Exercício de Algebra Linear (38)

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◦ f (x) + (− f (x)) = O(x), ∀x ∈ �
◦ ( f (x) · g(x)) · h(x) = f (x) · (g(x) · h(x)), ∀x ∈ �
◦ f (x) · (g(x) + h(x)) = f (x) · g(x) + f (x) · h(x) e ( f (x) + g(x)) · h(x) =
f (x) · h(x) + g(x) · h(x), ∀x ∈ �
◦ f (x) · g(x) = g(x) · f (x), ∀x ∈ �
◦ f (x) · I(x) = f (x), ∀x ∈ �, onde I(x) é a função constante 1: I(x) = 1.
Logo, (F ,+, ·) é um anel comutativo com unidade. Para mostrar que F não é
anel de integridade, devemos mostrar exemplos de duas funções contı́nuas não
nulas cujo produto é nulo. Por exemplo, sejam f , g : � −→ � definidas por
f (x) = |x| + x e g(x) = |x| − x. Veja gráficos a seguir.
Temos que f e g não são funções nulas, mas ( f · g)(x) = f (x) · g(x) = (|x| +
x)(|x| − x) = |x|2 − x2 = x2 − x2 = 0, ∀x ∈ �.
b) Para mostrar que (F ,+, ◦) não é um anel, basta encontrar exemplos de funções
em que falhe alguma das propriedades de anel. Por exemplo, consideremos
f : � −→ �, g : � −→ � e h : � −→ � definidas por f (x) = x2, g(x) = 3x e
h(x) = x + 1. Temos que:
1 ( f ◦ (g + h))(x) = ( f (g + h))(x) = f (3x + x + 1) = f (4x + 1) = (4x + 1)2 =
16x2 + 8x + 1,
2 ( f◦g+ f◦h)(x) = ( f◦g)(x)+( f◦h)(x) = f (g(x))+ f (h(x)) = f (3x)+ f (x+1) =
(3x)2 + (x + 1)2 = 10x2 + 2x + 1.
Logo, f ◦ (g + h) , f ◦ g + f ◦ h. Isso significa que a “multiplicação” ◦ não
é distributiva com relação à adição + definidas no conjunto F , e, consequente,
ele não é um anel.
A3) Verifique se os conjuntos A a seguir são subanéis de (�,+, ·):
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