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LI V R O D O PR O FE SS O RVO LU MEEnsino Fundamental - Anos Iniciais QUINTO ANO 4 GRUPO 4 REGIONALISMO E SOCIEDADE CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 1CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 1 18/11/22 12:1518/11/22 12:15 Juciene Nogueira Almeida de Brito Destacar DA DO S ESCOLA: NOME: TURMA: NÚMERO: HORÁRIO SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA SÁBADO HORÁRIO SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA SÁBADO CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 2CO EF 05 INFI 23 1B LV 04 MI DMUL PR.indd 2 18/11/22 12:1518/11/22 12:15 4ENSINO FUNDAMENTAL - ANOS INICIAISQUINTO ANO GRUPO 4 REGIONALISMO E SOCIEDADE vo lu me CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 1CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 1 01/12/22 13:4001/12/22 13:40 EDITORIAL Todos os direitos desta publicação são reservados ao COC – Plataforma de Educação. www.coc.com.br COC – PLATAFORMA DE EDUCAÇÃO Diretor de produtos e conteúdo Vinícius Santos Daltro Direção editorial Alexandre Ferreira Mattioli Gerência de produtos editoriais Matheus Caldeira Sisdeli Gerência de design Cleber Figueira Carvalho Coordenação de produtos editoriais Cláudia Dourado Barbosa Coordenação editorial de conteúdo Erika Akime Tawada Boldrin, Luiz Molina Luz, Michelle Y. Urcci Gonçalves, Wagner Fonzi Coordenação de design Vanessa Cavalcanti Autoria Anayra Giacomelli Lamas Alcantara, André Roberto de Oliveira Fabrino, Annie Simões Rozestraten Furlan, Bruna Henrique Albuquerque, Fábia Alvim Leite, Gustavo Barros Alcantara, Leandro Calbente Câmara, Leandro da Silva Borges, Tatiana Adas Gallo Editoria responsável Ana Elisa Montebelli Motta, Carla Margareth Ferreira Ribeiro, Cesar da Costa Jr., Eloá Thaís Matielo de Campos Silvério, Erika Akime Tawada Boldrin, Kleber Pereira dos Santos, Larissa Andrioli Guedes, Maria Cecília Rossi Dal Bem Ribeiro, Mariana Paulino Silva, Mariana Prudenciatto, Natália Helena Pesso Coelho, Paula Christina Bin Nomelini, Paula Garbellini de Barros Rodrigues Editoria pedagógica Anita Adas Editoria de conteúdo Alexandre Faraoni, Breno Carlos da Silva, Danilo César Defina, Emanuella Teresa Kalil Lima, Felipe Pinheiro Freire De Lima, Flávia Darre Barbosa, Franco Caldas Fuchs, Gilson Caires Marçola, Isabel Cristina Cossalter, Jamila Gomes de Oliveira Silva, João Paulo Ferraro, Lívia de Sordi, Mara Cristina Scorsafava, Mariane de Mello Genaro Feitosa, Miriam Margarida Grisolia, Pamella Terezinha Souza de Oliveira, Priscila Fernanda Ferreira Controle de produção editorial Lidiane Alves Ribeiro de Almeida Assistência de editoria Ana Carolina de Almeida Duarte, Ana Elisa Montebelli Motta, Daniel Ximenes Lopes, Fernanda Thais Ornelas, Ítalo Demétrio de Jesus Barros, Kleber Pereira dos Santos, Larissa Andrioli Guedes, Mariana Paulino Silva, M.R. Sampaio Consultoria Editorial, Milene Massumi, Pamella Terezinha Souza de Oliveira, Paula Carvalho, Paulo Roberto de Jesus Silva Preparação e revisão gramatical Alexandre Olsemann, Ana Lúcia Alves Vidal, Ana Maria Xavier Cotrim, Anelise de Freitas, Eliana Gazola, Esther Oliveira Alcântara, Fabiana C. Cosenza Oliveira, Ivone Teixeira, Jamile Reami Turqueto, Juliana Mello, Leandro Requena Pereira, Milena Contador Lotto, Miriam Margarida Grisolia, Murilo Oliveira de Castro Coelho Organização de originais Lucas Bernardo de Oliveira, Luzia Helena Fávero, Marisa Aparecida dos Santos e Silva Editoria de arte Marcelo Acquilino Coordenação de pesquisa e licenciamento Thiago Fontana Pesquisa e licenciamento Catia Trancoso, Jaqueline Lima, Natalie Coppola Ilustrações Bruna Souza, Estúdio Calamares, Estúdio Caramela, Estúdio Ilustra Cartoon, Thiago Matos, Victor Lemos Capa e projeto gráfico Product Design, APIS Design Imagem da capa Pixel-Shot/Shutterstock Diagramação e arte final Estilotech Editoração e Arte Educacional Coordenação multimídia Alberto Rodrigues PCP George Romanelli Baldim, Paulo Campos Silva Jr. Gostou? Podemos melhorar! Acesse o link e deixe sua avaliação: <link.coc.com.br/c1TNNK8>. CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 2CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 2 01/12/22 13:4001/12/22 13:40 http://link.coc.com.br/c1TNNK8 REGIONALISMO E SOCIEDADE “[...] O meu respeito da identidade cultural do outro exige de mim que eu não pretenda impor ao outro uma forma de ser de minha cultura, que tem outros cursos, mas tam- bém o meu respeito não