Aula10-SerieDeFourier

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Aula teórica: 
UNIVERSIDADE POLITÉCNICA –A POLITÉCNICA
INSTITUTO SUPERIOR E UNIVERSITÁRIO DE TETE 
(ISUTE)
Analise de Circuitos Elétricos III
Serie de Fourier
1Eng. Manuel Domingos José
Séries de Fourier
2
Série de Fourier
⚫ Qualquer função periódica f(t) pode ser representada por uma 
soma infinita de senos e cossenos:
⚫ av, an, bn são os coeficientes de Fourier
⚫ ωo=2*pi/T é a freqüência fundamental da função.
⚫ 2ωo é o segundo harmônico, 3ωo é o terceiro, etc...
⚫ O período de qualquer termo da série é um múltiplo inteiro de T.
3
Condições de Dirichlet
Condições que f(t) deve satisfazer para que possa ser expressa 
por meio da série de Fourier:
⚫ f(t) deve ser unívoca (p/ cada elemento do domínio 
corresponde um único elemento do contra-domínio);
⚫ Deve ter número de descontinuidades finito no intervalo T;
⚫ Deve ter número de máximos e mínimos finito no intervalo T;
⚫ A integral deve existir∫
t
o
t o+T
∣ f (t )∣dt
4
Condições de Dirichlet
⚫ Funções periódicas geradas por fontes fisicamente 
realizáveis satisfazem estas condições.
⚫ Estas condições são suficientes, mas não necessárias: 
mesmo que uma função não as satisfaça, ainda pode ser 
possível expressá-la por Série de Fourier.
⚫ Aplicação a circuitos → calcula-se a resposta a cada sinal 
senoidal e soma-se as respostas (superposição).
5
Coeficientes de Fourier
⚫ Podemos calcular os coeficientes da Série de Fourier por:
6
Coeficientes de Fourier
⚫ av corresponde ao valor médio de f(t):
7
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
8
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
∫
t o
o
t +T
cosmωo t cos nωo t dt=∫
to
o
t +T
2 o o
1
[cos(m+n)ω t+cos(m−n)ω t]dt=0
9
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
∫
t o
t o+T 2
o
cos mω t dt=∫
to
to+T (1+cos2mωo t)
2
1dt= (t o+T−to)
2
10
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
∫
t o
o
t +T
o o
cosmω t sennω t dt=∫
t o
t +T
o 1
2
[sen(m+n)ωot−sen(m−n)ωo t]dt=0
11
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
0
0
12
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
∫
t
o
t o+T
f ( t)sen kω
o
t dt=∫
t
o
t o+T
av sen kωot dt
∑
∞
∫
n=1 t
o
t o+T
(an cosnωot sen kωot+bn sennωot senkωo t)dt
+
13
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
∫
t
o
o
f ( t)sen kω t dt=∫
t
o
t o+T t o+T
av sen kωot dt
∑
∞
∫
n=1 t
o
t o+T
(an cosnωot sen kωot+bn sennωot senkωo t)dt
+
∫
t o
o
t +T
o o
cosmω t sennω t dt=∫
t o
t +T
o 1
2
[sen(m+n)ωot−sen(m−n)ωo t]dt=0
14
Coeficientes de Fourier
⚫ Demonstração:
Mas:
∫
t o
t o+T 2
o
sen mω t dt=∫
t o
t o+T (1−cos2mωo t )
2
1dt= (to+T−t o)
2
∫
t
o
o
f ( t)sen kω t dt=∫
t
o
t o+T t o+T
av sen kωot dt
∑
∞
∫
n=1 t
o
t o+T
(an cosnωot sen kωot+bn sennωot senkωo t)dt
+
15
Simplificação dos cálculos dos Coeficientes de Fourier
O cálculo dos coeficientes de Fourier (CF) pode ser simplificado 
pelas seguintes simetria:
⚫ Simetria das funções pares;
⚫ Simetria das funções ímpares;
⚫ Simetria de meia-onda;
⚫ Simetria de quarto de onda;
16
Simetria das funções pares
⚫ Definição de função par:
⚫ Para funções pares, as equações para os CF reduz-se a:
b k=0
Série de Fourier p/ f(t) qualquer:
17
Simetria das funções pares
⚫ Demonstração:
⚫ Mas:
18
Simetria das funções pares
⚫ Demonstração:
⚫ Mas:
19
Simetria das funções pares
⚫ Demonstração:
⚫ Mas:
k
b =
2
T
∫
−T /2
0
o
f (t )senkω t dt+
2
T
∫
0
T/2
o
f (t) senkω t dt
bk=0
20
Simetria das funções ímpares
⚫ Demonstração:
⚫ Para funções ímpares, as equações para os CF reduz-se a:
21
Simetria das funções ímpares
⚫ Pode-se aplicar um 
deslocamento para obter 
simetria par ou ímpar:
22
Simetria de meia onda
⚫ Definição: uma função 
periódica possui simetria de 
meia onda se
23
Simetria de meia onda
⚫ Definição: uma função 
periódica possui simetria de 
meia onda se:
Com simetria de meia-onda
Sem simetria de meia-onda
24
Simetria de meia onda
Para funções com simetria de
meia-onda, os CF podem ser
dados por:
25
Simetria de meia onda
⚫ Demonstração:
⚫ Mas:
(1)
26
Simetria de meia onda
⚫ Demonstração:
(1)
⚫ Mas:
0
cos kωo(x−T /2)=cos(kωo x−k π)=cos kπcos kωo x−sen kπsenkωo
(2)
27
Simetria de meia onda
⚫ Demonstração:
(1)
⚫ Substituindo (2) em (1):
(2)
28
Simetria de meia onda
⚫ Demonstração:
Mas coskπ=1, para k par 
coskπ=-1, para k ímpar
29
Simetria de quarto de onda
⚫ Simetria de quarto de onda: funções com simetria de meia 
onda e também simetria em relação aos pontos médios dos 
semi-ciclos positivos e negativos:
Com simetria de quarto de onda Simetria de meia onda, sem 
simetria de quarto de onda
30
Simetria de quarto de onda
Funções com simetria de quarto de onda podem ser transformadas em 
par ou ímpar.
ímpar
f(t)par
31
Simetria de quarto de onda
Se a função for transformada em par:
f(t)par
32
Simetria de quarto de onda
Se a função for transformada em ímpar:
33
Forma trigonométrica da série de Fourier
A Série de Fourier pode ser representada alternativamente por:
Usando fasores, temos:
34
Forma trigonométrica da série de Fourier
A Série de Fourier pode ser representada alternativamente por:
Onde An e θn são dados por:
35
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Vg possui simetria ímpar, de meia onda e de quarto de onda, logo:
36
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Expandindo a série:
Vg equivale a uma infinidade de fontes em série com amplitudes e freqüências distintas.
37
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Expandindo a série:
Para cada componente de entrada, a tensão de saída pode ser dada pela 
seguinte expressão fasorial:
38
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Tensão de saída em função da fundamental:
39
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Ou, na forma polar:
onde
40
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
No domínio do tempo, temos:
41
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
onde
Para a componente do 3o harmônico, temos:
Cuja expressão no tempo é:
42
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Então, a expressão para o k-ésimo harmônico pode ser dada por:
onde
43
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Por superposição, a expressão da tensão de saída pode ser dada por:
44
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Para valores elevados de C:
45
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
A amplitude dos harmônicos decresce com um fator de 1/n2:
46
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Quando C tem valor muito elevado, a tensão de saída pode ser aproximada 
por somente alguns harmônicos:
47
Aplicação
Determinar a resposta de regime permanente do circuito RC:
Quando C → 0:
vo=vg
48
Cálculo de potência média de funções periódicas
Pode-se expressar a potência média de um circuito em função 
das tensões e correntes harmônicas:
49
Para o produto de cossenos, os únicos termos que são não nulos, 
correspondem a produtos de tensão e corrente de mesma frequencia.
pois:
50
Cálculo de potência média de funções periódicas
Usando a identidade trigonométrica:
cosαcos𝗉=
1
cos (α−𝗉)+
1
cos (α+𝗉)
2 2
temos:
51
Cálculo de potência média de funções periódicas
0
A potência média total é a soma das potências médias de cada 
harmônico separadamente (mais a potência devido aos offsets).
