Aula11-TransformadaDeFourier

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Aula teórica: 
UNIVERSIDADE POLITÉCNICA –A POLITÉCNICA
INSTITUTO SUPERIOR E UNIVERSITÁRIO DE TETE 
(ISUTE)
Analise de Circuitos Elétricos III
A Transformada de Fourier
1Eng. Manuel Domingos José
A Transformada de Fourier
2
Série de Fourier e Transformada de Fourier
⚫ Partindo da Série de Fourier e fazendo T → ∞:
⚫ Passamos de uma função periódica para uma função aperiódica.
⚫ A separação entre freqüências harmônicas diminui:
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Série de Fourier e Transformada de Fourier
⚫ Quando T → ∞:
⚫ a freqüência deixa de ser discreta e passa a ser 
contínua:
⚫ Os Coeficientes de Fourier diminuem: Cn → 0
⚫ Entretanto, o limite do produto CnT é:
4
A Transformada de Fourier
Que nos leva à Transformada de Fourier:
A Transformada Inversa de Fourier
⚫ O somatório → integral, CnT→ F(ω), nωo → ω e 1/T → dω/2*pi
⚫ E chegamos à forma da Transformada Inversa de Fourier:
⚫ Fazendo T → ∞ em:
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Par de Transformadas de Fourier
7
A Transformada do pulso de tensão
⚫ Tomando a Transformada de Fourier:
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A Transformada do pulso de tensão
⚫ Transformada de Fourier de um pulso de largura τ e amplitude Vm:
⚫ Coeficientes de Fourier de um trem infinito de pulsos:
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A Transformada do 
pulso de tensão
⚫ Coeficientes de Fourier 
para T/τ =5.
⚫ Coeficientes de Fourier 
para T/τ =10.
⚫ Transformada de Fourier 
V(ω).
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Série vs Transformada de Fourier
Série Transformada
Funções periódicas Funções aperiódicas
Espectro discreto Espectro contínuo
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Condições de existência da Integral de 
Fourier
⚫ f(t) deve ser absolutamente integrável:
⚫ f(t) deve possuir um número finito de descontinuidades dentro 
de qualquer intervalo finito;
⚫ f(t) deve possuir um número finito de máximos ou mínimos 
dentro de qualquer intervalo finito.
∫− ∞
+ ∞
∣ f (t)∣dt∈∞
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Exemplo de Transformada de Fourier
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Condições de existência da Integral de 
Fourier
convergência:
⚫ Utilizamos alguns artifícios para calcular a Transformada de 
Fourier destas funções.
∫− ∞
⚫ Há diversas funções importantes que não possuem 
Transformada de Fourier.
⚫ Funções constantes e senoidais, não obedecem o critério de
+∞
∣ f (t)∣dt∈∞
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Transformada de Fourier de funções que não 
são absolutamente integráveis
⚫ Tomamos uma função faux(t) que possua Transformada de 
Fourier e se aproxime da função de interesse (f(t))
⚫ Calculamos TF da função auxiliar: Faux(ω)
⚫ Avaliamos Faux(ω), quando faux(t) tende a f(t) para obtermos F(ω)
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Transformada de Fourier de uma constante
⚫ Aproximamos a função constante por uma exponencial e fazemos ϵ → 0:
que tende a um impulso em ω=0, quando ϵ → 0:
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Transformada de Fourier de uma constante
⚫ (1) F(ω) → ∞ em ω=0, quando ϵ → 0;
⚫ (2) a duração de F(ω) → 0 quando ϵ → 0;
⚫ (3) a área sob a curva de F(ω) independe de ϵ, sendo dada por:
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Obtendo a Transformada de Fourier por 
meio da Transformada de Laplace
⚫ Pode-se obter a TF por meio da TL para funções cuja integral 
de Fourier converge;
⚫ A Integral de Fourier converge para funções que apresentam 
pólos apenas no semi-plano lateral esquerdo.
