aula_06

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Definindo a função 
polinomial de segundo 
grau do tipo: 
f x = ax2 + bx + c, com a
≠ 0
1ª SÉRIE
Aula 6 – 3º Bimestre
Matemática
Etapa Ensino Médio
● Definição de função 
polinomial de segundo 
grau;
● Coeficientes da função 
polinomial de segundo 
grau;
● Concavidade.
● Explorar a ideia de função 
polinomial de segundo grau e 
suas propriedades.
Conteúdo Objetivo
Para começar
Grandeza proporcional ao quadrado de 
outra grandeza
Considere as funções:
( )
( )
( )
( )
= +
= +
=
= −
2
2
2
2
f x 3x 2;
g x 5x x;
h x 2x ;
m x 3x .
Se uma grandeza y é diretamente proporcional ao quadrado de uma 
grandeza x x ≠ 0 , então existe uma constante k, tal que 
y
x2
= k.
Em quais das funções uma variável é diretamente proporcional ao 
quadrado da outra?
Técnica: “Mostre-me”
Tempo: 5 minutos
Para começar Correção
Nas funções h(x) e m(x), pois:
ℎ 𝑥 = 2𝑥2
ℎ 𝑥
𝑥2
=
2𝑥2
𝑥2
= 2
𝑚 𝑥 = −3𝑥2
𝑚 𝑥
𝑥2
=
−3𝑥2
𝑥2
= −3
Foco no conteúdo
Função polinomial de segundo grau 
Definição:
( ) + + 

2
Uma aplicação de em recebe o nome de função polinomial 
de segundo grau ou função quadrática quando associa a cada
x o elemento ax bx c , em que a, b e c são
números reais dados e a 0.
( ) ( )= + + 2f x ax bx c a 0
Tempo: 15 minutos
ℝ ℝ
ℝ ℝ
Foco no conteúdo
Coeficientes da função polinomial de 
segundo grau
( ) ( )= + + 2f x ax bx c a 0
Os coeficientes a, b e c da função polinomial de segundo grau 
fornecem informações que nos auxiliam a verificar sua 
representação gráfica.
Foco no conteúdo
Coeficiente a ( ) ( )= + + 2f x ax bx c a 0
Observando o sinal do coeficiente a, podemos verificar se a
representação gráfica da parábola possui concavidade voltada para
cima ou para baixo.
a > 0 a < 0 
Foco no conteúdo
Coeficiente a
Observando o valor 
absoluto do coeficiente 
a, podemos verificar 
que, quanto menor for 
o valor absoluto do 
coeficiente a, maior 
será a abertura de sua 
representação gráfica.
Foco no conteúdo
Coeficiente b
O coeficiente b de uma função polinomial de segundo grau indica se a 
representação gráfica da função intersecta o eixo das ordenadas (y), 
no ramo crescente ou decrescente dessa representação gráfica. 
A parábola intersecta 
o eixo y no ramo 
crescente e b > 0.
A parábola intersecta 
o eixo y no ramo 
decrescente e b < 0.
A parábola intersecta 
o eixo y no vértice e 
b = 0.
Foco no conteúdo
O gráfico de uma função quadrática intersecta o eixo y: 
No ramo crescente se b > 0. No ramo decrescente se b < 0.
No vértice se b = 0.
Se uma função polinomial de segundo 
grau é crescente à direita de seu vértice, 
ela será decrescente à esquerda desse 
ponto, e vice-versa, dependendo da 
concavidade da parábola. 
Foco no conteúdo
Coeficiente c
O coeficiente c de uma função polinomial de segundo grau 
corresponde à ordenada do ponto em que sua representação gráfica 
intersecta o eixo das ordenadas, ou seja, no ponto (0, c). 
Na prática
Atividade 1
a. Em que condições a função polinomial de segundo grau 
f x = m2 − 9 x2 − m − 3 x − 1 está definida?
b. Determine uma função polinomial de segundo grau em que
f(0) = 1, f(−1) = −4 e f(1) = 2.
Técnica: “Todo mundo escreve”
Tempo: 15 minutos
Na prática
a. Em que condições a função polinomial de segundo grau 
f x = m2 − 9 x2 − m − 3 x − 1 está definida?
Correção
( )
( )
2
2
Uma função polinomial de segundo grau f x ax bx c é definida, 
quando associa o elemento ax bx c , em que a, b e c 
e a 0. 
= + +
+ +  

