c04_lajes armadas em duas direções

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Universidade Católica de Goiás - Departamento de Engenharia 
Estruturas de Concreto Armado I - Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 Alberto Vilela Chaer, M.Sc., Professor Adjunto-I, chaer@ucg.br 
Maria das Graças Duarte Oliveira, Acadêmica de Engenharia Civil, duarts@cultura.com.br 
(organizadores) 
 
 
4.1 
conteúdo 4 lajes armadas em duas direções 
 
 
4.1 Cálculo Elástico 
 
Pelo fato de apresentarem as dimensões de seus lados comparáveis, as lajes armadas em duas 
direções apresentam curvaturas comparáveis segundo os dois cortes (AA e BB indicados na 
figura 4.1), indicando a presença de momentos fletores comparáveis, Mx e My. 
 
Mx = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a lx; 
My = momento fletor por unidade de largura com plano de atuação paralelo a ly. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.1 - Lajes armadas em duas direções 
 
 
Considerando o corte genérico CC e a deformada segundo este corte. Nota-se, novamente, a 
presença de curvatura e, portanto, de momento fletor (M = momento por unidade de largura 
atuando segundo o corte CC). O arranjo usual das armaduras da laje é composto de armadura 
paralela ao lado lx, para resistir a Mx, e armadura paralela a ly, para resistir a My. Os ensaios 
mostram que a resistência segundo o corte CC pode ser expresso por: 
 
 M = Mx.cos2 + My.sen2 (4.1) 
 
Em geral, estas armaduras (determinadas para resistir aos momentos máximos paralelos aos 
lados lx e ly) são suficientes para garantir a segurança da laje. 
 
A determinação dos momentos fletores numa placa, pela Teoria da Elasticidade, é bastante 
trabalhosa. Entretanto, há tabelas com as quais o cálculo torna-se expedito. 
 
Dentre as diversas tabelas existentes na literatura técnica, escolhemos as de Czerny, com 
coeficiente de Poisson ν = 0,20. Estas tabelas trazem a solução para as lajes isoladas. 
 
Dentro do contexto de um pavimento, após a determinação dos esforços nas lajes isoladas, 
devemos fazer a compatibilização dos momentos de engastamento das lajes adjacentes. 
 
C 
lx ≤ ly 
ly A 
 B 
 A 
B 
C 
 
lx 
ly 
ao 
ao 
ao 
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 Alberto Vilela Chaer, M.Sc., Professor Adjunto-I, chaer@ucg.br 
Maria das Graças Duarte Oliveira, Acadêmica de Engenharia Civil, duarts@cultura.com.br 
(organizadores) 
 
 
4.2 
4.2 Compatibilização dos momentos de bordo 
 
O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da 
compatibilização dos momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas: 
 
 
2
mm 2b1b 
mb12 ≥ (4.2) 
 0,8.mb1 
 0,8.mb2 
 
Ao compatibilizarmos os momentos negativos sobre os apoios, devemos corrigir o momento 
positivo da laje que tiver o seu momento fletor de bordo diminuído: 
 
 se mbi < mb12  mi,final = mi + 0,5(mbi – mb12) (4.3) 
 
 
4.3 Tabelas de Czerny 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ly  vão maior 
lx  vão menor 
q  carga distribuída por área 
R  reação de apoio 
h  espessura da laje 
M  momento positivo 
X  momento negativo 
f  flecha 
Emódulo de elasticidade 
l x
 
ly 
 
 
 R
y
1
 
R
y
2
 
Rx1 
 
Rx2 
 
X
x
 
Xy 
 
 CASO 3 
M
x
 
 My 
 
q 
 
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 Alberto Vilela Chaer, M.Sc., Professor Adjunto-I, chaer@ucg.br 
Maria das Graças Duarte Oliveira, Acadêmica de Engenharia Civil, duarts@cultura.com.br 
(organizadores) 
 
 
4.3 
 
 
mx
lx.q
Mx
2
 (4.4) 
 
 
my
lx.q
My
2
 (4.5) 
 
 
nx
lx.q
Xx
2
 (4.6) 
 
 
ny
lx.q
Xy
2
 (4.7) 
 
 lx.q.VxRx 11 (4.8) 
 
 lx.q.VxRx 22 (4.9) 
 
 ly.q.VyRy 11 (4.10) 
 
 ly.q.VyRy 22 (4.11) 
 
 fz.
h.E
lx.q
f
3
4
 (4.12)