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Exercícios resolvidos (Lista 4) 1) Traçar para a grelha isostática dada abaixo os diagramas de esforço cortante, momento fletor e momento torsor. A seguir, calcular o deslocamento vertical do nó 1, considerando tanto o efeito do momento fletor quanto o efeito do momento torsor. Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão e torção, sendo EI=104kN/m2 e GIt=2EI. 2 kN 4 1 kN/m 2 kN 2 1 3 8 76 5 4 kN.m 2 m 2 m 1 m1 m 5 8 76 1 342 Cálculo das reações: 2 kN 4 1 kN/m 2 kN 2 1 3 8 76 5 4 kN.m V5 V3V2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN2V0V42242:0V kN4V02224224V:0M kN2V022142V4:0M 22 5532 3325 =⇒=+++−−−=Σ =⇒=−−−=Σ =⇒=−−+=Σ − − Diagrama de esforço cortante: + + + ++ - - 4 kN 2 m 0.0 2 kN 2 kN 2 kN 2 kN 2 kN Diagrama de momento fletor: - 2 kN.m - - - + + + 4 kN.m 4 kN.m 4 kN.m 2 kN.m 4 kN.m 6 kN.m Diagrama de momento torsor: 4 kN.m - - - + 4 kN.m 6 kN.m4 kN.m 6 kN.m 0.0 0.0 0.0 Deslocamento do nó 1: Carga e reações virtuais: 1 kN 0.01/2 kN 1/2 kN Diagrama de momento fletor virtual: 2 kN.m + 1/2 kN.m 2 kN.m 1/2 kN.m + - - 0.0 0.0 0.0 Diagrama de momento torsor virtual: 2 kN.m - 1/2 kN.m 2 kN.m 1/2 kN.m 0.0 0.00.0 0.0 0.0 - Combinação de diagramas de momentos fletores: - + 3.0 kN.m 1.0 kN.m ( )( ) EI3 1624* EI 2 * 3 1 =−−= - + 3.0 kN.m 3.0 kN.m ( ) EI 1 2 14* EI 1 * 2 1 = −−= - + + - + 8.5 kN.m 1.0 kN.m 0.5 kN.m 3.0 kN.m 8.5 kN.m 3.0 kN.m + = ( ) EI3 2 2 14* EI 1 * 3 1 = = - 2 kN.m 4 kN.m =4 kN.m 6 kN.m+ 4 kN.m 2 kN.m + + + ( )( ) ( )( ) EI3 16 EI 1622* EI 4 * 3 124* EI 4 * 2 1 +=+= somando: = ++++= 17 3 34 EI 116 3 16 3 21 3 16 * EI 1 Combinação de momentos torsores: - - 4 kN.m 2 kN.m ( )( ) EI 4 GI 824* GI 1 tt ==−−= - - 1/2 kN.m 6 kN.m ( ) EI2 3 GI 3 2 16* GI 1 tt == −−= somando: += 2 34 EI 1 ; logo, o deslocamento do nó 1 será: m10*83.33 2 3417 3 34 EI 1 4 1 − = +++=δ 2) Traçar para a grelha isostática os diagramas de momento fletor (DM), esforço cortante (DQ) e momento torsor (DT), destacando os valores extremos. Perde-se também mostrar o equilíbrio dos momentos fletores e torsores nos nós da grelha. 2 kN 2 kN 2 kN/m 2 kN 7 6 5 4 3 2 1 1 m 1 m 1 m 4 m 1 6 75 43 2 Cálculo das reações: 2 kN 2 kN 2 kN/m 2 kN 7 6 5 4 3 2 1 V2 = 5.5 kN V7 = 5 kN V4 = 3.5 kN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN5.5V0V5.352822:0V kN5.3V015182V22:0M kN5V042284V1212:0M 22 4421 7742 =⇒=+++−−−−=Σ =⇒=+−+−=Σ =⇒=−−++=Σ − − Diagrama de esforço cortante: - - - + + + + 2 kN 2 kN 3 kN 2 kN 1.5 kN 5 kN 3.5 kN 2.5 m Diagrama de momento fletor: - - - + - + + 2 kN.m 2.25 kN.m1.5 kN.m 2 kN.m 4 kN.m 3.5 kN.m 2 kN.m Diagrama de momento torsor: + - + 2 kN.m 2 kN.m 2 kN.m 0.0 0.0 0.0 Equilíbrio no nós: 2 1.5 2 4 3.5 2 2 2 Nó 5 Nó 2, 4 e 7 3) Traçar para a grelha dada abaixo os diagramas de momento fletor (DM), esforço cortante (DQ) e momento fletor (DT), destacando os valores extremos. Pede-se também mostrar o equilíbrio dos momentos fletores e torsores nos nós da grelha. 