t2_2010_1_p1_a_enunciado_resolução

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PUC Goiás / ENG / TEORIA-II / A01 / CHAER / 2010.1 
P1/N1 - Prova A - em 8/4/2010 
(duração: 90' = 1,5 horas) 
Nome: 
Desejo-lhe um bom desempenho! 
CHAER 
 
1 – SISTEMA PRINCIPAL - [2.0] 
 
Seja o pórtico (Fig.01). Segundo as deslocabilidades interna (rotações de nós rígidos) 
e externa (translação de nós), determinar o Sistema Principal: 
 
a) Desconsiderando as deformações axiais das barras; 
b) Considerando as deformações axiais das barras. 
 
 
2 – VIGAS CONTÍNUAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS [6.0] 
 
Para a viga (Fig.02), com EI = cte, pede-se: 
 
a) Traçar o DMF para a barra BC; 
b) Traçar o DEC para a barra CD; 
c) Determinar a Reação no apoio B. 
 
sugestão: 
 
- eliminar os balanços, transferindo as ações do balanço para os nós B e D; 
- considerar o S.P. reduzido (sem as rotações nos nós extremos apoiados). 
 
3 – TRELIÇAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS [2.0] 
 
Para a treliça (Fig.03), com EA = cte, determinar b21: 
 
 
 
* Figuras no verso. 
PUC Goiás / ENG / TEORIA-II / A01 / CHAER / 2010.1 
P1/N1 - Prova A - em 8/4/2010 
(duração: 90' = 1,5 horas) 
Nome: 
Desejo-lhe um bom desempenho! 
CHAER 
 
10 KN/m 
 
4 m 
 
2 m 
 
1,5 m 
 
20 KN/m 
 
3 m 
 
C 
 
E 
 
Figura 02 
KN/m 
 
B 
 
 
Figura 01 
KN/m 
 
30 KN 
 
20 KN 
 
A 
 
D 
 
10 KN 
 
2 m 
 
Figura 03 
KN/m 
 
 
10 KN.m 
 
 
10 KN/m 
 
 
A 
 
 
B 
 
 
 
C 
 
 
 
 
1 
 
 
 
2 
 
 
 
 4 m 
 
 
2 m 
 
 
 
3 m 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
PUC Goiás / ENG / TEORIA-II / A01 / CHAER / 2010.1 
P1/N1 – A – em 8/4/2010 
Resolução – Questão 1 
 
 
a) S.P. desconsiderando as deformações axiais das barras 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) S.P. considerando as deformações axiais das barras 
 
 
 
