EP03_GP_2_2017_Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP03 – Gabarito
Prezado(a) aluno(a),
veja o conteúdo desta semana conforme Cronograma é Aula 3: Poĺıgonos Convexos.
- Habitue-se a representar suas próprias figuras antes de verificar a figura do enunciado e da
resposta. Fique atento para não introduzir dados que não fazem parte do enunciado.
- Faça um resumo do conteúdo abordado por aula.
- Compare a sua justificativa com a solução do Gabarito. Preencher somente os valores na
figura não é justificativa.
- Participe do fórum da Aula.
Tarefa:
1) Leia e resolva os exerćıcios da Aula 3, até página 72.
2) Faça um resumo dessa Aula. Verifique em especial, figuras, justificativas e notações.
Exerćıcio 1: Um poĺıgono regular convexo tem o ângulo interno medindo 174◦. Determine o número
de diagonais desse poĺıgono que não passam pelo seu centro.
Solução: Seja n o número de lados desse poĺıgono. Como o poĺıgono é regular, os ângulos internos
são iguais, portanto
Ai = 174 =
180(n − 2)
n
⇒ 174n = 180n − 360 ⇒ 6n = 360 ⇒ n = 60
Logo o número de diagonais do poĺıgono de 60 lados é:
d =
n(n − 3)
2
=
60(60 − 3)
2
= 30 ∙ 57 = 1710
O número de diagonais que passam pelo centro é:
60
2
= 30.
Logo o número de diagonais desse poĺıgono que não passam pelo seu centro é: 1710 − 30 = 1680.
Exerćıcio 2: Um poĺıgono convexo de n lados tem três dos seus ângulos iguais a 83◦, 137◦ e 142◦.
Qual é o menor valor de n para que nenhum dos outros ângulos desse poĺıgono seja menor que 121◦?
Solução:
Considere um poĺıgono convexo de n lados com três dos seus ângulos iguais a 83◦, 137◦ e 142◦.
Então 83◦ + 137◦ + 142◦ = 362◦. A soma dos ângulos internos desse poĺıgono é
Si = 180
◦(n − 2) (1)
Geometria Plana – EP03 Gabarito 2
Como nenhum dos outros ângulos desse poĺıgono pode ser menor que 121◦, para tentar encontrar o
valor pedido, suponha que os demais ângulos sejam todos de 121◦,então a soma dos ângulos internos
de tal poĺıgono não pode ser menor que
S = 362◦ + 121◦(n − 3) ⇒ S = 362◦ + 121◦n − 363◦ ⇒ S = 121◦n − 1◦
Logo
Si > S ⇒ 180
◦(n − 2) > 121◦n − 1◦ ⇒ 180◦n − 121◦n > 360◦ − 1◦
59◦n > 359◦ ⇒ n >
359◦
59◦
⇒ n > 6, 085
Dáı n = 7. O menor valor é n = 7.
OBS:
Se n = 7, Si = 180
◦(7 − 2) = 900◦, mas temos três ângulos, tais que : 83◦ + 137◦ + 142◦ = 362◦,
logo os quatro ângulos desse poĺıgono convexo, tem como soma 900◦ − 362◦ = 538◦. Se todos os
quatro ângulos restantes forem congruentes, então cada ângulos teria como medida
538◦
4
= 134◦30′.
Exerćıcio 3: Um poĺıgono regular convexo tem o seu número de diagonais expresso por n2−10n+8,
onde n é o seu número de lados. Determine a medida do ângulo interno desse poĺıgono.