me impõe negar ao outro o que a curiosidade do outro e o que ele quer saber mais daquilo que sua cultura propõe.” Paulo Freire 4 GRUPO YA R U N IV -S TU D IO /S TO CK .A D O B E. CO M CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 3CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 3 01/12/22 13:4001/12/22 13:40 SUMÁRIO PORTUGUESA GRUPO 4 PÁG. 11 LÍNGUA TEXTUAL GRUPO 4 PÁG. 79 PRÁTICA FÍSICA GRUPO 4 PÁG. 113 EDUCAÇÃO GRUPO 4 PÁG. 95 ARTE 54 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 4CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 4 01/12/22 13:4001/12/22 13:40 PÁG.PÁG.PÁG.PÁG. CONHEÇA SEU LIVRO MAPA INTERDISCIPLINAR REDAÇÃO: PRODUÇÃO DE TEXTO ENCARTES ADESIVOS 6 10 317 321 329 GRUPO 4 PÁG. 247 HISTÓRIA GRUPO 4 PÁG. 129 MATEMÁTICA DA NATUREZA GRUPO 4 PÁG. 209 CIÊNCIAS GRUPO 4 PÁG. 273 SOCIAIS CIÊNCIAS GEOGRAFIA GRUPO 4 PÁG. 287 54 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 5CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 5 01/12/22 13:4001/12/22 13:40 CONHEÇA SEU LIVRO PARA CONFERIR Momento indicado para conferir a aprendizagem de conteúdos. Pode ser aplicado ao final do capítulo ou durante seu desenvolvimento. ABERTURA DE CAPÍTULO Traz elementos que contextualizam os conteúdos e estimulam a reflexão. OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Quadro que apresenta os objetivos de aprendizagem a serem desenvolvidos. EXERCÍCIOS São divididos em exercícios de aplicação, trabalhados em sala, e exercícios propostos, realizados em casa ou fora da sala de aula. ATIVIDADES Reunidas em capítulos, sistematizam a teoria e os exercícios que serão trabalhados. 76 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 6CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 6 01/12/22 13:4101/12/22 13:41 ORGANIZADOR VISUAL Revisa nomes e conceitos, estabelecendo conexões e possíveis relações entre eles. PRODUÇÃO DE TEXTO As folhas de produção de texto são destacáveis para facilitar o uso pelo aluno e a correção pelo professor. ENCARTES E ADESIVOS Oferecem recursos complementares que enriquecem as atividades. 76 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 7CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 7 01/12/22 13:4101/12/22 13:41 CONHEÇA SEU LIVRO VOCABULÁRIO Explica, de maneira acessível, termos e conceitos, favorecendo sua compreensão. QUADRO DE TEXTO Apresenta conteúdos relacionados ao que está sendo trabalhado, permitindo o contato com textos clássicos ou de diversos autores. BOXES E ÍCONES A minha esteira Respiro o vento, e vivo de perfumes No murmúrio das folhas de mangueira; Nas noites de luar aqui descanso E a lua enche de amor a minha esteira. AZEVEDO, Álvares de. Melhores poemas. Rio de Janeiro: Global, 2013. (Seleção de Antônio Candido). VOCABULÁRIO Escaldado: que foi colocado em água muito quente. MUNDO DO TRABALHO Uma profissão antiga Relojoeiro é o profissional que conserta relógios, trocando baterias ou pulseiras e reali- zando todo tipo de reparo. Hoje em dia, é mais difícil encon- trar relojoeiros que construam relógios, mas, antigamente, isso era comum, especialmente reló- gios mecânicos, que eram feitos à mão. EXPLORE MAIS Você ficou curioso sobre os Jogos dos Povos Indígenas? Saiba mais sobre essa competição e a história dela no link a seguir. Disponível em: <link.coc.com.br/ IDjVryj>. MUNDO DO TRABALHO Mostra relações do conteúdo com as profissões e o mundo do trabalho. EXPLORE MAIS Sugere sites, textos e links, em ambiente digital, relacionados ao conteúdo estudado. 98 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 8CO EF 05 INFI 23 2B LV04 MI DMUL.indb 8 01/12/22 13:4101/12/22 13:41 https://memoria.ebc.com.br/esportes/2015/10/conheca-modalidades-esportivas-dos-jogos-mundiais-indigenas https://memoria.ebc.com.br/esportes/2015/10/conheca-modalidades-esportivas-dos-jogos-mundiais-indigenas MINIATURAS As miniaturas favorecem a contextualização dos quadros de conteúdo e indicam os pontos em que as informações adicionais estão relacionadas. PARA IR ALÉM Apresenta conteúdos adicionais que aprofundam ou ampliam o estudo, estimulando a reflexão e a curiosidade. VERBO DE COMANDO Transcrever: escrever novamente, copiar, reproduzir. VERBO DE COMANDO Explica os verbos operatórios utilizados nas atividades. PARA IR ALÉM Tu ou você? No diálogo entre a onça e o jabuti, eles tratam um ao outro pelo pronome tu. Tanto tu quanto você podem ser uti- lizados para se refe- rir àquele com quem se fala. A preferência por um pronome ou outro