Exercício de Algebra Linear (82)

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c) f (x) = 1 + cos2 x
d) f (x) = 3x
e) f (x) = log(1 + |x|)
T23) Sejam G = (�∗, ·) e f : G −→ G definida por f (x) = 3
√
x. A respeito de f
podemos afirmar que:
a) f não é homomorfismo de G em G e não possui inversa porque não é bijetora
b) f é um homomorfismo de G em G e sua inversa f −1 : G −→ G também é.
c) f é um homomorfismo de G em G, mas sua inversa f −1 : G −→ G não é.
d) f não é homomorfismo de G em G porque 3
√
x + y , 3
√
x + 3
√
y ⇒ f (x + y) ,
f (x) + f (y).
e) f não é homomorfismo de G em G, mas sua inversa f −1 : G −→ G é.
T24) Considere a função exponencial F : � −→ �∗+, F(x) = ex. Considerando
a adição usual de números reais no domı́nio e a multiplicação no contradomı́nio
dessa função, qual das propriedades a seguir pode justificar que a exponencial é um
homomorfismo de grupos?
a) (ex)y = exy, ∀x, y ∈ �
b) Dado a ∈ �∗+, considerando x = loge a temos F(x) = eloge a = a
c) ex · ey = ex+y, ∀x, y ∈ �
d) e0 = 1 e ex > 0 para todo x ∈ �
e) Se existirem x, y ∈ � tais que ex = ey, então x = y
T25) Consideremos o seguinte homomorfismo φ : � × � −→ �, φ(x, y) = 2x − y
definido entre os grupos aditivos (� × �,+) e (�,+). Qual das alternativas a seguir
contém apenas elementos do núcleo de φ?
a) (0, 0), (1, 1), (2, 2)
b) (−1, 2), (0, 0), (1,−2)
c) (1, 2), (2, 4), (3, 6)
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