4 kN 4 kN 2 kN/m 4 kN 7 65 4 3 2 1 2 m 1 m 2 m 4 m 1 6 7 5 43 2 Cálculo das reações: 4 kN 4 kN 2 kN/m 4 kN 7 65 4 3 2 1 V6 = 6 kN V4 = 9 kN V2 = 5 kN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN5V0V964844:0V kN9V04V26442844:0M kN6V04V28441414:0M 22 4421 6642 =⇒=+++−−−−=Σ =⇒=−−++=Σ =⇒=+−−+=Σ − − Diagrama de esforço cortante: + + + - - - 4 kN 2 kN 5 kN 4 kN6 kN 1 kN 4 kN 1 m Diagrama de momento fletor: - + - + - + - 4 kN.m 8 kN.m 1 kN.m 8 kN.m 10 kN.m 2 kN.m 4 kN.m Diagrama de momento torsor: - 8 kN.m - + 4 kN.m 4 kN.m 0.0 0.0 0.0 Equilíbrio dos nós: 4 kN.m 4 kN.m 8 kN.m 10 kN.m 4 kN.m 2 kN.m 4 kN.m 8 kN.m 4 kN.m 4 kN.m 8 kN.m 8 kN.m 4) Traçar para o pórtico isostático dado abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e momento fletor (DM) mostrando todos os valores necessários ao entendimento dos resultados. A seguir, usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais Complementar (PTVC), calcular o deslocamento vertical do nó 2 (δ2). Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI = 104 kN/m2. 2 kN 2 kN/m 3 kN/m 2 m 2 m 2 m 6 m 1 7 6 54 3 2 Cálculo das reações de apoio: 2 kN 2 kN/m 3 kN/m 1 7 6 54 3 2 V1 = 11 kN V7 = 9 kN H7 = 6 kNH1 = 2 kN M7 = 12 kN.m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )eM 2 1H0M2H:0M d54MV6H2 0M6V2H3182214:0M kN2H0142H:0M c66MV60M6V2221828:0M b8HH0HH8:0H a20VV0VV218:0V 7777inf6 777 777sup3 11inf3 77771 7171 7171 =⇒=+−=Σ =++−⇒ =++−−+−=Σ =⇒=+−=Σ =+⇒=+++−−=Σ =+⇒=−−=Σ =+⇒=++−−=Σ Substituindo-se (e) em (d), (c), (a) e (b); chega-se a: m.kN12M kN6H kN9V kN2H kN11V 7 7 7 1 1 = = = = = Diagrama de esforço cortante: - + - + - + 2 kN 6 kN 9 kN 6 kN 9 kN 2 kN 3 m Diagrama de momento fletor: - + -- + - + - 1 kN.m 12 kN.m12 kN.m 4 kN.m 8 kN.m 12 kN.m 1.5 kN.m 12 kN.m Deslocamento vertical no nó 2: A estrutura com a carga virtual e as reações verticais é: 1 kN 1/3 kN4/3 kN - - 12 2 + 2 13.5 - logo, o diagrama de momento fletor virtual será: - 0.0 0.0 2 kN.m Fazendo as combinações dos diagramas de momentos, tem-se: ( )( ) 44 10*3 1624* 10 2 * 3 1 − =−−= ( )( ) 44 10*72212*10 6 * 2 1 − =−−= ( )( ) 44 10*5425.13*10 6 * 3 1 − −=−= logo: δ2 = 23.3*10-4 m - - 2 4 5) Traçar para o pórtico isostático dado abaixo os diagramas de esforço cortante (DQ) e momento fletor (DM), mostrando todos os valores necessários ao entendimento dos resultados. a seguir, usando o Princípio dos Trabahos virtuais Complementar, calcular o deslocamento vertical do nó 2 (δv2). Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI = 10-4 kN/m2.2 kN 2 kN 3 kN/m 1 m 1 m 1 m 4 m 1 6 5 432 Cálculo das reações: 2 kN 2 kN 3 kN/m 1 6 5 432 V1 = 9 kN M6 = 2 kN.m V6 = 5 kN H6 = 2 kN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN9V021252124V:0M MH0M1H:0M kN2H0H2:0H 14VV0VV212:0V 11sup5 6666inf5 66 6161 =⇒=+++−=Σ =⇒=+−=Σ =⇒=−=Σ =+⇒=++−−=Σ logo: m.kN2M kN2H kN5V kN9V 6 6 6 1 = = = = Diagrama de esforço cortante: - + + - - 2 kN 