Robótica - Transformação de coordenadas_Final

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Robótica
Agradecimento ao prof. M. Klug e Thaís Kempner
1
Cinemática
• Direta:
• Espaço das juntas
– q=[q1 q2 ... qn]’
• Espaço operacional
– x=[px py pz α θ γ]
2
Cinemática
• Inversa:
• Espaço operacional
– x=[px py pz α θ γ]
• Espaço das juntas
– q=[q1 q2 ... qn]’
3
Cinemática
• Trajetórias
• ponto-a-ponto 
Contínuas
- path motion
4
ASSUNTOS A SEREM VISTOS
• Transformações Geométricas e Coordenadas 
Homogêneas
– Notações Introdutórias
• Vetores, matrizes, pontos e referenciais
– Transformações Geométricas Elementares
– Coordenadas Homogêneas
– Matrizes de Transformação a 3 dimensões
– Orientação e Ângulos de Euler (RPY)
5
Ponto e Vetor
• Representado por um vetor coluna
• Vetor associado a um conceito de movimento 
ou deslocamento em dada direção e sentido
6
Operações
• Produto de um escalar por uma matriz
• Inversão de uma matriz
• Produto Interno (escalar) de vetores
7
Operações
• Produto Externo de vetores (produto vetorial)
onde é a base ortonormal do sistema de coordenadas
Obs: anti‐comutatividade
8
Referenciais
• Qualquer ponto no espaço pode ser visto de diferentes 
formas consoante o referencial utilizado
– Sejam os referenciais R e N, tem‐se:
Relação: posição e orientação entre 
os dois referenciais, ou seja, da forma 
como se obtém um a partir do outro
9
Representação
• Um vetor posição v=xi+yj+zk pode ser representado no espaço 
tridimensional pela seguinte matriz coluna
• Por exemplo, qualquer das matrizes pode ser utilizada para representar 
o vetor v=25i+10j+20k
25
10
20
1
ou 
50
20
40
2
ou 
12,5
5,0
10,0
0,5
10
Representação
• Um vetor posição v=xi+yj+zk pode ser representado no espaço 
tridimensional pela seguinte matriz coluna
• Por exemplo, qualquer das matrizes pode ser utilizada para representar 
o vetor v=25i+10j+20k
25
10
20
1
ou 
50
20
40
2
ou 
12,5
5,0
10,0
0,5
11
Transformação de translação
A transformação para realizar uma translação de 
um vetor no espaço numa distância qx na direção 
x, qy na direção y e qz na direção z é dada por:
12
Exemplo
• Para o vetor y=25i + 10j +20k realizar uma 
translação numa distância 8 na direção x, 5 na 
direção y e 0 na direção z.
13
Exemplo
• Para o vetor y=25i + 10j +20k realizar uma 
translação numa distância 8 na direção x, 5 na 
direção y e 0 na direção z.
14
Exemplo
• Para o vetor y=25i + 10j +20k realizar uma 
translação numa distância 8 na direção x, 5 na 
direção y e 0 na direção z.
• O vetor de translação seria
15
Mudando posição de um Frame para outro
• O Vetor 𝐴𝑃2 pode ser obtido a partir da 
multiplicação da matriz de transformação de 
translação pelo vetor de posição 𝐴𝑃1
16
Movimentação de Pontos
• Movimento de q1 para q2 (do mesmo referencial) – translação
• Para um segmento de reta
17
Movimentação Complexa
• Translação de figuras mais complexas implica em recalcular 
todas as novas posições de todos os pontos relevantes.
– Alternativa: definição de um segundo referencial solidário com o 
objeto a mover
18
Transformações Geométricas Elementares
Translação e Rotação:
No espaço: 3 translações e 3 rotações elementares: Trans(x,a), 
Trans(y,a), Trans(z,a), Rot(x,α), Rot(y,α) e Rot(z,α)
19
Transformações Genéricas
• Notação Genérica:
• p/ Translação: “T=I”
• p/ Rotação
T p
20
• Exemplo: Rotação de 90 graus
Transformações Genéricas
Determine as novas coordenadas 
A, B e C após a rotação.
21
• Forma aumentada de definir as coordenadas de um vetor:
• Matriz de transformação homogênea:
Coordenadas Homogêneas
22
• Uma sucessão de transformações traduz‐se na multiplicação 
das diversas transformações
• IMPORTANTE!!! A ordem das multiplicações (operação das 
transformações) não é necessariamente comutativa (apenas 
para os casos de translações e rotações puras)
Transformações Compostas
23
Significados da matriz de Transformação:
1) movimentação de ponto:
2) relação de coordenadas em dois referenciais
3) transformação de referenciais
Transformações a 3 dimensões
24
Transformadas Homogêneas
25
26
27
28
29
30
• Rotações:
Transformações a 3 dimensões
Rotação em z é a 
mais utilizada.