varia entre as regiões do Brasil. Os selos pedagógicos organizam e indicam o objetivo de algumas partes da atividade. O selo colaborativo indica exercícios que exploram estratégias diferenciadas de aprendizagem. COLABORATIVO Os selos remissivos indicam as páginas em que são utilizados ou encontrados materiais complementares ao desenvolvimento da atividade. PÁG. 399REDAÇÃO PÁG. 399ENCARTE PÁG. 399ADESIVO ENCARTE PÁG. 399 ADESIVO PÁG. 399 REDAÇÃO PÁG. 399 ENTRE CONVERSAS... DIVERSÃO À VISTA! ATIVE A MEMÓRIA! MOMENTO DE DESCOBERTAS! SELOS CONTEÚDO DIGITAL 98 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 9CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 9 01/12/22 13:4101/12/22 13:41 MAPA INTERDISCIPLINAR 10 GE AR EF MA HIGE MATEMÁTICA Múltiplos e div isores CIÊNCIAS DA NATUREZA A vida das plantas HISTÓRIA Povos antigos CIÊNCIAS SOCIAIS Movimentos sociais LÍNGUA PORTUGUESA Inferência, coesão, textos jornalísticos, recursos sonoros na poesia, leitura, produção e declamação de poemas EDUCAÇÃO FÍSICA Jogos e brincadeiras populares do Brasil e de outros países GEOGRAFIA Elementos das cidades ARTE Imagens do Brasil: memória, pintura e fotografia PRÁTICA TEXTUAL Literatura de cordel, produção de folheto de cordel 4 REGIONALISMO E SOCIEDADE GRUPO Os conteúdos estudados podem ser comuns a mais de uma disciplina. Entender como eles se relacionam contribui para o aprendizado e torna as aulas mais interessantes. Assim, este mapa mostra possíveis ligações entre os assuntos, propondo pontos de partida para um trabalho interdisciplinar. AR GE LP HI GEEF CS CN AR PTCS GE GE LP AR GE LPAR CS CN LPHILPAR CS CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 10CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 10 01/12/22 13:4101/12/22 13:41 MATEMÁTICA 130 PÁGINA CAPÍTULO 8 Múltiplos e divisores CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 129CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 129 01/12/22 13:4201/12/22 13:42 MÚLTIPLOS E DIVISORES 8 CAPÍTULO OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM • Utilizar critérios de divisibilidade. • Identificar os múltiplos e os divisores de um número natural. • Resolver situações-problema envolvendo mínimo múltiplo comum. • Resolver situações-problema envolvendo máximo divisor comum. • Conceituar número primo e número composto. • Decompor um número natural em fatores primos. • Aplicar a decomposição em fatores primos para cálculo do mínimo múltiplo comum. MATEMÁTICA130 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 130CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 130 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 TE SA R A LF IA N / IS TO CK O Brasil é um grande produtor agrícola. Os produtos cultivados no país são usados para a nossa alimentação, para a alimenta- ção dos animais e são, ainda, enviados para outros países. Ao longo de nossa história, as plantações se multiplicaram pelo interior do país, que teve, e ainda tem, seu território dividido em um mosaico de plantações. Há regiões com plantações de café, outras com plantações de laranja, outras ainda com cana- viais, plantações de milho, soja e tantas outras culturas. Todas elas dividem espaço com o pouco que sobrou da mata nativa que existia por aqui, e que retiramos ao longo do tempo. Esta- mos ainda aprendendo que tão importante quanto produzir- mos nosso próprio alimento é manter, e até reflorestar, áreas de vegetação nativa, pois elas são indispensáveis para manter o equilíbrio entre todos os seres vivos, e certamente podem ajudar, por exemplo, na regulagem do clima, que é essencial para as plantações. 131CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 131CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 131 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 http://ses.Ao Atividade 55 MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL Aline fazia uma pesquisa sobre diferentes produtos que são cultivados na re- gião em que mora. Um dos produtos mais importantes dessa região é a laran- ja. Com o passar das décadas, seu avô Bernardo, que mora em um sítio perto da cidade, acompanhou toda a mudança na paisagem. Aline conversava sobre isso com ele em sua pesquisa. Ele dizia: — Vi os pés de laranja se multiplicarem nessa região. Cada pé que nasce e cresce tem os frutos multiplicados em seus galhos. Quando colhidos, são to- dos divididos em grandes caixas. — Interessante, vovô! Você usou palavras como “multiplicarem”, “multi- plicados” e “divididos”. Na escola, além dessa pesquisa sobre a agricultura em nossa região, também estou estudando os múltiplos e os divisores. Curioso usar essas palavras para falar de um assunto tão diferente da Matemática. Bernardo lembrava-se bem dos múltiplos, mas, querendo testar sua neta, perguntou: — Sim, os múltiplos. Você pode me falar o que entendeu? — Claro, vovô! Vou mostrar um exemplo sobre o que entendi. Pegando uma folha de papel, Aline anotou a tabuada do número 5 e mostrou quais são os primeiros múltiplos de 5. Esses são os primeiros múltiplos naturais do número 5. 