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Universidade Federal de Goiás Tutor: Prof. Maxwell Instituto de Matemática e Estatística Disciplina: MA22(PROFMAT) Goiânia, 03 de Maio de 2012 Turma: Polo de Anápolis Lista 4 - GABARITO OBS: Esta lista DEVE ser entregue ATÉ dia 10/05/2012! 1) Considere f : R→ R dada por f(x) = 3x+ 6a, x < −1 3ax− 7b, −1 ≤ x ≤ 1 x− 12b, x > 1. . Determine de a e b de modo f seja contínua. Sol: Basta que { f(−1) = lim x→−1 f(x) f(1) = lim x→1 f(x) . Mas isso implica que −3a− 7b = lim x→−1− 3x+ 6a = −3 + 6a 3a − 7b = lim x→1+ x− 12b = 1− 12b ⇐⇒ { 9a+ 7b = 3 3a+ 5b = 1 ⇔ a = 1 3 , b = 0. 2) Pela desigualdade de Bernoulli, (1 + b)n ≥ 1 + nb para todo b ≥ 0 e para todo n ∈ IN. a) Veri�que que se x > 1, então lim n→∞ xn =∞. Sol: Se x > 1, existe b > 0 tal que x = 1 + b. Logo xn = (1 + b)n ≥ 1 + nb→∞, se n→∞. b) Utilizando a item a) e as propriedades dos limites, veri�que que se 0 < x < 1, então lim n→∞ xn = 0. Sol: Se 0 < x < 1, então 1 x > 1. Logo existe b > 0 tal que 1 x = 1 + b. Portanto, 1 xn = (1 + b)n ≥ 1 + nb. Logo, 0 ≤ xn ≤ 1 1+nb → 0, se n→∞. c) Seja f(x) = lim n→∞ ( x+ 2x 1 + xn ) , x ≥ 0. Encontre uma lei de formação para f que não envolva o limite e esboçe seu grá�co. Sol: Pelas letras a) e b) temos que f(x) = 3x, se 0 ≤ x < 1 2, se x = 1 x, se x > 1 d) O grá�co de g(x) = lim n→∞ ( x+ 2x 1− xn ) , x ≥ 0, possui alguma assíntota? Sol: Note que g(x) não está de�nida em x = 1. Além disso, agindo como nos itens anteriores, g(x) = { 3x, se 0 ≤ x < 1 x, se x > 1 . Note que lim x→1− g(x) = lim x→1− x = 1 6= 3 = lim x→1+ 3x = lim x→1+ g(x) Portanto, o grá�co de g não possui assíntota.
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