Exercício de Algebra Linear (66)

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4) Dadas as permutações a =
(
1 2 3 4
4 1 2 3
)
, b =
(
1 2 3 4
3 4 2 1
)
e
c =
(
1 2 3 4
1 4 3 2
)
, determine a solução x ∈ S 4 da equação axb−3 = c2.
Solução: Multiplicando a equação dada por a−1 à esquerda e por b3 à direita,
obtemos a−1a︸︷︷︸
= e
x b−3b3︸︷︷︸
= e
= a−1c2b3⇒ x = a−1c2b3. Temos que:
• a−1 =
(
4 1 2 3
1 2 3 4
)
=
(
1 2 3 4
2 3 4 1
)
• b3 =
(
1 2 3 4
3 4 2 1
) (
1 2 3 4
3 4 2 1
) (
1 2 3 4
3 4 2 1
)
=
(
1 2 3 4
4 3 1 2
)
• c2 =
(
1 2 3 4
1 4 3 2
) (
1 2 3 4
1 4 3 2
)
=
(
1 2 3 4
1 2 3 4
)
= elemento neutro;
Portanto, x = a−1c2b3 =
(
1 2 3 4
2 3 4 1
) (
1 2 3 4
1 2 3 4
) (
1 2 3 4
4 3 1 2
)
=
(
1 2 3 4
1 4 2 3
)
é a solução procurada da equação dada.
5) Consideremos os grupos G = (�×�,+), J = (�,+) a função φ : G −→ J definida
por φ(x, y) = 3x−5y. Mostre que φ é um homomorfismo de grupos e determine N(φ).
Solução:
• Sejam a = (x, y) e b = (z,w) dois elementos genéricos de G. Temos: φ(a+ b) =
φ(x+ z, y+w) = 3(x+ z)− 5(y+w) = (3x− 5y)+ (3z− 5w) = φ(x, y)+φ(z,w) =
φ(a) + φ(b). Isso mostra que φ é um homomorfismo de G em J.
• Suponhamos que (x, y) seja um elemento do núcleo de φ. Então, pela definição
de núcleo de um homomorfismo, temos que φ(x, y) = elemento neutro de J = 0
o que implica em 3x − 5y = 0⇒ y = 35 x⇒ N(φ) = {(x, y) ∈ � ×� | y =
3
5 x} ⇒
N(φ) = {(x, 35 x) | x ∈ �}.
6) Sejam G = (�10,+) e H = {0̄, 5̄} um subgrupo de G. Construa a tábua do grupo-
quociente (G/H,+) e determine o inverso (aditivo) dos elementos 3̄ + H e 4̄ + H.
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