2012 2-AP2-GP-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP2 – Gabarito
Questa˜o 1 [2,0 pts]: AB = 4 cm e AC = 3 cm sa˜o as medidas dos lados dos catetos de um
triaˆngulo retaˆngulo ABC. A bissetriz do aˆngulo Ĉ intercepta AB em D. Calcule a medida de CD.
Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo retaˆngulo ABC, onde AB = 4 e AC = 3. Pelo Teorema de Pita´goras,
BC
2
= AB
2
+ AC
2
= 32 + 42 = 25 ⇒ BC = 5.
Denotando AD = x e DB = y, pelo teorema da bissetriz interna:
x
3
=
y
5
e x+ y = 4 (1)
Enta˜o
x+ y
3 + 5
=
x
3
=
y
5
⇒ 4
8
=
x
3
=
y
5
⇒ x = 3
2
e y =
5
2
Como o triaˆngulo ADC e´ retaˆngulo,
x2 + 32 = DC
2 ⇒ DC2 = 9
4
+ 9 = 9
(
1
4
+ 1
)
= 9
(
5
4
)
⇒ DC = 3
√
5
2
OBS: Ou ainda de (1), obtemos x+
5x
3
= 4 ⇒ 8x = 12 ⇒ x = 3
2
Questa˜o 2 [2,0 pts]: ABCDEF e´ um hexa´gono regular inscrito em um c´ırculo de raio 8 cm. Os
prolongamentos dos lados AB, CD e EF cortam-se nos pontos M, N e P .
a) Mostre que o triaˆngulo MNP e´ equila´tero.
b) Calcule o lado do triaˆngulo equila´tero MNP e o raio do c´ırculo circunscrito ao triaˆngulo
MNP .
Geometria Plana – Gabarito AP2 2
A B
C
DE
F
M
N
P
Soluc¸a˜o: Seja ABCDEF e´ um hexa´gono regular inscrito em um c´ırculo de raio 8 cm. Os prolonga-
mentos dos lados AB, CD e EF cortam-se nos pontos M, N e P .
a) Inicialmente, vamos encontrar o aˆngulo interno do hexa´gono:
Ai =
180◦(6− 2)
6
= 120◦
Como PF̂A = FÂP = 180◦ − 120◦ = 60◦. Portanto
NP̂M = 60◦
De maneira ana´loga temos PM̂N = 60◦ (ou PN̂M = 60◦).
Logo o triaˆngulo PMN e´ equila´tero.
b) No hexa´gono temos que o lado e´ igual ao raio do c´ırculo circunscrito, enta˜o l6 = r = 8 cm.
Da´ı
PM = PN =MN = 3 · 8 = 24, pois os triaˆngulos
PAF,BMC e DEN sa˜o equila´teros de lado 8 cm.
Logo o lado do triaˆngulo PMN mede 24 cm.
Seja OM = R o raio da c´ırculo circunscrito ao
triaˆngulo PMN . Observe que o raio R corresponde ao
dobro da altura de um triaˆngulo equila´tero de lado 8 cm.
Enta˜o R = 2
(
8
√
3
2
)
= 8
√
3.
OBS: Temos que l3 = R
√
3 ⇒ R = 24√
3
=
24
√
3
3
= 8
√
3.
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Geometria Plana – Gabarito AP2 3
Questa˜o 3 [2,0 pts]: A a´rea de um losango e´ de 42 m2 e a distaˆncia entre dois lados opostos e´ de
6 m. Calcule a medida do lado do losango.
Soluc¸a˜o: Seja a o lado do losango ABCD, O a intersec¸a˜o das diagonais D e d, (maior e menor,
respectivamente).
Do enunciado temos que a a´rea do losango e´
Alosango =
D · d
2
= 42 (1)
Ale´m disso no triaˆngulo retaˆngulo ROU , temos que
sua altura e´ OE =
6
2
= 3, enta˜o
RU ·OE
2
=
RO · UO
2
⇒ 3a = d
2
· D
2
⇒ dD = 12a.
Alosango =
12a
2
= 6a (2)
De (1) e (2) temos 6a = 42 ⇒ a = 7. Portanto
a medida do lado do losango e´ 7 m.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Os lados de um triaˆngulo sa˜o AB = 5 cm, BC = 8 cm e AC = 7 cm.
Pelo ponto D do lado BC, tal que DB = 2 cm, trac¸am-se retas paralelas aos outros dois lados
do triaˆngulo encontrando um paralelogramo inscrito no triaˆngulo ABC. Calcule o per´ımetro do
paralelogramo assim obtido.
A
B CD
E
F
2
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Geometria Plana – Gabarito AP2 4
Soluc¸a˜o: Seja a figura dada. Denote DE = x e DF = y.
Como AC//ED, temos
BÂC = BÊD
Ale´m disso AB//FD, enta˜o
BÂC = DF̂C = BÊD e AB̂C = FD̂C = EB̂D
Usando semelhanc¸a dos triaˆngulos, (AA ∼):
∆ABC ∼ ∆EBD, temos 7
8
=
x
2
⇒ x = 14
8
=
7
4
∆ABC ∼ ∆FDC, temos 5
8
=
y
6
⇒ y = 30
8
=
15
4
Logo o per´ımetro do paralelogramo e´ 2(x+ y) = 2
(
7
4
+
15
4
)
=
22
2
= 11 cm.
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Os lados de um triaˆngulo medem 4 m, 13 m e 15 m. Calcule a altura relativa
ao menor lado.
Soluc¸a˜o:
O triaˆngulo e´ obtusaˆngulo, pois 152 > 132 + 42 = (152 = 225 e 169 + 16 = 185). Seja h a altura
relativa ao menor lado, conforme figura:
Usando a lei dos cossenos temos:
152 = 132 + 42 − 2 · 13 · 4 · cosα
⇒ 225− 185 = −104 cosα ⇒ cosα = − 40
104
E cos β =
40
104
=
5
13
Mas cos β =
x
13
, enta˜o
5
13
=
x
13
⇒ x = 5.
Como o triaˆngulo AHC e´ retaˆngulo, usando teorema de Pita´goras, temos:
h2 + x2 = 132 ⇒ h2 = 169− 25 = 144 ⇒ h = 12
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