31
Exemplo
Girar o vetor v=5i+3j+8k em um ângulo de 90 
graus em torno do eixo x.
32
Exemplo - Resolução
• Girar o vetor v=5i+3j+8k em um ângulo de 90 
graus em torno do eixo x.
33
Operação sobre vetor
• A Figura abaixo mostra o vetor . Desejamos girá-lo em 
30° sobre o eixo Z e deslocar 10 unidades em x e 5 unidades em y. 
Encontre 𝐴𝑃2
34
• Sejam T1=Rot(45) e T2=Trans(x,a) usadas para criar novos referenciais
• OBS: nestes casos as transformações foram realizadas em relação ao 
referencial original xy
Pós e Pré Multiplicação
35
• Alternativa: aplicar as transformações em relação a cada
referencial recém‐criado. Ex: aplicar a rotação e depois a
translação ao longo do referencial resultante da rotação
• Conclusão:
– Pré: equivale a aplicar a transformação no referencial global
– Pós: equivale a aplicar a transformação no novo referencial
Pós e Pré Multiplicação
Coincide com o segundo 
caso anterior.
36
Exemplo
• Um frame {B} se encontra rotacionado com relação a um frame {A} 
por 30 ° (sobre o eixo z) e transladado de 10 unidades no eixo X e 5 
unidades no eixo y. Dado que um ponto se encontra na posição (3,7) 
no frame {B}, onde ele se encontra no frame {A}?
37
Exemplo
• Um frame {B} se encontra rotacionado com relação a um frame {A} 
por 30 ° (sobre o eixo z) e transladado de 10 unidades no eixo X e 5 
unidades no eixo y. Dado que um ponto se encontra na posição (3,7) 
no frame {B}, onde ele se encontra no frame {A}?
38
• Exercício: Determinar o novo referencial depois de
translacionar o original de uma unidade em cada eixo, depois
rotacioná-lo 90 graus em torno do novo eixo dos yy,
translacionar 1 unidade no novo eixo dos xx, e depois
translacionar 1 unidade negativa no eixo do zz da referência
original.
T=????
Transformações a 3 dimensões
39
• Solução:
Obs: Passo 4 – pré‐multiplicação (referencial global), Passos 2 e 3
– pós‐multiplicação (novo referencial)
Transformações a 3 dimensões
40
Exercício
• Um vetor 𝐴𝑃 é rotacionado 𝜃 graus em torno 
de Z e é na sequência rotacionado 𝜙 graus em 
torno de X. Apresente a matriz rotacional que 
realiza essas rotações na ordem dada. 
41
Exercício - Resposta
Um vetor 𝐴𝑃 é rotacionado 𝜃 graus em torno de Z e é na sequência 
rotacionado 𝜙 graus em torno de X. Apresente a matriz rotacional que realiza 
essas rotações na ordem dada. 
– Pré: equivale a aplicar a segunda transformação no referencial global
– Pós: equivale a aplicar a segunda no novo referencial
42
Exercício
• Um vetor 𝐴𝑃 é rotacionado 30° em torno de 
෠𝑌𝐴 e em seguida e rotacionado 45° em torno de 
෠𝑋𝐴. Dê a matriz rotacional que realiza essas 
rotações na ordem dada.
43
Exercício - Resolução
• Um vetor 𝐴𝑃 é rotacionado 30° em torno de ෠𝑌𝐴 e em seguida e 
rotacionado 45° em torno de ෠𝑋𝐴. Dê a matriz rotacional que realiza essas 
rotações na ordem dada.
– Pré: equivale a aplicar a transformação no referencial global
– Pós: equivale a aplicar a transformação no novo referencial
44
Exemplo robô planar
• Suponha a condição inicial de um manipulador planar completamente 
esticado, que realiza rotações em torno do eixo z. O comprimento do 
elo 1 é de 200 mm e do elo 2 é de 300 mm, conforme figura. Para essas 
condições determine a posição do efetuador.
45
Exemplo robô planar
• Na sequência, temos um avanço do conjunto de elos no sentido anti-
horário em 35°. Determine a posição do efetuador
Rotação no eixo z
46
Exemplo robô planar
• Suponha que o manipulador retorne para a posição inicial e que 
ocorra o avanço apenas do elo 2 no sentido anti-horário em 60°. 
