Questão resolvida - Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar rcos(_3) para o valor de - Cálculo II - Universidade Federal Rural da Amazônia

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• Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar para o valor de r = cos
𝜃
3
.𝜃 = 𝜋
Resolução:
 
Para conhecer a inclinação da reta tangente, fazemos a derivada da função e substituimos 
um ponto onde se deseja conhecer a inclinação da curva. Quando a curva está coordenadas 
polares, a derivada é dada por;
 
=
dy
dx
rcos 𝜃 + sen 𝜃
-rsen 𝜃 + cos 𝜃
( ) ( )
dr
d𝜃
( ) ( )
dr
d𝜃
 
Vamos, então, encontrar a derivada da função dada para achar a derivada de em funçãode r
, aplicando a regra de derivada de função composta;𝜃
 
= - sen ⋅ = -
dr
d𝜃
𝜃
3
1
3
sen
3
𝜃
3
 
Substituindo 2 em 1, temos que;
 
=
dy
dx
rcos 𝜃 + sen 𝜃 -
-rsen 𝜃 + cos 𝜃 -
( ) ( )
sen
3
𝜃
3
( ) ( )
sen
3
𝜃
3
 
 
(1)
(2)
Agora, encontramos o valor de para ;𝜃 = 𝜋
 
r = cos
𝜋
3
Consultando a tabela de ânglos notáveis;
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
 
r = cos =
𝜋
3
1
2
 
Substituindo a coordenada onde se deseja conhecer a reta tangente e o 𝜃 = 𝜋 r
encontrado, temos que;
 
=
dy
dx
cos 𝜋 + sen 𝜋 -
- sen 𝜋 + cos 𝜋 -
1
2
( ) ( )
sen
3
𝜋
3
1
2
( ) ( )
sen
3
𝜋
3
 
 
(3)
Sabemos que;
 
cos 𝜋 = - 1 e sen 𝜋 = 0( ) ( )
 
E consultando a tabela de ângulos elementares, a expressão 3 fica;
 
= -
dy
dx
3
 
 
= = = =
dy
dx
-1 + 0 ⋅ -
- ⋅ 0 + -1 -
1
2
( )
3
2
3
1
2
( )
3
2
3
- + 0
0 +
1
2
3
2
3
-
1
2
2⋅3
3
-
1
2
6
3
= - ⋅ = - ⋅ = - = -
1
2
6
3
3
3
3
3
3 3
3
2
3
3
3
0
0
3
(Resposta )