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Obtendo a Transformada de Fourier por 
meio da Transformada de Laplace
⚫ Para os casos em que a Integral de Fourier converge, o cálculo 
por meio da TL pode ser realizado da seguinte forma:
⚫ Caso 1: Se f(t)=0 para t≤0-, simplesmente substituímos s por 
jω:
Exemplo:
(s+ a) + ω
o
2 2
F { f (t)}=[
s+a
]
s= jω
=
jω+ a
( jω+ a) + ω
o
2 2
f (t )= 0, t⩽0
of (t)= e
− at cosω t , t⩾0
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Obtendo a Transformada de Fourier por 
meio da Transformada de Laplace
⚫ Caso 2: Se f(t)=0 para t≥0+, refletimos a função em torno do
eixo y, calculamos a Transformada de Laplace e substituímos s
por -jω:
Exemplo:
F { f (t)}= L{ f (− t)}s= − jω
(s+ a ) + ωo
2 2
=[
s+a
]
s= − jω
=
− j ω+a
(− jω+ a) + ωo
2 2
o
f (t)= 0, t⩾0
f (t)= eat cosω t , t⩽0
f (− t)= 0, t⩽0
of (− t)= e
− at cosω t , t⩾0
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Obtendo a Transformada de Fourier por 
meio da Transformada de Laplace
⚫ Caso 3: Se f(t) é não-nula para todo o intervalo de tempo, 
calculamos por uma combinação dos casos 1 e 2:
⚫ Se f(t) for par:
⚫ Se f(t) for ímpar:
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Multiplicação por uma constante
22
Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Adição:
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Diferenciação:
⚫ Válidas somente se f(t)=0 para t → ±∞.
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Integração:
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Mudança de escala:
⚫ Ou seja, quando o tempo é dilatado, a freqüência é comprimida 
(e vice-versa).
⚫ Quando 0<a<1, o tempo é dilatado.
⚫ Quando a>1, o tempo é comprimido.
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Deslocamento no domínio do tempo:
⚫ O deslocamento altera apenas o espectro de fase, não 
modificando o espectro de amplitude.
⚫ Se a>0, f(t) é atrasada. Se a<0, f(t) é adiantada.
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Deslocamento no domínio da freqüência:
⚫ O deslocamento na freqüência corresponde a uma multiplicação 
por exponencial complexa no tempo.
28
Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Modulação:
29
Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Modulação:
⚫ Substituindo o cosseno por sua forma exponencial, obtemos a 
prova da propriedade acima.
⚫ A modulação consiste em alterar a amplitude da portadora 
(cosseno) em função da moduladora (f(t)).
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Convolução no domínio do tempo:
⚫ A convolução no domínio do tempo corresponde a uma 
multiplicação na freqüência.
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Propriedades da Transformada de Fourier 
(Transformadas Operacionais)
⚫ Convolução no domínio da freqüência:
⚫ A convolução no domínio da freqüência corresponde a uma 
multiplicação no domínio do tempo.
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Tabela de Propriedades da Transformada de Fourier
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Propriedades Matemáticas da Transformada de Fourier
⚫ F(ω) é complexa e pode ser representada na forma retangular ou polar:
⚫ Onde:
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Propriedades Matemáticas da Transformada de Fourier
⚫ A(ω) é uma função par em ω: A(ω)=A(- ω)
⚫ B(ω) é uma função ímpar de ω: B(ω)=-B(-ω)
⚫ |F(ω)| é uma função par de ω
⚫ θ(ω) é uma função ímpar de ω
⚫ F*(ω)=F(- ω)
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Teorema de Parseval (TP)
⚫ TP: relaciona a energia de f(t) no domínio tempo com a energia 
da Transformada de Fourier de f(t) (domínio da freqüência).
⚫ Considerando f(t) como a corrente ou tensão em um resistor de 
1Ω, a energia é dada por:
⚫ Como F(-ω)=F*(ω):
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Teorema de Parseval (TP)
⚫ Pelo Teorema de Parseval, a energia de f(t) pode ser calculada tanto no 
domínio do tempo quanto no da freqüência, como segue:
que é válida somente se ambas as integrais existirem.
⚫ Como |F(ω)| é uma função par de ω, podemos simplificar por:
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Exemplo de aplicação do Teorema de Parseval (TP)
⚫ Supondo que:
⚫ A Transformada de Fourier de f(t) é:
f (t )= e− a∣t∣
F (ω)=
2a
a 2+ω 2
⚫ Logo:
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Interpretação do Teorema de Parseval (TP)
⚫ |F(ω)|2 representa uma densidade de energia em J/Hz e |F(2πf)|2 df é a 
energia de uma faixa infinitesimal de freqüência df.
39
Interpretação do Teorema de Parseval (TP)
⚫ Qual a energia na faixa de freqüências entre ω1 e ω2?