Neste caso, qual seria a posição do efetuador?
47
Exemplo robô planar
• Suponha que o manipulador retorne para a posição inicial e que 
ocorra o avanço apenas do elo 2 nosentido anti-horário em 60°. 
Neste caso, qual seria a posição do efetuador?
A matriz de transformação homogênea só pode 
ser aplicada quando os elos giram em conjunto.
48
Transformações compostas
49
Transformações compostas
50
Exemplo
• Como relacionar o frame {U} e {D}
51
Como escrever 𝐶
𝑈𝑇?
52
Como inverter a transformada de um Frame 
para outro?
𝐵
𝐴𝑇 Descreve a relação entre frame {B} e o frame {A}
𝐴
𝐵𝑇 = 𝐵
𝐴𝑇−1
Exercício: A figura abaixo mostra um frame {B} que gira 30° sobre o eixo Z em 
relação ao frame {A} e se desloca 4 unidades no eixo X e 3 no eixo y. Encontre 𝐴
𝐵𝑇
53
Como inverter a transformada de um Frame 
para outro?
Exercício: A figura abaixo mostra um frame {B} que gira 30° sobre o eixo Z em 
relação ao frame {A} e se desloca 4 unidades no eixo X e 3 no eixo y. Encontre 𝐴
𝐵𝑇
54
Assuntos
• CINEMÁTICA DIRETA DE MANIPULADORES SERIAIS
– Espaços das juntas e espaço cartesiano
• O algoritmo da cinemática direta
– Os 4 parâmetros de elos e juntas
• Denavit-Hartenberg
– Transformação associada a um elo
55
Denavit-Hartenberg
• Qualquer transformação geométrica pode ser decomposta nas quatro 
operações elementares:
TRANSFORMAÇÃO 
PADRÃO
56
Parâmetros de junta
• 𝑑𝑖: distância ao longo do eixo da junta i entre as 
interseções das perpendiculares mútuas com os 
eixos dos elos i-1 e i
- Variável para junta prismática
• Ângulo de junta 𝜃𝑖: ângulo entre as 
perpendiculares mútuas incidentes no eixo da 
junta i.
- Variável para juntas rotacionais
57
Parâmetros de elo
Um elo é especificado por dois parâmetros que 
definem a posição relativa e orientação dos eixos da 
junta incidente elo
• a: comprimento do elo (link length)
• 𝛼 : A torção do elo (link twist)
58
• OBS: os elos de um manipulador são numerados a partir da base e o
primeiro elo (móvel) é o elo número 1 que se segue à primeira junta, ou
junta número 1. A base fixa é designada de elo 0. Sistema de coordenadas
0 (zero) será aquele a partir do qual se faz toda a transformação
geométrica do manipulador (mais de uma possibilidade de o fazer)
Denavit-Hartenberg
PUMA
A junta i é definida pelo vetor no 
espaço sobre o qual o elo i rotaciona 
(ou translada) em relação ao elo i-1
59
Elos são numerados de 0 a n
Juntas são numeradas conforme o GL. De 1 ao GLTotal do manipulador 60
Denavit-Hartenberg
• Exemplos:
61
Denavit-Hartenberg
• Exemplos:
62
Intuito do estudo
• Obter o posicionamento final do efetuador apenas 
com 4 parâmetros por juntas.
• Descrição de uma sequência articulada de juntas.
• Os parâmetros de DH possibilitam a obtenção da 
posição relativa de uma junta em relação à 
adjacente.
63
Intuito do estudo
• A relação entre dois eixos é ditada por 6 
parâmetros:
• 3 rotações
• 3 translações
Na simplificação proveniente da notação de DH 
temos como restrição:
- O eixo 𝑥𝑖 deve interseccionar 𝑧𝑖−1
- O eixo 𝑥𝑖 deve ser perpendicular ao eixo 𝑧𝑖−1
64
Intuito do estudo
Os 4 parâmetros são:
𝜃: Ângulo de articulação medido sobre o eixo Z
𝑑: 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑍
𝛼: â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑟çã𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑋
𝑎: 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑋
65
Notação de Denavit-Hartenberg
O método pode ser simplificado em 3 etapas:
1– Fixar um sistema de coordenadas local em cada 
elemento (numerando-os).
2-Utilizar cada sistema de coordenadas local para 
definir os parâmetros de cada elemento (𝜃, 𝑑, 𝑎, 𝛼)
3- Substituir os parâmetros na matriz homogênea 
genérica para se obter a matriz específica de cada 
elemento.
