Trigonometria Positivo

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- Trigonometria na circunferência e funções 
trigonométricas
- Transformações e equações trigonométricas
- Matrizes e determinantes
- Sistemas lineares
Alessandra Zavala
Módulo 5
Matemática
Trigonometria, matrizes, 
determinantes e sistemas 
Trigonometria na 
circunferência e funções 
trigonométricas
Você conhece as manobras 
do skate?
Sabe o que significa realizar 
a manobra 900?
E a manobra 1 080, o que 
significa?
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/H
om
yd
es
ig
n
3
Arco de uma 
volta AXB .
A = B
X
Dois arcos de 
meia-volta.
A
B
O
Arco nulo.
A = B
Qual é o arco AB, o verde 
ou o vermelho?
A
B
O arco verde é o AYB e o 
arco vermelho é o AXB .
A
X
Y
B
Arcos
m(AB) = m( AOB) = α
m(AB): medida do arco AB
m( AOB): medida do ângulo AOB
α
A
O
B
Medida do arco AB = 45°AO
B
45°
Medida do arco CD = 150°CO
D
150°
A medida de um arco é a medida do ângulo central 
correspondente.
O comprimento é a medida linear, ou seja, do segmento que 
seria obtido caso pudéssemos retificar o arco.
AB e CD têm a mesma medida α. No 
entanto, os comprimentos desses arcos são 
diferentes.
AO
B
B’
α
O
D
C
A
B
Não confunda 
a medida 
de um arco 
com o seu 
comprimento.
Medida e comprimento de um arco
4
Unidades de medida de um arco
Grau (°)
A circunferência mede 360°
Submúltiplos do grau: minuto (') e 
segundo (").
1° = 60'
1' = 60"
O arco de 1°
A medida de uma circunferência é 360° ou 2π rad.
Radiano (rad)
O raio da circunferência mede r.
O comprimento do arco AB é r.
A medida do arco AB é 1 radiano.
O
B
B’
Ar
r1 rad
r
m(AB) = 90°
m(AB) = 2
π rad
A
B
O
m(AB) = 270°
m(AB) = 2
3π rad
A
B
O
m(AB) = 360°
m(AB) = 2π rad
A = B
O
m(AB) = 180°
m(AB) = π rad
AB
O
5
Cálculo do comprimento de um arco
Se o ângulo for determinado em graus, usaremos a fórmula abaixo para o valor de ℓ:
α = ângulo central em radianos
ℓ = comprimento do arco
r = raio da circunferência
ℓ = α ⋅ r
ℓ = 2
α π r
A
r
B
O α
ℓ
6
O x
A(1,0)
y
3º
quadrante
2º
quadrante
1º
quadrante
sentido
positivo
sentido
negativo
4º
quadrante
Como o raio da circunferência mede 1, a medida 
de um arco, em radianos, é numericamente igual ao 
seu comprimento.
• Centro no ponto (0, 0) 
do plano cartesiano. 
• Raio unitário (r = 1).
• A(1, 0): origem dos 
arcos.
• Sentido anti-horário: 
positivo.
• Sentido horário: 
negativo.
• Os eixos cartesianos 
dividem a 
circunferência em 4 
partes: 4 quadrantes.
Arcos côngruos
Existem infinitos arcos com 
a mesma extremidade de um 
arco qualquer. 
900° = 2 · 360° + 180°
Duas voltas e meia
y
A
x
Arco de 900°
1080° = 3 · 360°
Três voltas 
y
A
x
Arco de 1080°
Expressão geral 
de todos os arcos 
côngruos ao arco AP, 
de medida α, com 
0 ≤ α < 360° ou 
0 ≤ α < 2π rad, é dada 
por: α + k ⋅ 360° ou 
α + k ⋅ 2π, com k ∈ 
O arco AP, de medida 
α, é chamado de 
1º determinação 
positiva.
