AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (60)

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MA22 - Unidade 18 - Parte 1
O Teorema Fundamental do Cálculo
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
4 de junho de 2013
Introdução
A unidade anterior apresentou a teoria das Somas de
Riemann, que permite estabelecer, para uma função cont́ınua
f : [a, b] −→ R, o limite∫ b
a
f (x) dx = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
f (ci ) ∆xi ,
a integral definida de f no intervalo [a, b].
Se f é uma função positiva, este número é usado para definir
a área da região limitada pelo eixo Ox , pelo gráfico da função
f e pelas retas verticais x = a e x = b.
O objetivo desta unidade é apresentar o Teorema
Fundamental do Cálculo que nos fornecerá uma maneira
simples de fazer isso.
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Função primitiva
Seja f : I ⊂ R −→ R uma função definida em um intervalo
aberto I . Dizemos que F : I ⊂ R −→ R é uma primitiva de f
se, para todo x ∈ I ,
F ′(x) = f (x).
As funções F (x) = sen 2(x) e G (x) = − cos2 x são ambas
primitivas da função f (x) = 2 cos x sen x .
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O Teorema do Valor Intermediário para Integrais
Teorema
Se f : [a, b] −→ R é uma função cont́ınua, então existe
c ∈ [a, b] tal que
f (c) =
1
b − a
∫ b
a
f (x) dx .
∫ b
a
f (x) dx (a área sob o gráfico de f ) é
igual a f (c) (b − a) (a área do retângulo
de base [a, b] e altura f (c)). Isto é, a área
que falta ao retângulo de base base [a, c]
é igual à área que excede ao retângulo de
base [c , b].
a bc
f (a)
f (b)
f (c)
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Primeira Parte do Teorema Fundamental do Cálculo
Teorema
Seja f : I −→ R é uma função cont́ınua definida no intervalo
aberto I e seja F : I −→ R uma primitiva de f . Então, se
[a, b] ⊂ I , ∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a).
Estabelecemos a notação
F (x)
∣∣∣∣∣
b
a
:= F (b)− F (a).
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Exemplo 1
Determine o valor de
∫ 3
0
x2 dx .
A função F (x) =
x3
3
é uma primitiva de f (x) = x2.
O teorema permite calcular:
∫ 3
0
x2 dx =
x3
3
∣∣∣∣∣
3
0
=
33
3
− 0
3
3
= 9.
O resultado independe da escolha da primitiva. Se tomarmos,
por exemplo, G (x) =
x3
3
+ 15, uma outra primitiva da função
f , o resultado será o mesmo,
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Exemplo 2
Calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função
f (x) = sen x e pelo eixo Ox , ao longo de um peŕıodo com-
pleto, digamos x ∈ [0, 2π].
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Exemplo 2 - continuação
A função F (x) = − cos x é uma primitiva de f (x) = sen x .
Observe que, se fizermos
∫ 2π
0
sen x dx , pelo Teorema
Fundamental do Cálculo, obtemos∫ 2π
0
sen x dx = − cos x
∣∣∣∣∣
2π
0
= − cos(2π) + cos(0) = 0.
o que não é a área esperada. O problema é que a área acima
do eixo OX é igual à área abaixo do eixo OX .
Para calcular corretamente a área devemos fazer:
A =
∫ π
0
sen x dx −
∫ 2π
π
sen x dx
= [− cos(π) + cos 0]− [− cos(2π) + cos(π)] = 4.
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A segunda Parte do Teorema Fundamental do
Cálculo
Sob quais condições uma função f : I −→ R, definida em um
intervalo aberto I da reta, admite funções primitivas?
Teorema
Se f : I → R é uma função cont́ınua, definida no intervalo
aberto I , então existe F : I → R, uma primitiva de f .
Isto é, para toda f : I → R cont́ınua existe uma função derivável
F : I −→ R tal que
F ′(x) = f (x).
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Exemplo
Calcular a derivada f ′(x) da função f : R→ R definida por
f (x) =
∫ 2x+1
0
sen (t2) dt.
Como g(x) = sen (x2) é uma função cont́ınua, o Teorema
Fundamental do Cálculo garante a existência de primitivas
(mesmo que não conheçamos a formulação expĺıcita de uma).
Seja G : R→ R uma primitiva de g(x) = sen (x2). Então
f (x) =
∫ 2x+1
0
sen (t2) dt = G (2x + 1)− G (0).
Derivando a expressão f (x) = G (2x + 1)− G (0) obtemos
f ′(x) = 2 G ′(2x + 1), devido à Regra da Cadeia.
Usando G ′(x) = g(x), temos
f ′(x) = 2 sen ((2x + 1)2).
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