Exercício de Algebra Linear (58)

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b) Consideremos o primo p = 2. Temos: p | 20, p | (−14), p | 8, p | 50, p | (−44),
p | 10, p - 1, p2 - 10. Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutı́vel sobre
�.
c) Consideremos o primo p = 11. Temos: p | (−121), p | 22, p | (−44), p | 33,
p - 4, p2 - 33. Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x) é irredutı́vel sobre �.
d) Consideremos o primo p = 5. Temos: p | 100, p | (−90), p | 80, p | (−70),
p | 30, p | (−40), p | 15, p - 3, p2 - 15. Logo, pelo Critério de Eisenstein, f (x)
é irredutı́vel sobre �.
A9) Mostre que os seguintes polinômios são redutı́veis sobre A:
a) f (x) = x2 + 1̄, A = �5
b) g(x) = x2 + x + 2̄, A = �4
c) h(x) = x4 − 4, A = �
d) j(x) = x3 − 8, A = �
e) k(x) = 10x3 + 13x2 − 13x + 2, A = �
f) h(x) = x4 + 4, A = �
g) j(x) = x4 + x2 + 1, A = �
Solução: Em cada caso, devemos mostrar que é possı́vel fatorar o polinômio
dado escrevendo-o como produto de dois polinômios não constantes de A[x]. Em
alguns casos, podemos utilizar conhecidas fórmulas como a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,
a2 − b2 = (a + b)(a − b), etc.
a) Por substituição direta em f (x) dos elementos de �5 = {0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄}, obtemos:
f (0̄) = 1̄, f (1̄) = 2̄, f (2̄) = 5̄ = 0̄, f (3̄) = 10 = 0̄ e f (4̄) = 17 = 2̄. Logo,
as raı́zes de f (x) em �5 são 2̄ e 3̄ o que implica em f (x) = (x − 2̄)(x − 3̄) =
(x + 3̄)(x + 2̄).
b) Substituindo-se cada elemento de �4 = {0̄, 1̄, 2̄, 3̄ em g(x), obtemos: g(0̄) = 2̄,
g(1̄) = 4̄ = 0̄, g(2̄) = 8̄ = 0̄, g(3̄) = 14 = 2̄. Logo, as raı́zes de g(x) em �4 são 1̄
e 2̄. Logo, g(x) = (x − 1̄)(x − 2̄) = (x + 3̄)(x + 2̄).
c) h(x) = x4 − 4 = (x2)2 − 22 = (x2 + 2)(x2 − 2)
d) Como j(2) = 23 − 8 = 0 temos que 2 é raiz de j(x). Isso significa que j(x) é
divisı́vel por x−2. A divisão de j(x) por x−2 deixa resto nulo e quociente igual
a x2 + 2x + 4. Logo, j(x) = (x − 2)(x2 + 2x + 4).
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