esperar para o caso 𝑧 ≫ 𝐿 
 
Resolução 
 
 
 
∫𝑑�⃗� = ∫𝑑𝐸𝑥⃗⃗⃗⃗ +∫𝑑𝐸𝑧⃗⃗⃗⃗ 
 
�⃗� = ∫𝑑𝐸 . sin 𝜃 (−�̂�) + ∫𝑑𝐸 cos 𝜃 �̂� 
∫
1
4𝜋𝜀0
.
(𝜆𝑑𝑥)
𝑟²
.
𝑥
(𝑍² + 𝑥²)
1
2
=
𝜆
4𝜋𝜀0
(−�̂�)∫
𝑥
(𝑍² + 𝑥²)
3
2
 
𝐸𝑥 = −
𝜆
4𝜋𝜀0
. [−
1
(𝑍² + 𝑥²)
1
2
]
𝐿
0
 
𝐸𝑥 = −
𝜆
4𝜋𝜀0
. [
1
𝑍
−
1
√𝑍² + 𝐿²
] 
𝐸𝑍 =
1
4𝜋𝜀0
. ∫
𝜆𝑑𝑥
𝑟²
cos 𝜃⟶𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐í𝑐𝑖𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 3 
Física 3 
 
Campo elétrico sobre um espira quadrada 
Exercício 3: Encontre o campo elétrico a uma distancia Z acima do centro de uma espira quadrada de lado “a” 
que tem densidade linear de carga uniforme 𝜆 
 
Resolução 
Sabendo que o campo elétrico que está uma distância Z acima do ponto central de um segmento de linha reta 
com comprimento 2L é dado por (Solução do exercício 1) 
𝐸 =
1
4𝜋. 𝜀0
.
2𝜆𝐿
𝑍′√𝑍² + 𝐿²
 
Sendo 𝑎 = 2𝐿 
 
 
𝐸1 =
1
4𝜋𝜀0
.
𝑎. 𝜆
[𝑍² + (
𝑎
2
)
2
]
1
2
.
1
√𝑍² + (
𝑎
2
)
2
+
𝑎²
2²
 
Sendo cos 𝜃 =
𝑍
𝑍′
 
𝐸𝑅 = 4 cos 𝜃 . 𝐸1 = 4.
𝑍
[𝑍² + (
𝑎
2
)
2
]
1
2
.
(
 
 𝑎. 𝜆
4𝜋𝜀0 [𝑍² + (
𝑎
2
)
2
]
1
2
√𝑍² +
𝑎²
2 )
 
 
 
𝐸𝑅 =
4𝑎. 𝑍. 𝜆
4𝜋𝜀0 (𝑍² +
𝑎²
4
)√𝑍² +
𝑎²
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 4 
Física 3 
 
Campo elétrico sobre um anel 
Exercício 4: Encontre o campo elétrico a uma distância z acima do centro de um espira circular de raio r que 
tem densidade linear de carga uniforme 𝜆 
 
Resolução 
 
∫𝑑𝐸𝑍 = ∫𝑑𝐸 cos 𝜃 
𝐸𝑅 =
1
4𝜋𝜀0
∫
𝜆𝑑𝑙
𝑅²
. cos 𝜃 
𝜆
4𝜋𝜀0
.
cos 𝜃
𝑅²
.∫𝑑𝑙 =
𝜆
4𝜋𝜀0
.
cos 𝜃
𝑅²
. 2𝜋𝑟 
Sendo cos 𝜃 =
𝑍
𝑅
 e 𝑅 = (𝑍² + 𝑟²) 
𝐸𝑅 =
𝜆
4𝜋𝜀0
.
𝑍
𝑅
.
1
𝑅²
. 2𝜋𝑟 
𝐸𝑅 =
𝜆
2𝜀0
.
𝑍
[(𝑍² + 𝑟²)
1
2]
3 . 𝑟 
𝐸𝑅 =
𝜆
2𝜀0
.
𝑍
(𝑍² + 𝑟²)
3
2
. 𝑟 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 5 
Física 3 
 