5 kN 7 kN 2 kN 2 kN Diagrama de momento fletor: + - 2 kN.m - - - - + 2 kN.m 2 kN.m 6 kN.m 2 kN.m 4 kN.m 2.17 kN.m - - 1 kN.m 2 kN.m 6 kN.m Deslocamento vertical do nó 2: A carga virtual, as reações virtuais e o diagrama de momentos fletores virtuais são: - 1 kN.m 1/4 kN3/4 kN 1 kN Combinando os diagramas reais e virtuais, tem-se: ( ) ( )[ ] 44 10*3 286221* 10 4 * 6 1 − =−+−−= ( )( ) 44 10*861*10 4 * 3 1 − −=+−= ( )( ) 44 10*3 212* 10 1 * 3 1 − =−−= - - 1 kN.m 2 kN.m - + 6 kN.m 1 kN.m logo: δ2 = 2*10-4 m 6) Calcular para o pórtico isostático dado abaixo, usando o PTVC e considerando apenas o efeito do momento fletor, a rotação da tangente à elástica no apoio 10. Todas as barras têm a mesma rigidez a flexão, sendo EI=104kN/m2. 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 2 kN.m 3 kN.m 2 kN/m 5 4 6 9 732 101 8 Cálculo das reações: Dividindo as estrutura da forma: 2 kN.m 3 kN.m 2 kN/m 5 4 6 973 2 101 8 V6 = 9.25 H6 = 0.5 V10 = 3.5 H10 = 1.5 V1 = 8.5 H1 = 1.5 H6 = 0.5 V6 = 9.25 V2 = 2.75 H2 = 0.5 V2 = 2.75 H2 = 0.5 Parte superior: ( ) ( ) ( ) ( ) kN25.9V04V2 2 1312:0M kN 2 1H04H2:0M 0HH:0H 012VV:0V 66dir4 22esq4 62 62 =⇒=+−−=Σ =⇒=+−=Σ =−=Σ =−+=Σ logo: kN25.9V kN5.0H kN75.2V kN5.0H 6 6 2 2 = = = = Parte inferior: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN5.8V025.14V675.2225.925.03:0M kN5.1H02H3:0M 0HH:0H 025.975.2VV:0V 11esq9 1010dir9 101 101 =⇒=+−++−−=Σ =⇒=−=Σ =−=Σ =−−+=Σ logo: kN5.3V kN5.1H kN5.8V kN5.1H 10 10 1 1 = = = = Diagrama de momento fletor: 2.0 kN.m 5.5 kN.m 3 kN.m 1 kN.m 4 kN.m 5 kN.m 1.8 kN.m 1 kN.m 4 kN.m 3 kN.m 8.5 kN.m 3 kN.m 3 kN.m - - - - - - - + - - ++- 5 kN.m 1 kN.m 4 kN.m 3 kN.m 4 kN.m 1 kN.m 5.5 kN.m 3 kN.m 8.5 kN.m Rotação no apoio 10: O momento virtual e as reações virtuais são: 1 kN.m 5 6 9 732 101 8 0.5 0.25 0.5 0.25 O diagrama de momento virtual é: + ++ 1 kN.m 1 kN.m 0.5 kN.m 1 kN.m0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 combinação dos diagramas de momentos: ( )( ) EI 213* EI 2 * 3 1 −=+−= ( )( ) EI 113* EI 2 * 6 1 =−−= - + + - + 8.5 kN.m 1.0 kN.m 0.5 kN.m 3.0 kN.m 8.5 kN.m 3.0 kN.m + = ( ) ( )( ) 0113* EI 2 * 6 1 2 125.8* EI 2 * 6 1 =++ +−= - 1.0 kN.m 3.0 kN.m - - + 3.0 kN.m 1.0 kN.m - - +4.0 kN.m 3.0 kN.m 0.5 kN.m 4.0 kN.m 3.0 kN.m + - += ( ) ( ) EI3 4 EI2 1 2 14* EI 2 * 3 13 2 1 * EI 2 * 6 1 +−= +− = logo, a rotação no nó 10 será: rad10*67.1 EI3 4 EI2 1 EI 1 5 10 − −=+−−=φ 7) Classificar a estrutura dada abaixo, mostrando claramente as restrições e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. 