AP2-GP-2012-1-Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP2 – Gabarito
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Treˆs terrenos tem frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As
divisas laterais sa˜o perpendiculares a` rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, x,
y e z, sabendo que a frente total para essa rua tem 180 metros?
Rua A
R
u
a
 B
 
40 m 30 m 20 m 
x
y
z
Soluc¸a˜o: Considere a figura dada e as medidas de cada lote para a rua B, sendo x, y e z.
Rua A
R
u
a
 B
 
40 m 30 m 20 m 
x
y
z
Pelo Teorema de Tales, vem
x
40
=
y
30
=
z
20
e x+ y + z = 180
Enta˜o
x+ y + z
40 + 30 + 20
=
x
40
=
y
30
=
z
20
⇒ 180
90
=
x
40
=
y
30
=
z
20
⇒ 2 = x
40
=
y
30
=
z
20
Da´ı
x = 2 · 40 = 80 m, y = 2 · 30 = 60m e z = 2 · 20 = 40m
Logo as medidas de frente para a rua B, de cada lote e´ 80 metros, 60 metros e 40 metros.
Questa˜o 2 [2,0 pts]: O retaˆngulo ACDE mostrado na figura possui comprimento AC = 32 cm,
largura AE = 20 cm e B e F sa˜o pontos me´dios de AC e AE, respectivamente. Determine a a´rea
do quadrila´tero ABDF .
Geometria Plana – Gabarito AP2 2
A C
DE
B
F
Soluc¸a˜o: Seja o retaˆngulo ACDE com AC = 32 cm e AE = 20 cm.
A C
DE
B
F
16 16
20
10
10
S
S
S
1
2
32
Sendo B e E pontos me´dios de AC e AE, respectivamente,
temos AB = BC = 16 cm e AF = FE = 10 cm.
Considere S a a´rea do quadrila´tero ABDF ,
S1 a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo FED,
S2 a a´rea do triaˆngulo retaˆngulo BCD e
Sret a a´rea do retaˆngulo ACDE. Temos que
Sret = S + S1 + S2 ⇒ S = Sret − S1 − S2
Como Sret = 32 · 20 = 640 cm2, S1 = 32 · 10
2
= 160 cm2 e S2 =
20 · 16
2
= 160 cm2, enta˜o
S = 640− 320 = 320 cm2.
Outra soluc¸a˜o: Observe que S e´ a soma das a´reas dos triaˆngulos ∆AFD e ∆ABD, ou seja
S =
AF · ED
2
+
AB · CD
2
=
10 · 32
2
+
16 · 20
2
= 2 · (10 · 16) = 320 cm2
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Na figura, o triaˆnguloAEC e´ equila´tero e ABCD e´ um quadrado de lado 2 cm.
Calcule a medida de BE.
A B
CD
E
Soluc¸a˜o:
Seja a figura dada, onde temos ∆AEC equila´tero e o quadrado ABCD de lado 2 cm.
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Geometria Plana – Gabarito AP2 3
A B
CD
E
H
2 cm
2 cm 
22
2
AE = EC e AB = BC, enta˜o trac¸ando a altura EH
do triaˆngulo AEC, os pontos E, B e H sa˜o colineares,
pois E, B e H pertencem a reta da mediatriz.
Da´ı BE = EH −BH.
Temos que EH =
AC
√
3
2
e AC e´ a diagonal do quadrado.
AC = 2
√
2, pois AC
2
= AD
2
+DC
2
= 8
BH e´ a metade da diagonal do quadrado, enta˜o podemos concluir que
BE =
AC · √3
2
− AC
2
=
AC
2
· (
√
3− 1) =
√
2(
√
3− 1) = (
√
6−
√
2) cm.
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Um professor usa para medir comprimento uma unidade denominada mix,
definida como 1 mix =
√
3 cm. Ele mediu, na unidade mix, as diagonais de um hexa´gono regular
de lado 2 cm e encontrou para as menores x e para as maiores y, Determine x e y.
Soluc¸a˜o:
Considere o hexa´gono regular de lado 2 cm e trace as diagonais do ve´rtice A, pois para cada ve´rtice
o racioc´ınio e´ ana´logo.
O
A
B
C
D
2
2
2
E
x
F
120º 
2
Enta˜o a medida da menor diagonal e´ AE e da maior diagonal e´ AD,
e o aˆngulo interno EF̂A do hexa´gono regular e´
180◦(6− 2)
6
, enta˜o EF̂A = 120◦.
Utilizando a lei dos cossenos no triaˆngulo AFE para
determinar a medida da menor diagonal, temos que:
x2 = 22 + 22 − 2 · 2 · 2 · cos 120◦
⇒ x2 = 8− 8
(−1
2
)
= 12 ⇒ x = 2√3 cm.
Na unidade mix temos:
1 mix − √3 cm
x mix − 2√3 cm ⇒ x =
2
√
3√
3
= 2 mix
Para calcular a maior diagonal y, temos que y = 2 + 2 = 4 cm. Assim na unidade mix temos:
1 mix − √3 cm
y mix − 4 cm ⇒ y =
4√
3
=
4
√
3
3
mix
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Geometria Plana – Gabarito AP2 4
Questa˜o 5 [2,0 pts]: Num quadrila´tero ABCD tem-se: AB = 42 cm, BC = 48 cm, CD = 64
cm e DA = 49 cm, P e´ o ponto de intersec¸a˜o entre as diagonais AC e BD e a diagonal BD e´ igual
a 56 cm.
a) Mostre que ∆ABD e´ semelhante ao ∆BCD.
b) Quais sa˜o os aˆngulos congruentes nos triaˆngulos semelhantes, ∆ABD ∼ ∆BCD ?
c) Determine a raza˜o entre as medidas dos segmentos PA e PC.
Soluc¸a˜o: Seja o quadrila´tero ABCD, onde AB = 42 cm, BC = 48 cm, CD = 64 cm e DA = 49
cm, P e´ o ponto de intersec¸a˜o entre suas diagonais e DB = 56 cm.
A
B
C
D
42 cm 
4
8
 c
m
64 c
m
4
9
 c
m
5
6
 c
m
 P
a) Temos que ∆ABD ∼ ∆BCD, pelo caso LLL, pois
DA
DB
=
49
56
=
7 · 7
7 · 8 =
7
8
AB
BC
=
42
48
=
6 · 7
6 · 8 =
7
8
DB
DC
=
56
64
=
8 · 7
8 · 8 =
7
8
b) Como
DA
DB
=
AB
BC
=
DB
DC
, enta˜o podemos concluir que os aˆngulos congruentes sa˜o:
DÂB = DB̂C, pois
DA
DB
=
AB
BC
AB̂D = DĈB, pois
AB
BC
=
DB
DC
AD̂B = BD̂C, pois
DA
DB
=
DB
DC
c) Como AD̂B = BD̂C, no triaˆngulo ADC, temos que DP e´ bissetriz do aˆngulo D̂. Pelo teorema
da bissetriz interna vem:
AD
PA
=
DC
PC
⇒ PA
PC
=
AD
DC
=
49
64
Logo
PA
PC
=
49
64
.
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