Campo elétrico sobre um disco 
Exercício 5: Encontre o campo elétrico a uma distância z acima do centro de um disco circular plano de raio r 
que tem densidade superficial de carga uniforme 𝜎 
 
Resolução 
 
Utilizando o resultado do exercício 4 
𝐸𝐴𝑁𝐸𝐿 =
𝜆(2𝜋𝑟). 𝑍
4𝜋𝜀0(𝑟² + 𝑍²)
3
2
�̂� 
Para a solução desse exercício, utilizaremos a idéia de que o disco seria uma composição de vários anéis 
á𝑟𝑒𝑎 = (2𝜋𝑟. 𝑑𝑟). 𝜎 = 𝜆. 2𝜋𝑟 
𝜎. 𝑑𝑟 = 𝜆 
 
Substituindo no resultado do exercício 4, teremos 
𝐸𝑎𝑛𝑒𝑙 =
𝜎. 𝑑𝑟(2𝜋𝑟). 𝑍
4𝜋𝜀0(𝑟² + 𝑍²)
3
2
�̂� 
 
Como nesse exercício o disco é composto de vários anéis, podemos dizer que 
𝑑𝐸𝑎𝑛𝑒𝑙 =
𝜎. 𝑑𝑟(2𝜋𝑟). 𝑍
4𝜋𝜀0(𝑟² + 𝑍²)
3
2
�̂� 
∫𝑑𝐸𝑎𝑛𝑒𝑙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐸𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 
𝐸𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 =
𝜎. 2𝜋. 𝑍
4𝜋𝜀0
∫
𝑟. 𝑑𝑟
(𝑟² + 𝑍²)
3
2
𝑅
0
= 
𝐸𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 =
𝜎. 2𝜋. 𝑍
4𝜋𝜀0
. (−
1
√𝑅² + 𝑍²
+
1
√𝑍²
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 6 
Física 3 
 
Fluxo do campo elétrico de carga pontual 
Exercício 6: Uma carga q fica no vertice traseiro de um cubo como mostra a figura. qual o fluxo de E atraves da 
superficie da face sombreada 
 
Resolução 
 
Utilizando a lei de Gauss 
∫ �⃗� . 𝑑𝑎 
𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎
=
1
24
∫ �⃗� . 𝑑𝑎 
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
=
𝑞
24𝜀0
 
 
 
Lei de Gauss em uma casca esférica 
Exercício 7: Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro e fora de uma casca esférica de raio R 
que tem uma densidade superficial de carga uniforme 𝜎 
 
Resolução 
 
Aplicando a lei de Gauss na superfície Gaussiana 
∫ �⃗� . 𝑑𝑎 =
𝑞𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
Como a carga está distribuida ao longo da casca esférica, a carga interna é zero, logo 
𝐸. 4𝜋𝑟² =
0
𝜀0
 
𝐸𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 0 
 
Agora iremos cálcular o campo da parte externa 
∫ �⃗� . 𝑑𝑎 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
Sendo a densidade igual a 𝜎 , a carga presente na superfície Gaussiana será toda a carga da esfera, logo 
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜎. 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = 𝜎. 4𝜋𝑅² 
𝐸. 4𝜋𝑟² =
𝜎. 4𝜋𝑅²
𝜀0
 
𝐸 =
𝜎. 𝑅²
𝜀0. 𝑟²
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reforço Engenharia 7 
Física 3 
 
Lei de Gauss em uma esfera uniformemente carregada 
Exercício 8: Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro de uma esfera uniformemente carregada 
com densidade de carga 𝜌 
 
Resolução 
𝜌 =
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎
 
𝜌 =
𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
4
3
𝜋𝑅³
 
Utilizando a lei de Gauss 
∫ �⃗� . 𝑑𝑎 =
𝑄𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 
𝐸. 4𝜋𝑟² =
𝜌. (
4
3
𝜋𝑅³)
𝜀0
 
�⃗� =
𝜌. 𝑟³
3𝜀0
 𝑟