66
Notação de Denavit-Hartenberg
1– Fixar um sistema de coordenadas local em 
cada elemento (numerando-os).
• Cada elo deve ser fixado em um sistema de 
referência (frame)
• A convenção para anexar sistemas de 
referência aos elos é dada pela notação D-H.
• Frames são numerados de acordo com o elo ao 
qual está ligado.
• Frame {i} está ligado ao elo i
67
Notação de Denavit-Hartenberg
1– Fixar um sistema de coordenadas local em 
cada elemento (numerando-os).
O eixo da junta fará parte do sistema de 
coordenadas associada ao elo (convencionando o 
eixo Z conforme ao tipo de junta). 
68
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA
• 3 GdL para posicionamento (rotacionais)
• 1 GdL para orientação da garra.
69
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA
• Na representação matemática devem ser consideradas 
as características físicas do robô, tais como:
70
Notação de Denavit-Hartenberg
Sistema de coordenadas local em cada elemento.
• Fixar o sistema de eixos de coordenadas 0 da base ao 
longo do eixo 𝑍0.
• Para os demais sistemas de coordenadas, considere:
– Coloque o ponto de intersecção entre 𝑍𝑖 da junta e 𝑍𝑖−1 da junta 
anterior, se houver
– Se 𝑍𝑖 e 𝑍𝑖−1 forem paralelos, então a origem (i-1) fica na junta i.
71
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA – Definindo 
Frames e Vínculos
• Passo 1: Localizar os eixos das articulações, ou seja, os 
eixos 𝑧0, 𝑧1, até 𝑧𝑛−1 de forma que o eixo da articulação i seja o 
eixo 𝑧𝑖−1
O sentido do eixo z é definido pela 
regra da mão direita, observando-se 
o sentido de rotação da junta.
𝑧0
𝑧1
𝑧2
𝑧3
72
Notação de Denavit-Hartenberg
Definindo Frames e Vínculos
• Passo 2: Estabelecer o sistema de coordenadas da base. A origem pode ser 
escolhida em qualquer lugar do eixo 𝑧0. Os eixos 𝑥0 e 𝑦0 podem ser 
escolhidos arbitrariamente, desde que satisfaçam a regra da mão 
direita.
Considerar o eixo 𝑥0 perpendicular
ao eixo 𝑧0.
Devido à possibilidade de várias
posições para o eixo 𝑥0 , é prática
comum se escolher 𝑥0 tal que di=0.
Assim, escolhemos o eixo 𝑥1 paralelo
ao elo 1.
O eixo 𝑦0 é definido pela regra do tapa
(mão direita);
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
73
𝑥0
𝑦0
Regra da mão direita (definindo ângulos)
• Ao efetuar a rotação do eixos 𝑧0 para alinhá-lo com o 
eixo 𝑧1. Se a rotação for horária, o ângulo é 
negativo. 
74
Se polegar apontado para BAIXO ou para ESQUERDA, o 
ângulo de rotação é NEGATIVO
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA - Definindo os frames aos vínculos
Passo 3: Localizar a origem do sistema i, ponto 𝑂𝑖, onde a normal comum entre 
os eixos 𝑧𝑖 e 𝑧𝑖−1 intercepta o eixo 𝑧𝑖. 
• Se o eixo 𝑧𝑖intercepta o eixo 𝑧𝑖−1, localizar o ponto 𝑂𝑖 na interseção. 
• Se o eixo 𝑧𝑖 e 𝑧𝑖−1forem paralelos, localizar o ponto 𝑂𝑖 na articulação i.
• No caso ao lado, como 𝑧1 e 𝑧0 são paralelos, a
origem do frame 1 deverá se localizar na
articulação da junta 2.
75
• Como o eixo 𝑧3 e 𝑧2 estão na mesma
posição, se 𝑥3 for perpendicular a 𝑧3
também o será a 𝑧2.
• Como o eixo 𝑧2 e 𝑧1 são paralelos, a origem
do frame 2 deve ser localizada na
articulação da junta 3
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA - Definindo os frames aos vínculos
Passo 3: Localizar a origem do sistema i, ponto 𝑂𝑖, onde a normal comum entre 
os eixos 𝑧𝑖 e 𝑧𝑖−1 intercepta o eixo 𝑧𝑖. 
• Se o eixo 𝑧𝑖intercepta o eixo 𝑧𝑖−1, localizar o ponto 𝑂𝑖 na interseção. 