5 × 0 = 0 5 × 1 = 5 5 × 2 = 10 5 × 3 = 15 5 × 4 = 20 5 × 5 = 25 5 × 6 = 30 5 × 7 = 35 5 × 8 = 40 5 × 9 = 45 5 × 10 = 50 Iniciar o estudo so- bre múltiplos com calma, sobretudo no momento de mostrar aos alunos a escrita em forma de conjunto numéri- co. Fazer a leitura da história de forma co- letiva; nela, destacar os trechos em que se faz uma relação indireta entre os ter- mos “multiplicaram” e “dividido” com o estudo na Matemá- tica. É um momento para perceberem a aplicação de termos comumente usados em outras áreas, que não sejam nu- méricas, mas que transmitem ideias semelhantes às que se relacionam a ope- rações com números. Destacar que o zero é sempre o primei- ro múltiplo natural de um número. Nesse caso, desta- car o termo “natu- ral”, pois, no 7o ano, os alunos poderão ampliar o conjunto para os múltiplos inteiros de um nú- mero, incluindo os números negativos. MATEMÁTICA132 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 132CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 132 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 — Perfeito! Gostei quando disse que são os “primeiros” múltiplos naturais de 5. Afinal, eles são... — Infinitos! – completou Aline. A professora falou que os múltiplos formam uma sequência de números infinita, ou seja, que não tem fim. — Exato! Vi que está entendendo. — Além disso, ela mostrou uma forma simplificada de escrever os múltiplos de um número. No caso dos múltiplos de 5, veja o que aprendi. Novamente, pegando uma folha, Aline fez a seguinte anotação: M(5) = {0, 5, 10 ,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ... } Aline e seu avô Bernardo continuaram uma gostosa conversa sobre os múltiplos de um número natural e, também, sobre a importância da multiplicação de vários produtos cultivados em diferentes regiões. Falaram também da necessidade de manutenção de florestas nativas, formando um delicado elo que fortalece a vida de todos os seres vivos no planeta. Aline anotou os múltiplos de 5 usando a escrita de um conjunto e, por isso, utilizou chaves. As reticências são usadas para indicar queo conjunto é infini- to. Podemos entender que são infinitos, pensando da seguinte forma: 1o Qualquer número natural multiplicado por 5 tem como resultado um múltiplo de 5. Veja, por exemplo, a seguinte multiplicação: 5 × 87 = 435 Então, 435 é um múltiplo de 5. Aliás, é múltiplo também de 87. Como existem infinitos números naturais para multiplicar por 5, temos infi- nitos múltiplos de 5. 2o Podemos escrever a sequência dos múltiplos de 5 começando pelo zero e seguir aumentando de 5 em 5: M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, …} +5 +5 +5 +5 +5 Como podemos sempre adicionar 5 unidades, a sequência não terá fim. 133CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 133CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 133 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 PARA IR ALÉM Múltiplos de um número natural Pensando nos múltiplos de um número natural, podemos fazer algumas ob- servações simples, mas importantes. 1. O zero é múltiplo de todos os números naturais. Afinal, qualquer nú- mero multiplicado por zero resulta, justamente, em zero. Exemplos a. 7 × 0 = 0. Então, 0 é múltiplo de 7. b. 12 × 0 = 0. Então, 0 é múltiplo de 12. c. 28 × 0 = 0. Então, 0 é múltiplo de 28. 2. Todo número natural é múltiplo dele mesmo. Afinal, qualquer número multiplicado por 1 resulta no próprio número. Exemplos a. 3 × 1 = 3. Então, 3 é múltiplo de 3. b. 11 × 1 = 11. Então, 11 é múltiplo de 11. c. 30 × 1 = 30. Então, 30 é múltiplo de 30. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO MOMENTO DE DESCOBERTAS! 1 No texto, mostramos algumas curiosidades sobre múltiplos. Há, porém, mais uma. Tente encontrar um número natural que não tenha infinitos múltiplos. Anote-o e explique a razão pela qual ele não tem infinitos múltiplos. Dica: há apenas um número com essa condição. ATIVE A MEMÓRIA! 