⚫ Ou, devido à simetria par em ω:
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Energia contida em um pulso retangular
⚫ Quanto menor o tamanho do pulso, 
maior a banda necessária para 
“transmitir” a parte dominante do 
espectro de amplitude (de -2π/τ a +2π/τ)
⚫ Pode-se utilizar Teorema de 
Parseval para calcular a parcela 
da energia na faixa de 0 a +2π/τ.
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Energia contida em um pulso retangular
d ω
⚫ Transformada de Fourier do pulso:
⚫ Energia do pulso na faixa de 0 a +2π/τ:
Fazendo x=τ/2:
Logo:
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Energia contida em um pulso retangular
⚫ Logo:⚫ Fazendo então
⚫ Logo:
⚫ Substituindo em (1):
(1)
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Energia contida em um pulso retangular
⚫ Fazendo y=2x e dy=2dx, temos:
⚫ Tomamos, então o valor da integral de uma Tabela de integrais de 
funções trigonométricas:
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Energia contida em um pulso retangular
⚫ A energia na banda de -2π/τ a +2π/τ corresponde a 90% da energia 
total do pulso:
45
Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
⚫ Calcular a Transformada de Fourier da Função Sinal:
⚫ Aproximamos por funções exponenciais:
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Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
⚫ Aproximamos por funções exponenciais:
⚫ Como obter a Transformada de Fourier?
47
Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
⚫ Aproximamos por funções exponenciais:
⚫ Quando ϵ→ 0:
48
Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
⚫ Calcular a Transformada de Fourier da Função Degrau Unitário:
⚫ Esta função pode ser expressa por:
⚫ Logo:
⚫ Sabendo que e :
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Tabela de Transformadas de Fourier
50
	Diapositivo 1
	Diapositivo 2: A Transformada de Fourier
	Diapositivo 3: Série de Fourier e Transformada de Fourier
	Diapositivo 4: Série de Fourier e Transformada de Fourier
	Diapositivo 5: A Transformada de Fourier
	Diapositivo 6: A Transformada Inversa de Fourier
	Diapositivo 7: Par de Transformadas de Fourier
	Diapositivo 8: A Transformada do pulso de tensão
	Diapositivo 9: A Transformada do pulso de tensão
	Diapositivo 10: A Transformada do pulso de tensão
	Diapositivo 11: Série vs Transformada de Fourier
	Diapositivo 12: Condições de existência da Integral de Fourier
	Diapositivo 13: Exemplo de Transformada de Fourier
	Diapositivo 14: Condições de existência da Integral de Fourier
	Diapositivo 15: Transformada de Fourier de funções que não são absolutamente integráveis
	Diapositivo 16: Transformada de Fourier de uma constante
	Diapositivo 17: Transformada de Fourier de uma constante
	Diapositivo 18: Obtendo a Transformada de Fourier por meio da Transformada de Laplace
	Diapositivo 19: Obtendo a Transformada de Fourier por meio da Transformada de Laplace
	Diapositivo 20: Obtendo a Transformada de Fourier por meio da Transformada de Laplace
	Diapositivo 21: Obtendo a Transformada de Fourier por meio da Transformada de Laplace
	Diapositivo 22: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 23: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 24: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 25: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 26: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 27: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 28: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 29: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 30: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 31: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 32: Propriedades da Transformada de Fourier (Transformadas Operacionais)
	Diapositivo 33: Tabela de Propriedades da Transformada de Fourier
	Diapositivo 34: Propriedades Matemáticas da Transformada de Fourier
	Diapositivo 35: Propriedades Matemáticas da Transformada de Fourier
	Diapositivo 36: Teorema de Parseval (TP)
	Diapositivo 37: Teorema de Parseval (TP)
	Diapositivo 38: Exemplo de aplicação do Teorema de Parseval (TP)
	Diapositivo 39: Interpretação do Teorema de Parseval (TP)
	Diapositivo 40: Interpretação do Teorema de Parseval (TP)
	Diapositivo 41: Energia contida em um pulso retangular
	Diapositivo 42: Energia contida em um pulso retangular
	Diapositivo 43: Energia contida em um pulso retangular
	Diapositivo 44: Energia contida em um pulso retangular
	Diapositivo 45: Energia contida em um pulso retangular
	Diapositivo 46: Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
	Diapositivo 47: Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
	Diapositivo 48: Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
	Diapositivo 49: Usando limites para calcular a Transformada de Fourier
	Diapositivo 50: Tabela de Transformadas de Fourier