• Se o eixo 𝑧𝑖 e 𝑧𝑖−1forem paralelos, localizar o ponto 𝑂𝑖 na articulação i.
Passo 4: Estabelecer o eixo 𝑥𝑖 ao longo da 
normal comum entre os eixos 𝑧𝑖 e 𝑧𝑖−1 a 
partir do ponto 𝑂𝑖. O sentido de 𝑥𝑖 é na 
direção do eixo 𝑧𝑖−1 para o eixo 𝑧𝑖.
• Se 𝑧𝑖 e 𝑧𝑖−1 se cruzam, então 𝑥𝑖 é 
normal a ambos, com qualquer 
direção.
76
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA - Definindo os frames aos vínculos
Passo 5: Definir o eixo 𝑦𝑖 pela regra da mão direita. 
Por fim, repetir os passos 3 a 5 para i=1,...n-1
O eixo 𝑦𝑛 é definido pela regra da mão 
direita. 
77
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3
Notação de Denavit-Hartenberg
Modelagem de um robô SCARA - Definindo os frames aos vínculos
Passo 6: Estabelecero sistema de coordenadas do efetuador, sistema 
𝑂𝑛 − 𝑥𝑛, 𝑦𝑛, 𝑧𝑛. A origem do órgão terminal pode ser aleatória mas 
recomenda-se seu posicionamento no centro da garra/efetuador, 
lembrando que 𝑥𝑛 deve ser perpendicular a 𝑧𝑛−1.
Podemos, então, escolher o eixo 𝑧4
paralelo e coincidente a 𝑧3. Isso facilitará
no cálculo da matriz de transformação
homogênea.
78
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3
𝑥4
𝑦4
𝑧4
Para facilitar a análise, copiaremos a
orientação do último frame ao efetuador.
Notação de Denavit-Hartenberg
O método pode ser simplificado em 3 etapas:
1– Fixar um sistema de coordenadas local em cada 
elemento (numerando-os).
2-Utilizar cada sistema de coordenadas local para 
definir os parâmetros de cada elemento (𝜃, 𝑑, 𝑎, 𝛼)
3- Substituir os parâmetros na matriz homogênea 
genérica para se obter a matriz específica de cada 
elemento.
79
Notação de Denavit-Hartenberg
Definição dos parâmetros de cada elemento
Passo 7: Criar uma tabela com os parâmetros D-H referente a cada um dos 
ligamentos ou articulações. 
𝜃𝑖= rotacionar o eixo 𝑥𝑖−1 em torno de 𝑧𝑖−1 até ficar paralelo ao eixo 𝑥𝑖
𝑑𝑖= transladar o frame i-1 ao longo de 𝑧𝑖−1 até a interseção entre 𝑧𝑖−1 e 𝑥𝑖
𝑎𝑖= transladar o frame i ao longo de 𝑥𝑖 até a interseção entre 𝑧𝑖−1 e 𝑥𝑖
𝛼𝑖= rotacionar o eixo 𝑧𝑖−1 em torno de 𝑥𝑖 até ficar paralelo ao eixo 𝑧𝑖
80
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3
Definição dos parâmetros de cada elemento
Passo 7: Criar uma tabela com os parâmetros D-H referente a cada um dos 
ligamentos ou articulações. 
𝜃𝑖= rotacionar o eixo 𝑥𝑖−1 em torno de 𝑧𝑖−1 até ficar paralelo ao eixo 𝑥𝑖
𝑑𝑖= transladar o frame i-1 ao longo de 𝑧𝑖−1 até a interseção entre 𝑧𝑖−1 e 𝑥𝑖
𝑎𝑖= transladar o frame i ao longo de 𝑥𝑖 até a interseção entre 𝑧𝑖−1 e 𝑥𝑖
𝛼𝑖= rotacionar o eixo 𝑧𝑖−1 em torno de 𝑥𝑖 até ficar paralelo ao eixo 𝑧𝑖
Regras: Se a junta 
i for de rotação
𝑑𝑖 = 0
𝜃𝑖 = 𝑣𝑎𝑟
Regras: Se a junta 
i for de prismática
𝑑𝑖 = 𝑣𝑎𝑟
𝜃𝑖 = 0
81
𝒊 𝜽𝒊 𝒅𝒊 𝒂𝒊 𝜶𝒊
1
2
3
4
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3 𝜃1
∗ 0 L1 0
Definição dos parâmetros de cada elemento
Passo 7: Criar uma tabela com os parâmetros D-H referente a cada um dos 
ligamentos ou articulações. 