2 Escreva, na forma de conjunto, os cinco primeiros múltiplos naturais de a. 4 b. 12 É o zero, pois qualquer número multiplicado por zero resulta em zero. Logo, o único múltiplo de zero é o próprio zero. 1. Neste exercício, pedir aos alunos que reflitam a res- peito do assunto proposto e, em se- guida, expressem suas opiniões, po- dendo redigir uma resposta única. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48...} MATEMÁTICA134 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 134CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 134 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 3 Na cidade onde Luara mora, há uma linha de metrô usada para transporte de passageiros. Na estação em que ela costuma embarcar, o metrô passa pontual- mente a cada 7 minutos. Às 8 horas, passa um metrô. Complete no quadro se- guinte todos os horários em que ele passará novamente nessa estação até o horário mais próximo das 9 horas e, depois, responda ao que se pede. a. Em relação à ideia dos múltiplos, o que se pode observar com relação aos mi- nutos representados nos visores dos relógios? b. Com base no último horário indicado, represente nos visores os próximos 4 horários. c. Os minutos nos horários serão sempre múltiplos de 7? 0 1 1 23 0 7 4 0 1 27 4 1 2 8 3 45 2 4 59 6 3. Neste exercício, a resposta deve indicar que “são múltiplos de 7”, e não “são os múltiplos de 7”. O uso do artigo “os” no segundo caso dá ideia de que todos os múltiplos estão representados, o que não é verdade. Essa informação é importante. Pode-se observar que todos os minutos são múltiplos de 7. Não. 135CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 135CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 135 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 4 Siga as dicas, descubra o número em cada caso e anote-o. a. Sou um múltiplo de 8, maior que 60 e menor que 70. b. Sou um múltiplo de 5, maior que 76 e menor que 81. c. Sou um múltiplo de 9, maior que 90 e menor que 100. 5 O dono de uma granja deve vender cartelas de ovos com 8 unidades cada uma. De acordo com essa ideia, complete o quadro seguinte corretamente e, depois, responda ao que de pede. QUANTIDADE DE CAIXAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total de ovos 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 Os números que completam o quadro são múltiplos de qual número? VAVLT/ ISTO CK EXERCÍCIOS PROPOSTOS ATIVE A MEMÓRIA! 6 Felipe escreveu os nove primeiros múltiplos de alguns números naturais, mas es- queceu-se de alguns. Complete as lacunas com os números que ficaram faltando. a. M(3) = {0, 3, 6, , 12, 15, , 21, ...} b. M(7) = {0, , 14, 21, , 35, , 56...} c. M(11) = { , 11, 22, , , 55, 66, , ...} d. M(15) = {0, 15, 30, 45, , 75, , , 120...} 7 Escreva um múltiplo de 3, e também de 4, que seja menor que 20. 4. Neste exercício, permitir que os alunos pensem em estratégias para chegar à resposta nos itens b e c. No item b, é espera- do que já tenham percebido o fato de que os múltiplos de 5 terminam em zero ou cinco. Esse fato será estudado, em detalhes, ao longo do capítulo, mas é possível ter essa per- cepção com base na tabuada. No item c, é possível adicionar 9 unidades em 90, sendo este um múl- tiplo conhecido na tabuada do 9. É o número 64. É o número 80. É o número 99. São múltiplos de 8. 7. Este exercício dá aos alunos a possi- bilidade de pensar na ideia desenvol- vida na próxima atividade, sobre múltiplos comuns. Na correção, pedir a eles que comentem o que pensaram. 9 18 24 7 28 42 0 33 44 77 88 60 90 105 É o 12. MATEMÁTICA136 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 136CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 136 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 MÚLTIPLOS COMUNS DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS Luana, professora de dança, está pensando em uma nova coreografia para a apresentação de um grupo de alunos. Atividade 56 Em parte da dança, os alunos deverão formar grupos de 3. Um grupo de 3 alunos de mãos dadas dançando. Então, o total de alunos será um múltiplo de 3. M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, ...} Em outra parte da dança, os alunos deverão for- mar grupos de 4. Um grupo de 4 alunos de mãos dadas dançando. Então, o total de alunos será, também, um múltiplo de 4. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16 ...} Orientar os alunos a fazer a leitura da história em quadrinhos com posterior discussão coletiva. A partir desse ponto, fazer a formalização do conceito de múltiplos comuns. 137CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 137CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 137 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Observe que a quantidade total de alunos que ela deverá ter é um múltiplo comum de 3 e de 4. Se ano- tarmos os primeiros múltiplos desses números, como a professora estava pensando, podemos verificar quais são esses múltiplos comuns: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48...} M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60...} Para destacar os múltiplos comuns de 3 e 4, usa- remos a sigla MC (múltiplos comuns): MC(3, 4) = {0, 12, 24, 36, 48...} Observe que os múltiplos comuns formam uma se- quência também infinita. Nesse caso, basta a profes- sora escolher a quantidade que for melhor dentre os múltiplos comuns. Então, como não posso ter zero aluno, poderei ter um grupo com 12, ou com 24, ou com 36, ou com 48, e assim por diante. ATIVE A MEMÓRIA! 1 Anote os conjuntos dos múltiplos de cada número pedido. Para o conjunto dos múltiplos comuns, anote, pelo menos, os três primeiros números. a. M(4) = M(5) = MC(4, 5) = b. M(4) = M(6) = M(8) = MC(4, 6, 8) = 1. A quantidade de múltiplos que será escrita em cada con- junto deste exercício pode variar; entre- tanto, à medida que os alunos tentarem escrever os três primeiros múltiplos comuns, como está na resposta, eles perceberão a neces- sidade de escrever mais múltiplos nos conjuntos anterio- res. Devem lembrar- -se de que o zero é sempre o primeiro múltiplo comum. Com o tempo, so- bretudo após co- nhecerem a ideia de mínimo múltiplo comum, poderão perceber que basta encontrar o mmc dos números para que seja possível compor o conjunto d o s m ú l t i p l o s comuns de dois ou mais números a partir do mmcdeles. {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...} {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45...} {0, 20 ,40...} {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52...} {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48...} {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48...} {0, 24, 48...} MATEMÁTICA138 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 138CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 138 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 MOMENTO DE DESCOBERTAS! 2 Felipe não estava se sentindo bem e foi ao médico. Embora não fosse nada sério, logo no primeiro dia de tratamento, ele deveria tomar um comprimido a cada 4 horas e um remédio em gotas a cada 2 horas. Ele começou a tomar os dois remédios à meia-noite, isto é, à zero hora. Durante todo o primeiro dia de tra- tamento, ele tomou os dois remédios de maneira correta. De acordo com essa ideia, faça o que se pede. a. Indique no quadro os horários do dia em que Felipe tomou os comprimidos. b. Os números que indicam os horários no quadro anterior são múltiplos de qual número natural? c. Indique no quadro os horários do dia em que tomou o remédio em gotas. d. Os números que indicam os horários no quadro anterior são múltiplos de qual número natural? e. Em quais horários ele tomou os dois medicamentos juntos? f. Complete o conjunto a seguir com os seis primeiros números. MC(2, 4) = g. Todos os múltiplos de 4 são também múltiplos de 2? h. Todos os múltiplos de 2 são também múltiplos de 4? 2. Este exercício apresenta outro exemplo prático, além do que foi apresentado no texto teórico, sobre a ideia de múltiplos comuns. Destacar esse fato, tornan- do o aprendizado mais significativo. 0h 4h 8h 12h 16h 20h 0h 2h 4h 6h 8h 10h 12h 14h 16h 18h 20h 22h São múltiplos de 2. São múltiplos de 4. Nos horários: 0h, 4h, 8h, 12h, 16h e 20h {0, 4, 8, 12, 16, 20...} Sim. Não. 139CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 139CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 139 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 ATIVE A MEMÓRIA! 3 Nos quadros a seguir, indicamos os números naturais de 0 até 39. Pinte os três quadrinhos de cada número, seguindo a legenda. O número zero já está pintado de acordo com essa ideia e serve de exemplo. Depois, faça o que se pede. Pintar de amarelo se for múltiplo de 2. Pintar de azul se for múltiplo de 3. Pintar de verde se for múltiplo de 6. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 a. Escreva cada um dos conjuntos pedidos a seguir de acordo com os números anteriores. • M(2) • M(3) • M(6) b. Quais são os números pintados com todas as três cores? 