Circunferência trigonométrica
7
A tangente não existe para todos os arcos. 
sen α
y (eixo dos senos)
x (eixo dos cossenos)
A
P
P'
P''
1
O
α
cos α
y t (eixo das tangentes)
x
A
P
T
1O
α
tg α = OA
AT = 1
AT = AT
sen α = OP
P'P = 1
P'P = P'P = OP''
cos α = OP
OP' = 1
OP' = OP'
Razões trigonométricas na circunferência
Seno e cosseno de um arco Tangente de um arco
8
tg 180° = 0
α = 180°
y t
x
A = TP
O
tg 0° = 0
α = 0°
y t
x
A = P = T
O
A tangente é positiva.
y
t
x
A
O
Primeiro quadrante
A tangente é negativa.
Segundo quadrante
y t
x
A
O
A tangente não existe.
α = 90°
y t
x
A
P
O
A tangente é positiva.
Terceiro quadrante
y t
x
A
O
A tangente é negativa.
Quarto quadrante
y t
x
A
O
A tangente não existe.
α = 270°
y t
x
A
P
O
tg 360° = 0
α = 360°
y t
x
A = P = T
O
Observe que, 
quando a medida 
do arco é 90° ou 
270°, a tangente 
não existe, pois 
a reta OP é 
paralela ao eixo 
das tangentes 
(reta t).
Representação da tangente para cada arco
9
α 0 ou 0° π
2 ou 90°
π ou 180° 3π
2 ou 270°
2π ou 360°
sen α 0 1 0 –1 0
cos α 1 0 –1 0 1
tg α 0 ∃ 0 ∃ 0
y t
x
A
P
T
1
O
α
y
xO
+ +
– –
y
xO
– +
– +
y
xO
– +
+ –
seno cosseno tangente
Sinais
Alguns valores
A
B
Cb
c
a
α
β
α
A
O
B
Relação fundamental da 
trigonometria
Tangente de um arco
(cos α)2 + (sen α)2 = 1
Duas relações importantes
Para todo arco de medida α, temos:
Para todo arco de medida α, com 
cos α ≠ 0, temos:
tgα = senα 
cosα 
1
10
α: medida de um arco no 1º quadrante
y
A xO
360° – α 180° + α 
180° – α α
y
A xO
π – α
π + α 2π – α
α
Arco em graus Arco em radianos
sen(180 ) sen
cos(180 ) cos
tg(180 ) tg
° − α = α
° − α = − α
° − α = − α
sen(180 ) sen
cos(180 ) cos
tg(180 ) tg
°+ α = − α
°+ α = − α
°+ α = α
sen(360 ) sen
cos(360 ) cos
tg(360 ) tg
° − α = − α
° − α = α
° − α = − α
sen( ) sen
cos( ) cos
tg( ) tg
π − α = α
π − α = − α
π − α = − α
sen( ) sen
cos( ) cos
tg( ) tg
π + α = − α
π + α = − α
π + α = α
sen(2 ) sen
cos(2 ) cos
tg(2 ) tg
π − α = − α
π − α = α
π − α = − α
Simetrias na circunferência trigonométrica
11
Funções periódicas
Você sabia que vários fenômenos observados 
no ambiente marinho podem ser analisados com 
base em modelos matemáticos?
Podemos citar, dentre outros, a formação e a 
propagação de ondas, as correntes marinhas, a 
dispersão de poluentes em emissários submarinos 
e o subir e descer das marés. 
2
©Shutterstock/EpicStockMedia
12
Esta é parte do gráfico de uma função representada no 
plano cartesiano. O que você observa?
x
y
a a + p
p
Uma função f:  →  é denominada periódica quando existe um 
número real positivo p tal que f(x+p) = f(x) para todo x ∈ . 
O menor número positivo p que satisfaz essa igualdade é 
chamado de período da função.
Considerando que o padrão 
gráfico observado seja mantido 
indefinidamente em ambos os 
sentidos, dizemos que se trata 
de uma função periódica.
O ponto de abscissa a tem 
mesma ordenada que o ponto de 
abscissa a + p.
Período
13
A função trigonométrica seno associa a cada número real x o seno do arco de medida x radianos.
