AP3_Física2A_Gabarito

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Questão 1: Considere um recipiente de volume V que contém um gás ideal monoatômico. O
recipiente é dividido ao meio por uma parede adiabática, que é removida repentinamente. O
gás, inicialmente a uma temperatura T1, se expande rapidamente e preenche todo o volume
V sob uma pressão constante P . Quando o gás atinge o equiĺıbrio térmico novamente, sua
temperatura é T2.
(a) (1,0) Calcule a variação de energia interna do gás durante a expansão.
(b) (1,5) Calcule a variação da entropia do gás durante a expansão.
Dado: A constante dos gases ideais R = 8,31 J/mol.K. Considere também que durante a rápida
expansão o gás permanece com temperatura constante, ou seja, a temperatura só muda após
o gás ocupar todo o volume. Nesta questão, você pode assumir que o gás se comporta como
um gás ideal durante todo o processo.
Resolução:
(a) Sabemos que a energia interna de um gás U é dada em função da temperatura T do gás,
e temos que ∆U = nCV∆T . Para um gás monoatômico, CV = 3R/2. Neste caso, a
variação de temperatura no processo é nula, ou seja, ∆T = 0, e ∆U = 0 .
(b) Para calcular a variação da entropia do gás durante a expansão, como sabemos que a
temperatura permanece constante, usamos a equação para a entropia de um gás ideal
monoatômico:
∆S = nCV ln
(
TfV
γ−1
f
TiV
γ−1
i
)
= nCV (γ − 1) ln
(
Vf
Vi
)
= nR ln
(
Vf
Vi
)
,
onde usamos que γ = Cp/CV e que CV (γ − 1) = R para um gás ideal. Como temos que
Vf = V e Vi = V/2, temos
∆S = nR ln(V/(V/2)) = nR ln 2 .
Questão 2: Um cilindro de 1 litro contém um gás ideal diatômico a uma pressão de 2 atm
e uma temperatura de 300 K. O cilindro é equipado com um pistão sem massa que pode se
mover livremente. O pistão é então liberado e o gás se expande adiabaticamente até que sua
pressão caia para 1 atm. A expansão ocorre em duas etapas:
Na primeira etapa, a pressão cai de 2 atm para 1,5 atm enquanto o volume aumenta de 1 litro
para 2 litros.
Na segunda etapa, a pressão cai de 1,5 atm para 1 atm enquanto o volume aumenta de 2 litros
para 3 litros.
Qual é a temperatura final do gás?
Resolução: Como o gás no cilindro é ideal e todas as informações dos estados inicial e final
de cada etapa, podemos utilizar que PV = nRT , onde a quantidade que permanece a mesma
é o número de moles do gás n. Com isso, temos
PV
T
= constante ⇒ PfVf
Tf
=
PiVi
Ti
.
Pelos dados do problema, os valores iniciais são Ti = 300 K, Pi = 2 atm, Vi = 1 ℓ, e que sabemos
do estado final: Pf = 1 atm e Vf = 3 ℓ. Assim, Tf = 300 K · (1 atm · 3ℓ/(2 atm · 1ℓ) = 450 K .
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Questão 3: (2,5) Uma esfera oca de chumbo de raio externo 10 cm e espessura da parede 1
cm é mergulhada em um tanque com água, de densidade 1000 kg/m3, até que metade do seu
volume esteja submerso. Qual é a densidade do chumbo em kg/m3?
Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s2 e que o volume de uma esfera é dado por
V = (4/3)πr3.
Resolução: Pelo prinćıpio de Arquimedes, o empuxo E é dado por E = ρfVdg, onde ρf é a
densidade do fluido, Vd é o volume do fluido deslocado e g é a aceleração da gravidade.
No nosso caso, a esfera oca de chumbo está submersa até a metade, então o volume de fluido
deslocado será igual à metade do volume externo da esfera. Ou seja,
Vd =
1
2
4π
3
R3 =
2π
3
(10 cm)3 =
2000π
3
cm3.
Agora precisamos determinar o peso da esfera: P = Mg, sendo M sua massa. A massa será
dada através do produto de sua densidade pelo seu volume, ou seja, M = dV . No entanto,
como a esfera é oca, o volume da esfera é
V =
4π
3
R3 − 4π
3
r3 =
4π
3
[(10 cm)3 − (9 cm)3] = 1084π
3
cm3.
Finalmente, podemos utilizar a condição de equiĺıbrio para determinar a densidade do chumbo
E = P , onde obtemos:
ρfVdg = dV g ⇒ d =
ρfVd
V
=
1000 · 2000π/3
1084π/3
kg/m3 ≈ 1845 kg/m3 .
Questão 4 (2,5) Um motor térmico opera com um ciclo de Carnot reverśıvel entre duas fontes
de calor, a uma temperatura de 800 K e 200 K, respectivamente. Durante um ciclo completo,
o motor recebe 4000 J de calor da fonte quente e realiza 3000 J de trabalho. Suponha que a
expansão seja adiabática e que o gás seja diatômico. Determine a variação da entropia do gás
no ciclo e a eficiência do motor.
Resolução: Para a eficiência da máquina, podemos utilizar duas formas: η =
|W |
|Qrecebido|
,
sendo W o trabalho realizado pelo máquina durante um ciclo e Qrecebido o calor recebido para
operação da máquina. Ou podemos também usar η = 1 − Tf
Tq
para uma máquina que opera
no ciclo de Carnot. Temos:
η =
|W |
|Qrecebido|
=
3000 J
4000 J
= 3/4 = 75%. ou η = 1− 200 K
800 K
= 1− 1
4
= 3/4 = 75%.
A eficiência do motor é então de 75% .
Agora para o cálculo da variação de entropia: um ciclo de Carnot opera sobre 4 processos:
dois isotérmicos e dois adiabáticos (reverśıveis). O calor cedido à fonte fria é obtido de
Qcedido = W −Qrecebido = −1000J. Sabemos que em processos adiabáticos (reverśıveis) não há
trocas de calor nem há variação de entropia, assim a variação total de entropia do gás será
dada apenas pelas trocas nos processo isotérmicos:
∆S =
Qrecebido
Tq
+
Qcedido
Tf
=
4000 J
800 K
− 1000 J
200 K
= ∆S = 0 .
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