2 2
Então, temos que:
m 9 0 m 9 m 9 m 3 e m 3.−          −
ℝ ℝ
Na prática Correção
b. Determine uma função polinomial de segundo grau em que
f(0) = 1, f(−1) = −4 e f(1) = 2.
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
Eq. 1 + Eq. 2
f x ax bx c, com a 0.
f 0 1 a 0 b 0 c 1 c 1
f 1 4 a 1 b 1 c 4 a b c 4
f 1 2 a 1 b 1 c 2 a b c 2
Considerando o sistema de equações:
a b c 4 Eq. 1
 2a 2c 2 2 a c 1
a b c 2 Eq. 2
= + + 
=   +  + =  =
− = −   − +  − + = −  − + = −
=   +  + =  + + =
 − + = −
+ = −   + = −
+ + =

Na prática Correção
( )
( )
( )
c 1
a 2 e c = 1
2
a c 1 a 1 1 a 1 1 a 2
Substituindo os valores de a e c, na Eq. 2, temos:
a b c 2 2 b 1 2 1 b 2 b 2 1 b 3
a 2, b 3 e c 1
Então temos que:
f x 2x 3x 1
=
= −
+ = − + = −  = − −  = −
+ + = − + + =  − + =  = +  =
= − = =
= − + +


Na prática
Atividade 2
Determine a lei de 
formação das funções 
polinomiais de segundo 
grau g e h.
Na prática Correção
( )
( )
( )
( )
2
2
2
a 0
b 0 g x ax 2
c 2
O ponto 1,4 pertence à função, então, temos que:
g 1 4 a 1 2 4 a 2 4 a 4 2
a 2 
g x 2x 2
 

=  = +
= 
=   + =  + =  = − 
 =
 = +
Na prática Correção
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
b 0
h x ax bx 12
c 12
Os pontos 2, 2 e 4,0 pertencem à função, então:
h 2 2 a 2 b 2 12 2
4a 2b 12 2 2 2a b 6 1
h 4 0 a 4 b 4 12 0
16a 4b 12 0 4 4a b 3 0
 
 = − + −
= − 
−
= −  −  +  − = − 
 − + − = −   − + − = −
=  −  +  − = 
 − + − =   − + − =
Na prática Correção
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1 Eq.2
Considerando o sistema de equações:
2a b 6 1 Eq. 1 2a b 6 1 Eq. 1
 
4a b 3 0 Eq. 2 4a b 3 0 Eq. 2
Somando as duas equações, temos
2
2a 3 1 2a 1 3 2a 2 a 1
2
Substituindo o valor de a em uma d
−  − + − = − − + − = −
 
− + − = − + = 
− = −  = − +  =  = =
( ) ( )2 2
as equações:
4a b 3 0 4 1 b 3 0 4 b 3 0
7 b 0 b 7
a 1, b 7 
h X ax bx 12 h x 1 x 7x 12
− + − =  −  + − =  − + − = 
 − + =  =
= =
= − + −  = −  + −
Aplicando
Simulador de lançamentos oblíquos 
Agora que você já conhece 
todas as características dos 
coeficientes de uma função 
polinomial de segundo grau, 
utilize seus conhecimentos 
para lançar um projétil e 
atingir o alvo. Para acessar o 
simulador, clique sobre a 
figura a seguir.
Técnica: “Virem e conversem”
Tempo: 10 minutos
https://www.geogebra.org/m/denn4gfh
O que aprendemos hoje?
● Explorar a ideia de função polinomial de segundo 
grau e suas propriedades.
Tarefa SP
Localizador: 97321
1. Professor, para visualizar a tarefa da aula, acesse com 
seu login: tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br
2. Clique em “Atividades” e, em seguida, em “Modelos”.
3. Em “Buscar por”, selecione a opção “Localizador”.
4. Copie o localizador acima e cole no campo de busca.
5. Clique em “Procurar”.
Videotutorial: http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefas.cmsp.educacao.sp.gov.br/
http://tarefasp.educacao.sp.gov.br/
Referências
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática 
Elementar, V. 4, 8ª ed. São Paulo: Atual, 2013. 
LEMOV, Doug. Aula Nota 10 2.0: 62 técnicas para melhorar a 
gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2018.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo 
Paulista do Ensino Médio. São Paulo, 2019.
TEIXEIRA, Lilian Aparecida. Diálogo, Matemática e suas 
Tecnologias, Funções e Progressões, 1ª ed. São Paulo: 
Moderna, 2020. 
Referências
Lista de imagens e vídeos
Slides 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17 e 18 – Elaborados pelo autor.
Slide 20 – https://curt.link/6k1rPQ4
https://curt.link/6k1rPQ4
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