Solução: Do enunciado temos que o número de diagonais do poĺıgono regular convexo é
d = n2 − 10n + 8 (1)
onde n é o número de lados desse poĺıgono. Mas
d =
n(n − 3)
2
(2)
De (1) e (2) vem:
n2 − 10n + 8 =
n(n − 3)
2
⇒ 2n2 − 20n + 16 = n2 − 3n ⇒ n2 − 17n + 16 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
n =
17 ±
√
172 − 4 ∙ 16
2
=
17 ±
√
289 − 64
2
=
17 ±
√
225
2
=



17 + 15
2
= 16
17 − 15
2
= 1(não serve)
Logo o ângulo interno do poĺıgono regular de 16 lados é
Ai =
180◦(n − 2)
16
=
180◦ ∙ 14
16
=
45◦ ∙ 14
4
=
45◦ ∙ 7
2
=
315◦
2
= 157◦30′
Exerćıcio 4: São dados dois poĺıgonos regulares. O segundo tem quatro lados a mais que o primeiro
e o ângulo externo do primeiro excede a medida do ângulo externo do segundo em 45◦. Determine
o número de lados do primeiro poĺıgono regular.
Solução:
Considere o primeiro poĺıgono regular com n lados e o segundo poĺıgono regular com n + 4 lados,
conforme enunciado. Temos que o ângulo externo do poĺıgono regular com n lados é
360◦
n
.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Plana – EP03 Gabarito 3
E o ângulo externo do poĺıgono regular com n + 4 lados é
360◦
n + 4
.
Como o ângulo externo do primeiro excede a medida do ângulo externo do segundo em 45◦, temos
que
360◦
n
=
360◦
n + 4
+ 45◦ ⇒ (n + 4)360◦ = 360◦n + 45◦n(n + 4)
360◦n + 4 ∙ 360◦ = 360◦n + 45◦n2 + 4n ∙ 45◦ ⇒ 45◦n2 + 4n ∙ 45◦ − 4 ∙ 360◦ = 0
Dividindo por 45◦, vem: n2 + 4n − 32 = 0, resolvendo
n =
−4 ±
√
16 + 128
2
=
−4 ±
√
144
2
=
−4 ± 12
2
Logo n =
−4 + 12
2
=
8
2
= 4. (pois
−4 − 12
2
< 0).
Exerćıcio 5: Considere as afirmativas abaixo sobre um poĺıgono regular de n lados onde o número
de diagonais é múltiplo de n.
(I) O poĺıgono não pode ter diagonal que passa pelo seu centro.
(II) n pode ser múltiplo de 17.
(III) n pode ser primo.
Verifique se são verdadeiras ou falsas, justificando a resposta para cada item.
Solução: Como o número de diagonais é múltiplo de n, temos que:
(I) d = nk, k ∈ N ∗, onde d é o número de diagonais, então
n(n − 3)
2
= kn ⇒ n2 − 3n = 2kn ⇒ n2 − n(3− 2k) = 0 ⇒ n = 3 + 2k,∈ N∗
Observe que n não pode ser par, então o poĺıgono não pode ter diagonal que passa pelo seu
centro. Portanto a afirmação é verdadeira.
(II) Se k = 7, n = 3 + 2 ∙ 7 = 17, ou seja, n pode ser múltiplo de 17. Portanto a afirmação é
verdadeira.
(III) Se k = 2, n = 3 + 2 ∗ 2 = 7, portanto n pode ser primo. A afirmação é verdadeira.
Exerćıcio 6: Dois triângulos equiláteros de peŕımetro 36 cm cada, são sobrepostos de modo que a
região em comum dos triângulos seja um hexágono com pares de lados paralelos. Qual é o peŕımetro
desse hexágono?
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Plana – EP03 Gabarito 4
Solução:
Como os dois triângulos equiláteros são sobrepostos de modo
que a região em comum dos triângulos seja um hexágono
com pares de lados paralelos, observe na figura ao lado, as
retas r e s paralelas com seus ângulos alternos internos
congruentes, cujo ângulo é de 60◦, já que os
triângulos são equiláteros.
Então os seis triângulos menores são equiláteros, denote
a, b, c, d, e e f os lados desses triângulos.