Figura 01 
KN/m 
 
Figura 01 
KN/m 
 
PUC-GO / ENG TEORIA II CHAER
Pontifícia Universidade Católica de Goiás
Departamento de Engenharia
Engenharia Civil
Prof. Alberto Vilela CHAER
ENG2033 Teoria II A01 2010.1 QUESTÃO
P1 N1 8/4/2010 PROVA A 2
Seja a Viga:
(unidades: KN, m)
30 20
10 Pb = 45 Pb = 40 10
Mb = 56.25 Mb = 60
A E
1.50 2.00
balanço balanço
45 10 40
56.25 60
10
B C D
2.00
5.00 4.00
I_BC = 1.00 I_CD = 1.00
E = 1.00
3.00 4.00
10
20
t2_2010_1_p1_a_q2_gabarito.xlsx 1/7
PUC-GO / ENG TEORIA II CHAER
1) S.P.
BC CB CD DC
D1
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PUC-GO / ENG TEORIA II CHAER
2) E0
Q1: q = 10 q = 20
BC CB CD DC
0.000 -31.250 40.000 0.000
Q2: q = 10
a = 4.00
b = 1.00
c = 2.00
BC CB CD DC
0.000 -12.800 0.000 0.000
P1: P = 10
a = 3.00
b = 2.00
BC CB CD DC
0.000 -9.600 0.000 0.000
M: M = 56.25 M = -60
BC CB CD DC
56.250 28.125 -30.000 -60.000
BC CB CD DC
M_0 56.250 -25.525 10.000 -60.000
β_10
-15.525
q
L
q
a b
M
b
P
a
L
2
2
cLab4
L8
caq
M
aL
L2
baP
2
M
2
M
8
Lq 2
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PUC-GO / ENG TEORIA II CHAER
3) E1
BC CB CD DC
M_1 0.000 0.600 0.750 0.000
β_10 + β_11 D1 = -10
D1 = -10 - β_10 D1 = 4.093
β_11
1.350
β_11
5) Equação de Equilíbrio
D1 = 1
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BC CB CD DC
M_0 56.25 -25.53 10.00 -60.00
M_1 0.00 0.60 0.75 0.00 D1 = 4.093
M_F 56.25 -23.07 13.07 -60.00
BC CB CD DC
6) Momentos Finais: M_F = M_0 + M_1 * D_1 + M_2 * D_2
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7) Tramo BC
10
10
10
56.25 23.07
BC s CB
2.00
5.00
25.00 25.00
4.00 16.00
56.25 - 23.07
4.00 6.00 - DMF
+ (Resposta a)
11.25 -11.25 17.66
39.64
-4.61 4.61 + 9.64
DEC
39.64 40.36 0.36 -
40.36
Ms = 17.658
V_BC Vs_e Vs_d V_CB
39.64 9.636 -0.364 -40.36
V_BA
-45.00
RB = 84.64 (Resposta c)
3.00
3.00
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8) Tramo CD
13.07 60.00
CD s DC
4.00
40.00 40.00
3.27 -3.27 13.07 60.00
- - DMF
-15.00 15.00 +
28.27 51.73 6.91
28.27
+ DEC
- (Resposta c)
V_CD V_DC 51.73
28.27 -51.73
x_máx = 1.41
M_máx = 6.91
20
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Departamento de Engenharia
Engenharia Civil
Prof. Alberto Vilela CHAER
ENG2033 Teoria II A01 2010.1 QUESTÃO
P1 N1 8/4/2010 PROVAS 3
PROVA L1 L2 H L_AC L_CB cos(a) sen(a) cos(b) sen(b) d1 d2 N1 N2
A 4.000 2.000 3.000 5.000 3.606 0.800 0.600 0.555 0.832 0.800 0.555 0.160 0.154 -0.032 EA
B 5.000 3.000 4.000 6.403 5.000 0.781 0.625 0.600 0.800 0.781 0.600 0.122 0.120 -0.020 EA
C 4.000 2.000 2.000 4.472 2.828 0.894 0.447 0.707 0.707 0.894 0.707 0.200 0.250 -0.087 EA
D 5.000 2.000 1.000 5.099 2.236 0.981 0.196 0.894 0.447 0.981 0.894 0.192 0.400 -0.141 EA
R2
1
d1
d2
N1N2
N2
N1
R2
L_
AC
L_C
B
d1=1.cos(a)
d2=1.cos(b)
R2 + N2.sen(b) - N1.sen(a) = 0
R2 = - N2.sen(b) + N1.sen(a)
N2 = EA.d2/L_CB N1 = EA.d1/L_AC
R2 = - (EA.cos(b)/L_CB).sen(b) + (EA.cos(a)/L_AC).sen(a)
L1 L2
H
R2 = (-cos(b).sen(b)/L_CB + (cos(a).sen(a)/L_AC).EA
L_AC=RAIZ(L1^2+H^2) L_CB=RAIZ(L2^2+H^2)
sen(a) = H/L_AC
cos(a) = L1/L_AC
sen(b) = H/L_CB
cos(b) = L2/L_CB
C
A B
a b
c2
c1
c2b
c1a
b a
1
d1
d2
N1N2
N2
N1
R2
L_
AC
L_C
B
d1=1.cos(a)
d2=1.cos(b)
R2 + N2.sen(b) - N1.sen(a) = 0
R2 = - N2.sen(b) + N1.sen(a)
N2 = EA.d2/L_CB N1 = EA.d1/L_AC
R2 = - (EA.cos(b)/L_CB).sen(b) + (EA.cos(a)/L_AC).sen(a)
L1 L2
H
R2 = (-cos(b).sen(b)/L_CB + (cos(a).sen(a)/L_AC).EA
L_AC=RAIZ(L1^2+H^2) L_CB=RAIZ(L2^2+H^2)
sen(a) = H/L_AC
cos(a) = L1/L_AC
sen(b) = H/L_CB
cos(b) = L2/L_CB
C
A B
a b
c2
c1
c2b
c1a
b a
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