𝜃𝑖= rotacionar o eixo 𝑥𝑖−1 em torno de 𝑧𝑖−1 até ficar paralelo ao eixo 𝑥𝑖
𝑑𝑖= transladar o frame i-1 ao longo de 𝑧𝑖−1 até a interseção entre 𝑧𝑖−1 e 𝑥𝑖
𝑎𝑖= transladar o frame i ao longo de 𝑥𝑖 até a interseção entre 𝑧𝑖−1 e 𝑥𝑖
𝛼𝑖= rotacionar o eixo 𝑧𝑖−1 em torno de 𝑥𝑖 até ficar paralelo ao eixo 𝑧𝑖
Regras: Se a junta 
i for de rotação
𝑑𝑖 = 0
𝜃𝑖 = 𝑣𝑎𝑟
Regras: Se a junta 
i for de prismática
𝑑𝑖 = 𝑣𝑎𝑟
𝜃𝑖 = 0
82
𝒊 𝜽𝒊 𝒅𝒊 𝒂𝒊 𝜶𝒊
1
2
3
4
𝑧0 𝑧1
𝑧2
𝑧3
𝑥0
𝑦0
𝑥2
𝑥3
𝑦3 𝜃1
∗ 0 L1 0
𝜃2
∗ 0 𝐿2 180°
0 𝐶∗ 0 180°
𝑧4
𝑥4
𝑦4
Se efetuador rotacional...
𝜃4
∗ 𝐿𝑒 0 0
Notação de Denavit-Hartenberg
O método pode ser simplificado em 3 etapas:
1– Fixar um sistema de coordenadas local em cada 
elemento (numerando-os).
2-Utilizar cada sistema de coordenadas local para 
definir os parâmetros de cada elemento (𝜃, 𝑑, 𝑎, 𝛼)
3- Substituir os parâmetros na matriz homogênea 
genérica para se obter a matriz específica de cada 
elemento.
83
Notação de Denavit-Hartenberg
Passo 8: Montar as matrizes de transformação 
homogênea a partir dos parâmetros de DH e da 
expressão:
84
Notação de Denavit-Hartenberg
Passo 8: Montar as matrizes de transformação 
homogênea a partir dos parâmetros de DH e da 
expressão:
85
Notação de Denavit-Hartenberg
Passo 8: Montar as matrizes de transformação 
homogênea a partir dos parâmetros de DH e da 
expressão:
86
Notação de Denavit-Hartenberg
Passo 8: Montar as matrizes de transformação 
homogênea a partir dos parâmetros de DH e da 
expressão:
87
Notação de Denavit-Hartenberg
Passo 9: Obter a matriz de transformação 
homogênea 𝑇𝑛
0 que relaciona o efetuador em 
relação à base do sistema. 
88
Atividade
1)O que é o “DARPA CHALLEGE”: Descreva suas edições, principais objetivos e
principais resultados alcançados.
2)Em sua opinião, qual seria o próximo “BIG CHALLEGE” da robótica? Discorra
sobre os maiores desafios do seu ponto de vista, justificando o porquê de sua
escolha deste tema.
3) Compare os seguintes robôs em termos de suas características, evolução,
capacidades e aplicações: Goliath (WW2 – Alemanha), William Grey Walter –
“tortoise Elmer”, R2D2, Mars Rover: Soujourner (PathFinder) e Boss ( Chevy Tahoe
que venceu o DARPA Urban Challenge).
4) Proceder com a leitura do artigo Odometria: Comportamento Em Trajetória
Relitínea E Curvilínea E A Utilização Regressões Como Forma De Redução De
Erros
5) Explique como é feita a estimativa de posição de um robô móvel por
odometria.
6) O que é um sensor do tipo “bumper”? O que é um sensor do tipo “whiskers”?
Para que servem?
7) Porque um sistema de “malha aberta” é mais difícil de controlar?
89
Referências Bibliográficas
ROMANO, V. F. Robótica Industrial: aplicações na indústria de 
manufatura e de processos. Edgard Blucher, 2002.
CRAIG, John J. Introduction to Robotics- Mechanical and Control. 
Prentice Hall, New Jersey. 2005.
ADADE FILHO, A. Fundamentos de Robótica: Cinemática, Dinâmica e 
Controle de Manipuladores Robóticos. Apostila ITA-CTA. São José dos 
Campos. 1992
Notas de aula, Michael Klug, 2002.
Notas de aula, F. S. Osório, USP – ICMC - SSC
90