Temos que a soma dos peŕımetros dos dois triângulos
equiláteros é igual a 3(a + b + c + d + e + f) e como
cada triângulo equilátero tem peŕımetro 36 cm, então:
3(a + b + c + d + e + f) = 2 ∙ 36 = 72. Logo a + b + c + d + e + f =
72
3
a + b + c + d + e + f = 24, que é o peŕımetro do hexágono.
Exerćıcio 7: Considere dois hexágonos regulares congruentes, ABCDEF e AHIJKL, conforme
as figuras.
a) Utilizando a Figura 1, justifique por que x = 90◦.
b) Utilizando a Figura 1, calcule o valor de y.
c) Utilizando a Figura 2, calcule o valor de z = m(AD̂J).
Solução:
a) O ângulo interno do hexágono regular é Ai =
180◦(6 − 2)
6
=
180◦ ∙ 4
6
=
180◦ ∙ 2
3
= 120◦, mas
m(LÂH) = Ai = 30
◦ + x ⇒ x = Ai − 30◦ = 120◦ − 30◦ = 90◦.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Plana – EP03 Gabarito 5
b) Na figura observe o hexágono ABCMKL, que não é regular.
Os ângulos B̂, Ĉ, K̂ e L̂ são ângulos internos de hexágonos regulares.
Como a soma dos ângulos internos de um poĺıgono de n lados é
Si = 180
◦(n − 2), então a soma dos ângulos internos de
ABCMKL é: Si = 180
◦(6 − 2) = 180◦ ∙ 4 = 720◦.
Logo
x + 4 ∙ Ai + y = 720
◦ ⇒ 90◦ + 4 ∙ 120◦ + y = 720◦ ⇒ y = 720◦ − 480◦ − 90◦ = 150◦
c) Como os hexágonos regulares são congruentes, então AD = AJ .
Logo o triângulo ADJ é isósceles. Além disso, AD e AJ são bissetrizes,
respectivamente, de FÂB e LÂH, então m(JÂH) = 60◦,
Ou seja, m(JÂH) = m(JÂB) + 30◦ ⇒ m(JÂB) = 30◦.
De maneira análoga m(LÂD) = 30◦.
De a) vem m(LÂB) = 90◦ = m(LÂD) + m(DÂJ) + m(JÂB). Portanto m(DÂJ) = 30◦.
Assim o valor pedido é z = m(AD̂J) =
180◦ − 30◦
2
= 75◦.
Exerćıcio 8: Na figura abaixo, a medida de AB é igual a medida de AC e a medida dos ângulos
DB̂E = 60◦, BĈE = 50◦ e DĈE = 30◦.
a) Classifique os triângulos BCD, BCE e BDE quantos aos lados.
b) Determine a medida do ângulo BD̂E.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJGeometria Plana – EP03 Gabarito 6
Solução: Considere a figura conforme o enunciado, m(DB̂E) = 60◦, m(BĈE) = 50◦ e m(DĈE) =
30◦:
a) Temos que AB = AC, então o triângulo ABC é isósceles. Logo m(AB̂C) = 80◦, já que
m(AĈB) = 50◦ + 30◦ = 80◦. Dáı m(CB̂D) = 80◦ − 60◦ = 20◦. Logo m(BD̂C) = 180◦ − 80◦ −
20◦ = 80◦. Portanto o triângulo BCD é isósceles e BC = BD (1).
Quanto ao triângulo BCE temos que m(EB̂C) = 80◦, m(BĈE) = 50◦ e m(BÊC) =
180◦ − 80◦ − 50◦ = 50◦. Logo o triângulo BCE é isósceles e BC = BE (2).
De (1) e (2) temos que BD = BE e como EB̂D = 60◦, podemos concluir que o triângulo
EBD é equilátero.
b) Como o triângulo EBD é equilátero, então m(BD̂E) = 60◦.
Dicas para o exerćıcio 11 da página 71 do Livro:
Trace um segmento AF , tal que F é ponto de BC e m(BÂF ) = 20◦ e veja o exerćıcio 7 deste EP.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