Função seno
 f:  →  , f(x) = sen x
1
0
–1
sen x
x
5π
2
– ⎯
3π
2
– ⎯ 5π
2
 ⎯π2 ⎯
3π
2
 ⎯ 7π2 ⎯
π
2
– ⎯
–3π –2π 2ππ 3π 4π–π
p = 2π
O gráfico da função seno é uma curva denominada senoide.
• Período: p = 2π
• Domínio: 
• Imagem: [–1, 1]
• Função ímpar, pois sen(–x) = –sen x.
14
Transformação do gráfico da função seno 
Considere a função trigonométrica do tipo y = a + b · sen (cx + d), com b ≠ 0 e c ≠ 0.
1
2
y
x
−1
−2
0 π
2
π 2π
3π
2
f
g
sen x
1
2
3
y
x
−1
−2
−3
0
π
2
π 2π
3π
2
f
g
sen x
A constante a faz a translação vertical do gráfico. A constante b dilata ou contrai verticalmente o gráfico.
a > 0 ⇒ translada para cima
a < 0 ⇒ translada para baixo
|b| > 1 ⇒ dilatação vertical
|b| < 1 ⇒ contração vertical
15
A constante c dilata ou contrai horizontalmente o gráfico.
A constante d faz a translação horizontal do gráfico.
Nesse caso, a translação é de d
c
 unidades.
1
y
x
−1
0
π
2
π 2π
3π
2
f gsen x
3π 4π
d > 0 ⇒ translada para a esquerda
d < 0 ⇒ translada para a direita
|c| < 1 ⇒ dilatação horizontal
|c| > 1 ⇒ contração horizontal
3
16
Observe o esboço do gráfico da função cossecante no intervalo de 0 a π2 .
O domínio da função é restrito aos números reais para os quais sen x ≠ 0, pois 1cossec x sen x=
.
cossec x
1
0
–1
xπ 2ππ
2
3π
2
Essa função está definida para x k , comk≠ ⋅π ∈. 
• f: {k ,k } , f (x) cossec x− ⋅π ∈ → =  
• Domínio: x k , k≠ ⋅π ∈
• Conjunto-imagem: ] [1,1− −
• Período: = πp 2
• A função cossecante é ímpar, pois 
1
cossec x
sen x
1 1
cossec( x) cossec x
sen( x) sen x
=
− = = = −
− −
Função cossecante
17
1
0
–1
cos x
x5π
2
– ⎯ 3π
2
– ⎯ 5π
2
 ⎯π
2
 ⎯ 3π
2
 ⎯ 7π
2
 ⎯π
2
– ⎯
–3π
–2π 2π
π 3π
4π
–π
p = 2π
O gráfico da função cosseno é uma curva denominada senoide transladada 
2
π 
unidades para a esquerda.
Função cosseno
• Período:p = 2π
• Domínio: 
• Imagem: [–1, 1]
• Função par, pois cos(–x) = cos x.
 f:  →  , f(x) = cos x
18
Transformação do gráfico da função cosseno
cos x
−1 + 2cos (−x + π)
0
1
−1
−2
−3
π
2
2ππ 3π
2
y
x
Assim como para a função seno, as funções do tipo 
y = a + b · cos (cx + d), com b ≠ 0 e c ≠ 0, podem ser utilizadas 
para representar inúmeros fenômenos. Já estudamos que o 
comportamento do gráfico da função seno variava conforme 
variavam as constantes a, b, c e d. O mesmo ocorre com a 
função cosseno.
 ► A constante a translada o gráfico da função para cima ou 
para baixo.
 ► A constante b dilata ou contrai a imagem da função.
 ► A constante c muda o período da função.
 ► A constante d translada o gráfico da função para a 
esquerda ou para a direita.
Observe, ao lado, o gráfico da função f(x) = –1 + 2cos (–x + π). 
Aqui, temos a = –1, b = 2, c = –1 e d = π.
19
Observe o esboço do gráfico da função secante no intervalo de 0 a π2 .
O domínio da função é restrito aos números reais para os quais cos x ≠ 0, pois = 1secx cosx.
sec x
1
0
–1
x
π
2ππ
2
3π
2
Essa função está definida para π≠ + ⋅ π ∈x k , comk
2
.
