PROFMAT(GAB) L2

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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell
Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22
Goiânia, 03 de Abril de 2012 Turma: PROFMAT (Anápolis)
Lista 2- Gabarito
Pessoal, existem várias maneiras de resolver os problemas abaixo! Apresento uma.
1) Seja an = n
√
n, n ∈ N.
a) Sabendo que a sequência xn =
(
1 + 1
n
)
n
é limitada, veri�que se (an) é monótona. Em caso a�rmativo, ela
é crescente ou decrescente?
Sol: Como (xn) é limitada, existe M > 0 tal que 0 < xn < M para todo n. Além disso, como an é uma sequência positiva,
a�rmamos que existe no ∈ N tal que an > an+1, n ≥ no. Caso contrário, SEMPRE existe n ≥ no tal que an ≤ an+1.
Mas, an ≤ an+1 ⇔ n√n ≤ n+1
√
n+ 1⇔ ( n√n)n(n+1) ≤ ( n+1√n+ 1)n(n+1) ⇔ n(n+1) ≤ (n+ 1)n ⇔ n ≤ (n+1)n
nn
= (1 + 1
n
)n = xn,
isto é, n ≤ xn < M, o que é um absurdo!
Na verdade podemos mostrar M = 3. Além disso, a1 < a2 < a3 e (an) é estritamente decrescente após o quarto termo!
b) Devemos esperar que (an) seja uma sequência convergente? Justi�que! Em caso a�rmativo, calcule lim
n→∞
an.
Sol: Como (an) é decrescente, após um certo no, temos que 0 < an ≤ ano , n ≥ no. Ou seja, (an)n≥no é monótona e limitada.
Portanto lim
n→∞
an existe! Seja a = lim
n→∞
an. Além disso, a
n
n = n > 1⇔ an > 1. Logo, a ≥ 1.
Mas, a = lim
n→∞
an = lim
n→∞
a2n = lim
n→∞
2
2
n
√
an = 2
0√a, temos que a = √a⇔ a2 = a⇔ a = 1.
c) Se 0 < a < b, mostre que lim
n→∞
n
√
(an + bn) = b.
Sol:0 < a < b ⇔ 0 < an < bn. Logo, bn < (an + bn) < 2bn implica em b = n√bn < n
√
(an + bn) < n
√
(2bn) = b n
√
2. Como
n
√
2 = 21/n → 1, temos que lim
n→∞
n
√
(an + bn) = b
2) Calcule o limite das seguintes sequências:
a) xn =
√
n sin (n!en)
n+ 1
. a)Sol: lim
n→∞
xn = 0, pois |xn| ≤
√
n
n+1
= 1
n√
n
+ 1√
n
= 1√
n+ 1√
n
→ 0, já que √n+ 1√
n
→∞.
b) xn =
n!
nn
b)Sol: lim
n→∞
xn = 0, pois xn =
n
n
n−1
n
n−2
n
· · · 2
n
1
n
≤ 1
n
→ 0.
c)xn =
√
(n2 + 3n) − n c)Sol: lim
n→∞
xn =
3
2
, pois xn =
(n2+3n)−n2√
(n2+3n) + n
= 3n√
(n2+3n) + n
= 3√
(1+ 3
n
) + 1
→ 3
2
.
d) xn=
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)(
1− 3
n
)(
1− 4
n
)
· · ·
(
1− n− 1
n
)
d)Sol: lim
n→∞
xn = 0, pois xn =
(n−1)
n
n−2
n
n−3
n
· · · n−(n−2)
n
n−(n−1)
n
= n!
nn
→ 0
3) Sabendo que e = lim
n→∞
(
1 + 1
n
)
n
, mostre que
n+ 1
n2
+
(n+ 1)2
n3
+
(n+ 1)3
n4
+ · · ·+ (n+ 1)
n
n(n+1)
−→ e− 1
Sol: Sabemos que 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn−1 = 1−xn
1−x . Além disso, xn =
n+1
n2
[
1 +
(
n+1
n
)
+
(
n+1
n
)2
+ · · ·+ (n+1
n
)n−1]
.
Fazendo x =
(
n+1
n
)
, temos que xn =
n+1
n2
[
1−( n+1
n
)n
1−(n+1
n
)
]
= −n+1
n
[
1− (1 + 1
n
)n]→ −1[1− e] = e− 1.