2 kN/m 4 kN.m 3 kN 2 m 2 m 2 m 2 m4 m2 m 1 9876 543 2 10 ISO R6 LG6 Cálculo das reações: 2 kN/m 4 kN.m 3 kN 1 9876 543 2 10 H1 V1 V10 H10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0H2V04H2V144:0M 9HV04H4V312:0M 3HH0HH3:0H 16VV0VV16:0V 1111esq7 10101010dir7 101101 101101 =+−⇒=+−+−=Σ =−⇒=−+−=Σ −=−⇒=−+=Σ =+⇒=++−=Σ Resolvendo as equações, chega-se a: kN33.4H kN33.13V kN33.1H kN67.2V 10 10 1 1 = = = = Diagrama de esforço normal: 0.0 0.0 0.0 -4.33 kN -2.67 kN -2.67 kN -3 kN -13.3 kN Diagrama de esforço cortante: - + + + + - - 3 kN 4 kN 4.33 kN 9.33 kN 2.67 kN 4.33 kN 0.0 1.33 kN 0.0 1.34 m Diagrama de momento fletor: + - - - + - + - 7.33 kN.m6 kN.m 6 kN.m 2.67 kN.m 4 kN.m 21.32 kN.m 0.44 kN.m 1.34 kN.m 1.34 kN.m 4 kN.m 17.32 kN.m - 7.33 kN.m 6.0 kN.m 2.67 kN.m 4.0 kN.m 8) Classificar a estrutura dada abaixo e, usando a numeração dos nós fornecida, traçar os diagramas de normal, cortante e momento f;etor, mostrando todos os valores necessários ao completo entendimento dos resultados. 2 kN/m 2 kN 1 kN 2 m 2 m 2 m 2 m3 m2 m 1 9 76 543 2 11 108 1 m 2 kN.m Cálculo das reações: 2 kN/m 2 kN 1 kN 1 9 76 543 2 11 108 2 kN.m V1 = 12 kN H11 = 1 kN V11 = 7 kN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN7V0412415V5.210:0M kN1T0224T:0M 12VV0VV102:0V kN1H0H1:0H 1111dir6 111111inf6 111111 1111 =⇒=−−−+−=Σ =⇒=−=Σ =+⇒=++−−=Σ =⇒=+−=Σ −− logo: kN1T kN7V kN1H kN5V 111 11 11 1 = = = = − Reações internas na treliça do pórtico: 9 7 108 2 kN.m H8 = 1 kN V7 = 1 kN V8 = 1 kN H7 = 1 kN ( ) ( ) ( ) kN1VkN1V0212V:0M kN1HkN1H02H2:0M 0VV:0H 0HH:0H 877sup9 8778 87 87 =∴=⇒=+−=Σ =∴=⇒=+−=Σ =−=Σ =+−=Σ logo: 2 kN.m 2 kN 1 kN 1 kN 1 kN 1 kN1 kN 1 kN1 kN 7 kN 1 kN1 kN 5 kN 1 kN 1 kN -1 kN 1 kN Diagrama de esforço normal: 0.0 -1 kN -5 kN 0.0-1 kN -1.41 kN 0.0 -8 kN-3 kN -2 kN +1 kN -7 kN Diagrama de esforço cortante: + 2 kN + - - - - - + + 1 kN 3 kN 7 kN 3 kN 2 kN 2 kN 1 kN 1 kN 0.0 Diagrama de momento fletor: 4 kN.m - - - + - + - + + 2 kN.m 10 kN.m 10 kN.m 2.25 kN 4 kN.m 4 kN.m 2 kN.m 2 kN.m 2 kN.m 4 kN.m 2 kN.m 4 kN.m 2 kN.m 9) Para a estrutura dada abaixo pede-se identificar as barras que estão submetidas apenas a esforço normal e as barras que podem ter, além do normal, cortante e momento fletor. A seguir, traçar os diagramas de momento fletor e esforço cortante, explicitando todos os valores necessários à completa compreensão dos mesmos, e mostrar a distribuição do esforço normal nas barras da estrutura. Determinar também o número de graus de liberdade e o número de restrições. 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1 m 2 m 4 kN/m9 87654 32 1 10 ISO R27 LG27 Cálculo das reações: 4 kN/m 9 87654 32 1 10 H1 V1 H10 V10 M10 V9 H9 V9 H9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0VV32:0V 0HH:0H 64HV302H6V432:0M 16HV02H2V216:0M 91 91 99991 9999dir6 =++−=Σ =−=Σ =+⇒=++−=Σ =−⇒=−+−=Σ resolvendo resulta em: kN20V kN4H kN12V kN4H 9 9 1 1 = = = = Na barra 9 – 10: ( ) 0M24:0M 0H4:0H 0V20:0V 109 10 10 =+−=Σ =−=Σ =+−=Σ logo: m.kN8M kN4H kN20V 10 10 10 = = = Cálculo das barras submetidas a força axial: 9 87654 32 1 10 12 kN 4 kN 4 kN 20 kN 8 kN.m -4 kN -8.9 kN 0 -4 kN 0 -8.9 kN 0 -4.0 kN 0 -20.0 kN -20.0 kn -4.0 kN Diagrama de esforço cortante: - + + + + - 4 kN 8 kN 4 kN 4 kN 4 kN 12 kN Diagrama de momento fletor: 2 kN.m 8 kN.m 8 kN.m 16 kN.m 2 kN.m 8 kN.m + + - - - +
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