• f: { }k , k , f (x) secx2π− + ⋅π ∈ → =  
• Domínio: x k , k
2
π≠ + ⋅π ∈
• Conjunto-imagem: ] [1,1− −
• Período: p = 2π
• A função secante é par, pois 
1
sec x
cos x
1 1
sec( x) sec x
cos( x) cos x
=
− = = =
−
Função secante
20
tg x
1
0
–1
–√3/3
xπ
6
π
4
π
3
2π
3
3π
4
5π
6
7π
6
5π
4
4π
3
5π
3
7π
4
11π
6
3π
2
2ππ
π
2
√3/3
√3
–√3
• 
• Domínio: 
• Conjunto-imagem: 
• Período: 
• A função tangente é ímpar, pois
 
Função tangente
Definimos a função tangente como a função trigonométrica f que associa a cada número real a tangente do 
arco de medida x radianos. 
 f:  – { 2
π + k · π, k ∈  }→  tal que f(x) = tg x
4
21
Razão trigonométrica: cotangente 
Antes de conhecer a função, vamos relembrar as 
características da razão trigonométrica cotangente.
Dado um arco , de medida α, considere o ponto Q, 
intersecção da reta OP com a reta u. 
A abscissa do ponto Q corresponde à cotangente de α.
Observe que os triângulos OSP e OBQ são semelhantes, assim:
• A relação só faz sentido quando sen α ≠ 0. 
• Quando sen α ≠ 0 e cos α ≠ 0, a cotangente de α é o 
inverso da tangente de α, ou seja, .
• Os sinais da cotangente são os mesmos da tangente.
Função cotangente
22
Transformações e 
equações trigonométricas
Com base em seus conhecimentos de Matemática, a igualdade apresentada a seguir é verdadeira 
ou falsa?
Verificamos facilmente que é falsa, pois
Como os resultados são diferentes, concluímos que .
Assim, não é verdade que 
sen (a + b) = sen a + sen b. 
Se as medidas dos arcos 
 e são a e b, 
respectivamente, a medida 
do arco é a + b.
Qual o valor de cos (a + b) 
e de sen (a + b)?
Seno, cosseno e tangente da adição e 
da subtração de arcos 5
24
O cosseno da soma dos arcos de medidas a e b é: 
A fórmula que calcula o cosseno da diferença entre os arcos a e b é:
Cosseno da soma e cosseno da diferença de dois arcos 
O seno da soma dos arcos de medidas a e b é: 
Uma fórmula para o seno da diferença dos arcos de medida a e b é:
Seno da soma e seno da diferença de dois arcos 
Tangente da soma e tangente da diferença de dois arcos 
As fórmulas a seguir só são válidas quando as tangentes de todos os arcos envolvidos existirem.
25
Para obter relações que nos permitem calcular o seno, o cosseno e a tangente do dobro de um arco, basta utilizar as 
fórmulas que fornecem as razões trigonométricas da soma de dois arcos. Observe.
Substituindo b por a, temos: Substituindo b por a, temos:
Substituindo b por a, temos:
 
Seno, cosseno e tangente de arcos duplos 6
26
Exemplo 1
Vamos resolver a equação .
Na primeira volta positiva, os valores 
de x tais que são e .
O valor do 2º quadrante é obtido pela 
simetria em relação ao eixo y e calculado 
por .
Sendo k um número inteiro 
que indica o número de voltas 
percorridas a partir de , temos:
No caso de , a solução geral 
é dada por:
Assim, o conjunto-solução S da equação é: 
AO
B
45° Exemplo 2
Vamos resolver a equação 
.
Na 1º volta positiva, os arcos tais que 
 são e .
O valor do 3º quadrante é obtido pela 
simetria em relação à origem e calculado 
por .
Por meio da solução da primeira volta 
positiva, , teremos outras soluções
sempre que percorrermos um múltiplo 
de π, ou seja, “de π em π”, temos uma 
nova solução.
Sendo k um número inteiro, a solução geral é dada por
Assim, o conjunto-solução S da equação é
.
