exercícios-para-primeiro-ano-adm-2

Prévia do material em texto

1) Em uma região litorânea estão sendo construídos edifícios residenciais. Um biólogo prevê 
que a quantidade de pássaros de uma certa espécie irá diminuir segundo a lei 
𝑛(𝑡) = 𝑛(0) ∙ 4−
𝑡
3 
em que 𝑛(0) é a quantidade estimada de pássaros antes do início das construções e 𝑛(𝑡) é a 
quantidade de pássaros existentes t anos depois. 
Qual o tempo necessário para que a população de pássaros dessa espécie se reduza à metade 
da população existente no início das construções? 
Resolução: 
Devemos determinar t para o qual 𝑛(𝑡) =
𝑛(0)
2
, então: 
𝑛(0)
2
= 𝑛(0) ∙ 4−
𝑡
3 
1
2
= 4−
𝑡
3 
2−1 = 2−
2𝑡
3 
−1 = −
2𝑡
3
 
2𝑡 = 3 
𝑡 = 
3
2
 
Resposta: 1,5 anos 
 
 
 
2) Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 
100𝑥−1
10𝑥+1
= 9 
Resolução 
100𝑥 − 1
10𝑥 + 1
= 9 
(10𝑥)2 − 1
10𝑥 + 1
= 9 
Fazendo 10𝑥 = 𝑀, temos 
𝑀2 − 1
𝑀 + 1
= 9 
𝑀2 − 1 = 9𝑀 + 9 
𝑀2 − 9𝑀 − 10 = 0 
𝑀1 = −1 (não serve) 𝑀2 = 10 
Como 10𝑥 = 𝑀, então 
10𝑥 = 10 → 𝑥 = 1 
S={1} 
 
 
b) 25𝑥 − 23 ∙ 5𝑥 = 50 
Resolução 
25𝑥 − 23 ∙ 5𝑥 = 50 
(5𝑥)2 − 23 ∙ 5𝑥 = 50 
Fazendo 5𝑥 = 𝑀, temos 
𝑀2 − 23𝑀 = 50 
𝑀2 − 23𝑀 − 50 = 0 
𝑀1 = −2 (não serve) 𝑀2 = 25 
Como 5𝑥 = 𝑀, então 
5𝑥 = 25 → 𝑥 = 2 
S={2} 
 
 
c) 49𝑥 − 42 = 7𝑥 
Resolução: 
49𝑥 − 42 = 7𝑥 
(7𝑥)2 − 7𝑥 − 42 = 0 
Fazendo 7𝑥 = 𝑀, temos: 
𝑀2 − 𝑀 − 42 = 0 
𝑀1 = 7 𝑀2 = −6 (Não serve) 
𝐶𝑜𝑚𝑜 7𝑥 = 𝑀, então: 
7𝑥 = 7 → 𝑥 = 1 
S={1} 
 
 
 
3) Dada a função 𝑓(𝑥) = 10𝑥, verifique a validade de cada uma das assertivas abaixo: 
i) 𝑓(2𝑎) = 2 ∙ 𝑓(𝑎) 
Resolução: vamos verificar se 102𝑎 = 2 ∙ 10𝑎. 
Dividindo os dois lados da igualdade por 10𝑎: 
102𝑎
10𝑎
=
2∙10𝑎
10𝑎
 → 10𝑎 = 2 → 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔102, assim, 
esta assertiva é verdadeira apenas para 𝑎 = log 2. Para outros valores de a, a assertiva é 
FALSA. 
 
ii) 𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 
Resolução: vamos verificar se 10𝑎+𝑏 = 10𝑎 + 10𝑏. 
Pelas propriedades da potenciação, sabemos que 10𝑎 ∙ 10𝑏 = 10𝑎+𝑏 (num produto de 
potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes), logo a assertiva é 
FALSA pois não necessariamente 10𝑎 + 10𝑏 = 10𝑎 ∙ 10𝑏 
iii) 𝑓(𝑎) = 𝑓(−𝑎) 
Resolução: vamos verificar se 10𝑎 = 10−𝑎. 
Sabemos que 10−𝑎 =
1
10𝑎
. Como 10𝑎 não é necessariamente igual a 
1
10𝑎
 (isso só acontece se 
a=0), então a assertiva é FALSA. 
 
3) Qual a metade de 2100? 
Resolução: 
2100
2
= 2100−1 = 299 
Resposta: 299 
 
4) Quanto vale 1% de 1020? 
Resolução: 
1% de 1020 = 
1
100
∙ 1020 =
1020
102
= 1020−2 = 1018 
Resposta: 1018. 
 
 
5) O que é maior: (
1
2
)
1
3
 ou (
1
2
)
1
𝜋
? 
Resolução: A função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é decrescente para 0 < 𝑎 < 1. Neste caso, para determinar 
qual é a maior potência, temos que encontrar o menor expoente responde a seguinte questão: 
quem é menor, 
1
3
 ou 
1
𝜋
? Neste caso, como temos duas frações com numeradores iguais, a 
menor é a que apresenta maior denominador. Como 3 < 𝜋, então 
1
3
>
1
𝜋
 e, 
consequentemente, (
1
2
)
1
3
< (
1
2
)
1
𝜋
. 
Resposta: (
1
2
)
1
𝜋
. 
 
6) Quanto vale o logaritmo de 4 na base 
1
8
? 
Resolução: 
𝑙𝑜𝑔1
8
4 = 𝑥 → (
1
8
)
𝑥
= 4 → 2−3𝑥 = 22 
−3𝑥 = 2 → 𝑥 = −
2
3
 
Resposta: 𝑙𝑜𝑔1
8
4 = −
2
3
 
 
7) Determine o valor de x em cada caso: 
a) 𝑙𝑜𝑔4𝑥=𝑙𝑜𝑔47 → 𝑥 = 7 (Observação direta) 
b) 𝑙𝑜𝑔3𝑥=4 → 3
4 = 𝑥 → 𝑥 = 81 
c) 𝑙𝑜𝑔𝑥0,25=-1 → 𝑥
−1 =
1
4
→ 𝑥−1 = 4−1 → 𝑥 = 4 
d) x=𝑙𝑜𝑔8(𝑙𝑜𝑔39) = 𝑙𝑜𝑔82 =
1
3
 (Se você não entendeu, faça, primeiro, 𝑙𝑜𝑔39 e depois, faça 
𝑙𝑜𝑔82 = 𝑥, aplique a definição de logaritmo e encontrará x) 
 
8) Considerando as aproximações log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, calcule o valor de: 
a) log (24 ∙ 35) 
b) log √90
5
 
c) log 0,05 
d) log 3,6 
e) log 2000 
f) 𝑙𝑜𝑔32 + 𝑙𝑜𝑔16