Questão resolvida - Encontre a tangente à cicloide xr( sen ), y r(1 cos) no ponto onde p_3 - Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5 Edição - James Stewart - Equações Paramétricas - Cálculo I

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• Encontre a tangente à cicloide , no ponto onde x = r θ – senθ( ) y = r 1 - cosθ( )
.θ =
𝜋
3
(Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.2 - Exemplo. 2)
 
Resolução:
 
A equação geral da reta tangente é;
 
y - y = f' x x - x0 ( 0)( 0)
 
Primeiro, devemos encontrar a derivada que, por a curva está parametrizada, é dada por;
dy
dx
 
=
dy
dx
dy
dt
dx
dt
 
Vamos, então, derivar e achar as componentes e ;
dy
dθ
dx
dθ
 
x = r θ – senθ x = rθ - rsenθ = r - rcosθ( ) → →
dx
dθ
 
y = r 1 - cosθ y = r - rcosθ = - -rsenθ = rsenθ( ) → →
dy
dθ
( ) →
dy
dθ
 
Substituindo os resultados de 3 e 4 em 2, temos que;
 
 
 
= =
dy
dx
rsenθ
r - rcosθ
rsenθ
r 1 - cosθ( )
(1)
(2)
(3)
(4)
=
dy
dx
senθ
1 - cosθ
 
Em , a equação 5 fica;θ =
𝜋
3
 
=
dy
dx
sen
1 - cos
𝜋
3
𝜋
3
 
Consultando a tabela dos ângulos notáveis;
Relação 
trigonométrica/ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Então;
=
dy
dx 1 -
2
3
1
2
 
 
(5)
Rearrumando os termos;
 
 
=
dy
dx
3
 
Em 6, temos o coeficiente angular da reta tangente ao cicloide, assim, substituindo na 
equação 1, temos que a "cara" da reta tangente é;
 
y - y = x - x0 3( 0)
 
Vamos substituir nas equações do cicloide que fornecem os valores de e , para θ =
𝜋
3
x y
acharmos e ;y0 x0
 
y = r 1 - cos y = r 1 - y = r y = r ⋅0
𝜋
3 ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪ de ângulos notáveis
0
1
2
→ 0
2 - 1
2
→ 0
1
2
→
 
y =0
r
2
 
x = r – sen x = r – 0
𝜋
3
𝜋
3 ⏫⏪⏪⏪⏪⏪⏪ de ângulos notáveis
0
𝜋
3 2
3
 
 
Substituindo os resultados obtidos em 8 e 9 em 7, temos que a reta tangente ao cicloide é;
 
y - = x - r – y - = x - r – -r
r
2
3
𝜋
3 2
3
→
r
2
3
𝜋
3
( )
2
3
 
y - = x - + y - = x - +
r
2
3
𝜋r
3
r
2
3
→
r
2
3
𝜋r
3
3 ⋅ r
2
3 3
 
 
= = = ⋅
dy
dx
2
3
2-1
2
2
3
1
2
2
3 2
1
consultando a tabela
consultando a tabela
(6)
(7)
(8)
(9)
 
x - y = r - 23
𝜋
3
3
 
 
y - = x - + y - = x - + y - x = - +
r
2
3
𝜋r
3
3 r
2
3
2
→
r
2
3
𝜋r
3
3 3r
2
→ 3
r
2
𝜋r
3
3 3r
2
y - x = - y - x = - y - x = 2r - × -13
r + 3r
2
𝜋r
3
3
→ 3
4r
2
𝜋r
3
3
→ 3
𝜋r
3
3
(
2
(Resposta)