Equações trigonométricas 
27
Matrizes e 
determinantes
Uma matriz do tipo m × n é uma tabela com m linhas e 
n colunas.
Genericamente
Conceito de matriz
29
Matriz transposta
Matriz simétrica
Igualdade de matrizesMatriz linha
Matriz coluna
Matriz quadrada
Matriz nula
Matriz identidade
Matriz diagonal
Matriz triangular superior
Matriz triangular inferior
Tipos de matrizes
Diagonal 
principal
Diagonal 
secundária 30
Operações com matrizes
Adição e subtração de matrizes
Multiplicação de um número real por uma matriz
Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, a soma A + B é a matriz C= (cij)mxn, tal que cij=aij + bij, ou seja, C 
é a matriz obtida somando os correspondentes elementos das matrizes A e B.
Dada uma matriz A=(aij)mxn e um número real k, a matriz k · A é obtida pelo produto de todos os 
elementos da matriz A pelo número k.
Dadas duas matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mxn, a diferença A – B é a matriz C= (cij)mxn, obtida pela soma da 
matriz A com a matriz oposta de B, ou seja, C = A – B = A + (–B).
A = 14 –3–5 0 e B = 
–1 7
8 10 ⇒ A + B = 
13 4
3 10
A = e k = 6 ⇒ k · A = 18 –6 1230 0 42
3 –1 2
5 0 7
A = 14 –3–5 0 e B = 
–1 7
8 10 ⇒ A – B = 
15 –10
–13 –10
31
Multiplicação de matrizes
Dadas as matrizes A=(aij)mxn e B=(bij)mkp , o produto 
A · B é a matriz C= (cij)mxp , em que cada elemento cij 
é obtido multiplicando ordenadamente os elementos 
da linha i da matriz A pelos elementos da coluna 
j da matriz B e somando os produtos obtidos. 
Simbolicamente, podemos escrever que:
Exemplo:
Dada as matrizes
Calcule A · B.
Observe o esquema que representa a 
multiplicação de outras duas matrizes.
Amxn · Bnxp = Cmxp 
iguais
cij = ai1 · bi1 + ai2 · b2J + ... + ain · bnJ
A = 1 42 –1 e B = 
3 –1 2
5 0 7
A = 1 42 –1 B = 
3 –1 2
5 0 7
A · B = 1·3+4·5 1·(–1)+4·0 1·2+4·72·3+(–1)·5 2·(–1)+(–1)·0 2·(–1)+(–1)·7
A · B = 23 –1 301 –2 –3
32
Chamamos de determinante de uma matriz quadrada um número a ela associado, obtido por meio de 
determinadas regras. O determinante de uma matriz nos informa, por exemplo, se ela é ou não invertível.
Representação: 
Determinante de uma matriz de ordem 1
Determinante de uma matriz de ordem 2
Determinante de uma matriz de ordem 3
Determinante de uma matriz
33
Cofator do elemento aij é o produto de (–1)i + j pelo determinante da matriz obtida ao 
eliminarmos a linha i e a coluna j.
Teorema de Laplace: o determinante de uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 é a soma dos 
produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores. 
Propriedades dos determinantes
Fila nula: se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A 
forem nulos, então det A = 0.
Filas paralelas iguais ou proporcionais: se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) 
de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0.
Determinante da matriz transposta: os determinantes de uma matriz quadrada A e de sua 
transposta At são iguais, ou seja, det A = det At.
Multiplicação de uma fila por uma constante: se multiplicarmos uma fila de uma matriz 
quadrada A por um número real k, o determinante da matriz B obtida será igual ao produto do 
determinante da matriz A por k, ou seja, det B = k · det A.
Troca de filas paralelas: se trocarmos entre si duas filas paralelas de uma matriz quadrada 
A, o determinante da matriz B obtida será igual ao oposto do determinante da matrizA, ou seja, 
det B = –det A.
Teorema de Jacobi: se, em uma matriz quadrada A, uma fila for substituída pela adição dela 
com outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, o determinante da matriz B 
obtida será igual ao determinante de A, ou seja, det B = det A.