52
Valor eficaz de uma função periódica
O valor eficaz de uma função periódica pode ser dado em função 
dos coeficientes de Fourier:
53
Valor eficaz de uma função periódica
(
Lembrando que:
Temos:
54
Valor eficaz de uma função periódica
O valor eficaz de uma função periódica é a raiz quadrada da soma
do quadradodo valor eficaz de cada harmônico e do quadrado do
valor DC:
(
55
Forma exponencial da Série de Fourier
Partindo da Série de Fourier:
E substituindo:
Obtemos:
56
Forma exponencial da Série de Fourier
Definindo:
57
Forma exponencial da Série de Fourier
Pela definição:
Definindo:
E sabendo que:
58
Forma exponencial da Série de Fourier
De:
temos:
e:
59
Forma exponencial da Série de Fourier
Substituindo:
Em:
Temos:
60
Forma exponencial da Série de Fourier
Mas:
61
Forma exponencial da Série de Fourier
Trata-se de uma representação alternativa e mais concisa:
onde
62
Forma exponencial da Série de Fourier
Pode-se expressar o valor eficaz em função dos coeficientes complexos 
de Fourier:
Mas:
Logo:
63
	Diapositivo 1
	Diapositivo 2
	Diapositivo 3: Série de Fourier
	Diapositivo 4: Condições de Dirichlet
	Diapositivo 5: Condições de Dirichlet
	Diapositivo 6: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 7: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 8: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 9: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 10: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 11: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 12: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 13: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 14: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 15: Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 16: Simplificação dos cálculos dos Coeficientes de Fourier
	Diapositivo 17: Simetria das funções pares
	Diapositivo 18: Simetria das funções pares
	Diapositivo 19: Simetria das funções pares
	Diapositivo 20: Simetria das funções pares
	Diapositivo 21: Simetria das funções ímpares
	Diapositivo 22: Simetria das funções ímpares
	Diapositivo 23: Simetria de meia onda
	Diapositivo 24: Simetria de meia onda
	Diapositivo 25
	Diapositivo 26: Simetria de meia onda
	Diapositivo 27: Simetria de meia onda
	Diapositivo 28: Simetria de meia onda
	Diapositivo 29: Simetria de meia onda
	Diapositivo 30: Simetria de quarto de onda
	Diapositivo 31: Simetria de quarto de onda
	Diapositivo 32: Simetria de quarto de onda
	Diapositivo 33
	Diapositivo 34: Forma trigonométrica da série de Fourier
	Diapositivo 35: Forma trigonométrica da série de Fourier
	Diapositivo 36: Aplicação
	Diapositivo 37: Aplicação
	Diapositivo 38: Aplicação
	Diapositivo 39: Aplicação
	Diapositivo 40: Aplicação
	Diapositivo 41: Aplicação
	Diapositivo 42: Aplicação
	Diapositivo 43: Aplicação
	Diapositivo 44: Aplicação
	Diapositivo 45: Aplicação
	Diapositivo 46: Aplicação
	Diapositivo 47: Aplicação
	Diapositivo 48: Aplicação
	Diapositivo 49
	Diapositivo 50: Para o produto de cossenos, os únicos termos que são não nulos, correspondem a produtos de tensão e corrente de mesma frequencia.
	Diapositivo 51: Cálculo de potência média de funções periódicas
	Diapositivo 52: Cálculo de potência média de funções periódicas
	Diapositivo 53
	Diapositivo 54: Valor eficaz de uma função periódica
	Diapositivo 55: Valor eficaz de uma função periódica
	Diapositivo 56: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 57: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 58: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 59: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 60: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 61: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 62: Forma exponencial da Série de Fourier
	Diapositivo 63: Forma exponencial da Série de Fourier