3. Neste exercício, a ideia é que os alunos observem os múlti- plos comuns de três números naturais. Eles devem perce- ber, também, que os múltiplos de 6 são múltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo. Esse fato pode auxi- liá-los na compreen- são do critério de divisibilidade por 6, apresentado em ati- vidades posteriores. Sugerimos fazer, com os alunos, a pintura dos quadri- nhos, evitando que pintem de forma incorreta. Caso te- nha disponível uma lousa eletrônica, projetar um modelo semelhante desses quadros e colorir com as cores da le- genda usando recur- sos da própria lousa. Pedir a eles que usem reticências nas representa- ções dos conjuntos numéricos e que representem to- dos os números do quadro, que sejam do conjunto, antes de indicarem as reticências, como é dado nas respostas. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...} São: 0, 6, 12, 18, 24, 30 e 36. MATEMÁTICA140 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 140CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 140 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 c. Os números pintados com as três cores são múltiplos comuns de 2, 3 e 6. Então, complete o conjunto MC(2, 3, 6) de acordo com os números do quadro. d. Observando os múltiplos comuns de 2, 3 e 6, indique V para verdadeiro e F para falso, em cada afirmação a seguir. • Todo múltiplo de 3 é também múltiplo de 2. ( ) • Todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2. ( ) • Todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 3. ( ) • Todo múltiplo de 6 é também múltiplo de 2 e de 3. ( ) MOMENTO DE DESCOBERTAS! 4 Existe um número que é múltiplo comum de todos os números naturais. Que número é esse? EXERCÍCIOS PROPOSTOS ATIVE A MEMÓRIA! 5 Vítor tem certa quantidade de figurinhas entre 50 e 60. Ele percebeu que pode formar grupos de 6 ou 9 figurinhas, sem haver sobra nos dois casos. Quantas figurinhas ele tem? 6 Quantos múltiplos comuns de 4 e 6 existem entre 20 e 40? a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 MC(2, 3, 6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...} É o zero. Ele tem 54 figurinhas (múltiplo comum de 6 e 9 entre 50 e 60). 6 . O b s e r v a n d o as sequências de múltiplos de 4 e 6, temos que 24 e 36 são múltiplos co- muns desses dois números e estão no intervalo entre 20 e 40. São, portanto, dois números. F V V V 141CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 141CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 141 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (mmc) Quando Luana, a professora de dança, pensou em montar sua coreografia, ela percebeu que poderia ter um único grupo com 12, 24, 36, 48 pessoas, ou mais. Porém, como o palco da apre- sentação não é muito grande, ela ficou com uma dúvida. A ideia de múltiplos comuns apareceu para a professora Luana quando pensou em formar grupos de 3 e, depois, de 4 alunos durante a dança, sem sobrar aluno. Por isso, pensou em múltiplos comuns de 3 e 4, que são: MC(3, 4) = {0, 12, 36, 48, ...} Observe que ela quer a menor quantidade de alunos para ensaiar. Então, devemos procurar no conjunto anterior o mínimo múltiplo comum de 3 e 4. Logo, vemos que é o zero. A professora, porém, não pode ter zero aluno, não é mesmo? Então, seguimos para o primeiro múltiplo comum que não seja o zero, e vemos que é o 12. Matematicamente, dizemos que: mmc(3, 4) = 12, em que lemos: o mínimo múltiplo comum de 3 e 4 é 12. De maneira geral, temos o que segue. Considerando dois ou mais números naturais diferentes de zero, chamamos de mínimo múltiplo comum (mmc) desses números o menor de todos os seus múltiplos comuns, diferente de zero. É importante perceber que, apenas no cálculo do mmc, desconsideramos o zero. Afinal, ele sempre seria o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números e, nesse caso, essa informação não nos serviria para nada, como não serviu para a professora de dança planejar sua aula já que não é possível ter zero aluno. No entanto, para indicar apenas os múltiplos naturais de um número, ou até mesmo os múltiplos comuns, indicamos o zero, como nas atividades anteriores. Atividades 57 e 58 Qual será a quantidade mínima de alunos que poderei ter na turma? Reforçar o fato de que o zero não é con- siderado no cálculo do mmc, mas que ainda deve ser indi- cado como o primei- ro múltiplo natural de um número, ou o primeiro múltiplo comum de dois ou mais números. Comentar também que há maneiras alternativas de cál- culo do mmc, mas