Teorema de Binet: se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, 
det(A · B) = det A · det B.
Determinante da matriz inversa: se uma matriz quadrada A é invertível, então .
34
Sistemas lineares
Denomina-se equação linear toda equação que puder 
ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, em que
 ► a1, a2, a3, ..., an são números reais chamados de 
coeficientes das incógnitas. 
 ► x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas.
 ► b é um número real denominado termo independente.
Denomina-se sistema linear m × n um conjunto formado por m 
equações lineares e n incógnitas.
Sistema linear 2 × 2 Sistema linear 3 × 3
Sistema linear 2 × 3
Quando o número de equações é igual ao de incógnitas, dizemos 
que o sistema é quadrado.
Equação linear Sistema de equações lineares
36
Sistema indeterminado
Tem infinitas soluções.
Sistema determinado
Tem uma única solução.
Sistema impossível
Não tem solução.
Classificação de um sistema linear
37
Em uma festa junina, foram montadas três barracas, que vendiam produtos diferentes: 
cachorro-quente, minipastel e batata frita em porções. O resultado das vendas, ao final da festa, 
está representado na tabela a seguir. Qual o preço individual de cada quitute vendido na festa?
Barraca Cachorro- -quente Minipastel
Porção de 
batata frita
Valor 
arrecadado
Barraca 1 (B1) 28 42 48 R$ 408,00
Barraca 2 (B2) 23 50 45 R$ 380,00
Barraca 3 (B3) 30 45 60 R$ 468,00
Sejam: x o preço de um cachorro-quente; 
 y o preço de um minipastel; 
 z o preço de uma porção de batata frita.
Com os dados do problema, obtém-se o sistema:
Matriz dos coeficientes Matriz dos termos independentes
Representação matricial
Regra de Cramer
38
Cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e de Dx, Dy e Dz.
Cálculo de x, y e z 
Preço individual
Cachorro-quente: R$ 6,00
Minipastel: R$ 1,60
Porção de batata frita: R$ 3,60
39
O gráfico de uma função quadrática passa pelos pontos (1, 4), (2, 5) e (3, 10).
Qual é a lei de formação dessa função?
Vamos escrever a função como f(x) = ax2 + bx + c.
Assim:
Escalonamento de sistemas lineares
40
Matriz ampliada
Multiplicamos L1 por –4 e somamos com L2. 
Multiplicamos L1 por –9 e somamos com L3.
Multiplicamos L2 por –3 e somamos com L3.
Retornamos a um sistema equivalente ao primeiro.
Assim:
Portanto, a função quadrática é dada por f(x) = 2x2 – 5x + 7. 
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Orientações metodológicas
1 Professor, comente que os sinais do seno, do cosseno e da tangente podem ser obtidos de acordo com o quadrante em que a extremidade de um 
arco se encontra.
2 Professor, explore com os alunos outros exemplos de aplicação de funções trigonométricas.
3 Professor, comente com os alunos que, ao alterar a constante c, diferentemente dos dois casos anteriores, há a mudança no período das 
funções. Para a função f, podemos notar que o período é π. Para a função g, o período é 4π.
4 Use este slide para trabalhar as características da função tangente, tais como o conjunto-domínio e o conjunto-imagem. Aproveite para 
questionar os alunos sobre o período da função e como verificar se a função tangente é par ou ímpar.
5 Use este slide para estudar a adição e a subtração de dois arcos. Esperamos que os alunos observem que a igualdade apresentada é falsa. 
É importante comentar que, mesmo que existam valores particulares que tornem verdadeira uma igualdade, ela só se caracteriza como uma 
propriedade quando for verdadeira para todos os possíveis casos. Aproveite para revisar as fórmulas de adição e subtração dos arcos após 
estudar em sala a demonstração de cada uma. Aproveite para mostrar aos alunos que as fórmulas do seno diferem entre si apenas pelo sinal. 
O mesmo acontece com as fórmulas do cosseno e da tangente.
6 Aproveite este slide para desenvolver com os alunos as fórmulas que fornecem as razões trigonométricas do seno, do cosseno e da tangente do 
dobro de um arco.
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