Exercício de Algebra Linear (71)

Álgebra Linear I

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UFRJ

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Astronomia com Kyo

30/07/2023

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Álgebra Linear I

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= 59 = 4̄.
13) Verifique se os seguintes polinômios são irredutı́veis sobre �:
a) p(x) = x3 + 4x2 + 9x + 10
b) q(x) = x3 + 6x2 − 9x + 21
Solução:
a) As possı́veis raı́zes inteiras de p(x) são os divisores de 10: ±1, ±2, ±5, ±10.
Substituindo uma por uma em p(x), obtemos que somente −2 é raiz: p(−2) = 0.
Isso significa que f (x) é divisı́vel por x − (−2) = x + 2.
Dividindo-se p(x) por x + 2 obtemos quociente igual a x2 + 2x + 5 e resto nulo
⇒ f (x) = (x + 2)(x2 + 2x + 5) o que mostra que f (x) é redutı́vel sobre �.
b) Seja p = 3. Temos que p - 1, p|6, p|(−9), p|21 e p2 - 21. Logo, pelo Critério
de Eisenstein, q(x) é irredutı́vel sobre �.
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