2015 1-AP2-GP-Gabarito

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP2 – Gabarito
Questão 1 [2,5 pts]: A figura é formada por dois quadrados, um de lado 8 cm e outro de lado 6
cm. Qual é a área da região hachurada? Justifique suas respostas.
Solução: Considere a figura com dois quadrados de lados 8 cm e 6 cm.
B é a interseção dos prolongamentos de AE e HC.
A área do retângulo EFHB é
Aret = BH · EB = 2 · 6 = 12 cm2.
A área do triângulo ABC é
Atri =
AB ·BC
2
=
(8 + 6)8
2
=
14 · 8
2
= 56 cm2.
Portanto a área pedida é Ahachurada = Atri − Aret = 56− 12 = 44 cm2.
Questão 2 [2,5 pts]: Um carimbo com o śımbolo de uma empresa foi encomendado a uma fábrica.
Ele é formado por um triângulo equilátero que está inscrito em
uma circunferência e que circunscreve um hexágono regular.
Sabendo que o lado do triângulo deve medir 6 cm, determine
a) (1,2 pt) o peŕımetro do hexágono regular.Justifique suas respostas.
b) (1,3 pt) o diâmetro da circunferência. Justifique suas respostas.
Geometria Plana – Gabarito AP2 2
Solução:
a) Do enunciado temos o lado do triângulo equilátero l3 = 6 cm.
Denote x o lado do hexágono regular. Como o triângulo ABC é
equilátero e os ângulos internos do hexágono regular medem 120◦,
pois Ai =
180◦(6− 2)
6
, então seus ângulos externos tem medida
de 60◦ (veja AD̂E). Logo os triângulos ADE, BFH e CGI
também são equiláteros de lado x. Dáı 3x = 6 ⇒ x = 2 cm.
Portanto o peŕımetro do hexágono regular é 6x = 12 cm.
b) Seja R o raio da circunferência circunscrita, então
R
√
3 = l3 ⇒ R
√
3 = 6 ⇒ R =
6√
3
=
6
√
3√
3
√
3
= 2
√
3
Portanto o diâmetro da circunferência é 2R = 4
√
3.
Outra solução:
Seja h = AM a altura do triângulo ABC, como
∆ABC é equilátero temos que R é
2h
3
. Mas
h2 = 62 − 32 ⇒ h2 = 36− 9 = 27 ⇒ h = 3
√
3. Logo R =
2 · 3
√
3
3
= 2
√
3.
Portanto o diâmetro da circunferência é 2R = 4
√
3.
Questão 3 [2,5 pts]: Na figura está representado um retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi
marcado o ponto P , de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a
medida de CP vale o dobro de BC.
a) (1,2 pt) Calcule a medida de PA. Justifique suas respostas.
b) (1,3 pt) Determine, em graus,o ângulo AP̂B. Justifique suas respostas.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AP2 3
Solução: a) Seja a figura com as condições dadas. Seja x = AD = BC:
Então DP = 3x, PC = 2x e AB = 5x.
Como os triângulos ADP e PBC são retângulos, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
PA
2
= AD
2
+DP
2
= x2 + 9x2 = 10x2 ⇒ PA = x
√
10 ⇒ PA =
√
10 AD
Obs: Ou PA =
AB
√
10
5
ou PA =
DP
√
10
3
.
b)
BP
2
= BC
2
+ PC
2
= x2 + 4x2 = 5x2 ⇒ BP = x
√
5
Para encontrar o ângulo AP̂B, vamos usar a Lei dos cossenos:
AB
2
= AP
2
+PB
2−2 ·AP ·PB ·cosAP̂B ⇒ (5x)2 = 10x2+5x2−2 ·x
√
10 ·x
√
5 ·cosAP̂B
25x2 − 15x2 = −10x2
√
2 · cosAP̂B ⇒ 10x2 = −10x2
√
2 · cosAP̂B ⇒ cosAP̂B =
−1√
2
cosAP̂B =
−
√
2
2
⇒ AP̂B = 135◦.
Questão 4 [2,5 pts]: Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32 metros
à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma
trajetória retiĺınea, conforme figura, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha do meio do
campo está a uma distância de 12 metros da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo que a
linha do meio está a mesma distância dos dois jogadores, calcule a distância ḿınima que o atacante
terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AP2 4
Solução: Considere a figura com os dados :
BC = 12, AC = CL = 16
Seja x = AE a distância ḿınima pedida.
∆AEL ∼ ∆BCL pois
AÊL = BĈL = 90◦
AL̂E = BL̂C (ângulo comum)
pelo critério AA ∼. Então
AE
BC
=
AL
BL
=
EL
CL
⇒ x
12
=
32
BL
=
EL
16
(1)
Como o triângulo CBL é retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras:
BL
2
= BC
2
+ CL
2 ⇒ BL
2
= 122 + 162 = 144 + 256 = 400 ⇒ BL =
√
400 = 20
Substituindo em (1) vem:
x
12
=
32
20
⇒ x
12
=
8
5
⇒ x =
8 · 12
5
=
96
5
= 19, 2
Portanto a distância ḿınima é 19,2 metros.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