que começarão o estudo pela forma mais elementar, que consiste em escrever os múlti- plos dos números até encontrar o pri- meiro múltiplo co- mum que não seja o zero. Em estudo posterior, os alunos poderão fazer uso da decomposição em fatores primos. Entretanto, embo- ra possa parecer mais cansat ivo, neste momento, é importante que eles compreendam o real significado de mínimo múlti- plo comum, e só poderão ter esse entendimento des- tacando os primei- ros múltiplos de cada número e pro- curando o mínimo que seja comum. MATEMÁTICA142 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 142CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 142 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 Há algumas maneiras de calcular o mmc de dois ou mais números. Nesta atividade, falaremos sobre a primeira delas, que consiste em escrever os múltiplosdos números até encontrar o primeiro múltiplo comum que não seja o zero. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ENTRE CONVERSAS... 1 Escreva os seis primeiros múltiplos em cada conjunto pedido. Depois, juntamen- te com um colega, faça o que se pede. M(2) = M(4) = M(6) = M(8) = a. Observando a sequência de múltiplos, encontre o mínimo múltiplo comum em cada item a seguir. mmc(2, 4) = mmc(2, 6) = mmc(2, 8) = b. Os números 2, 4, 6 e 8 são pares. Em cada cálculo do item anterior, você deveria indicar o mínimo múltiplo comum de 2 e outro número par maior que ele. Será que, nesse caso, o mmc será sempre o maior dos dois números dados? c. Será que o mmc de dois números pares será sempre o maior deles? Para res- ponder, calcule o que se pede e escreva uma conclusão. mmc(6, 8) = ATIVE A MEMÓRIA! 2 No bairro onde Henrique mora, passa um caminhão de lixo comum a cada 3 dias. Além dele, a cada 5 dias, passa um caminhão que recolhe material reciclável. Se hoje os dois caminhões passam no bairro dele, daqui a quantos dias, no mínimo, os dois vão passar no bairro no mesmo dia? 6 {0, 2, 4, 6, 8, 10...} {0, 6, 12, 18, 24, 30...} {0, 4, 8, 12, 16, 20...} {0, 8, 16, 24, 32, 40...} 4 8 Sim. 24 Não. Para isso ocorrer, um tem de ser múltiplo do outro. 1. Este exercício pro- move uma breve re- flexão. É importante que os alunos discu- tam as questões em duplas. Durante a correção, promover uma rápida discus- são coletiva acerca das conclusões. Reforçar o fato de que, na Matemáti- ca, é preciso tomar cuidado ao querer generalizar algo apenas com alguns poucos exemplos numéricos. Os alu- nos devem perceber que, como todo nú- mero par é múltiplo de 2, o mmc de 2 e outro número par, maior que ele, será sempre o número par que não seja o 2. É um tipo de ques- tionamento que tem a intenção de despertar o senso in- vestigativo e a curio- sidade da turma. 2. Devemos pensar no mmc de 3 e 5. M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} M(5) = {0, 5, 10, 15, ...} mmc(3, 5) = 15 Os caminhões vão passar no bairro no mesmo dia daqui a 15 dias. 143CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 143CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 143 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 3 Calcule o que se pede em cada item. a. mmc(4, 6) = b. mmc(8, 9) = c. mmc(12, 20) = d. mmc(4, 6, 9) = 4 Uma costureira faz diferentes modelos de vestido. Há um modelo preto, que usa apenas 2 botões, um modelo branco, que usa 3 botões e, ainda, um modelo azul, que usa 4 botões. Os botões são sempre os mesmos, em qualquer modelo. Ela quer saber qual é a menor quantidade de botões que deve ter para fazer apenas vestidos pretos, brancos ou azuis, sem sobrar botões. Sobre essa situação, faça o que se pede. a. Quantos botões, no mínimo, ela deverá ter? M(4) = {0, 4, 8, 12...} M(6) = {0, 6, 12...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60...} M(20) = {0, 20, 40, 60...} M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...} M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36...} M(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72...} Ela deverá ter, no mínimo, 12 botões. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12...} M(4) = {0, 4, 8, 12...} mmc(2, 3, 4) = 12 12 60 72 36 MATEMÁTICA144 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 144CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 144 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 b. Usando a quantidade mínima de botões, calcule quantos vestidos ela poderá fazer escolhendo cada uma das três cores. 5 Bianca e Jorge são amigos e, às vezes, encontram-se em um parque para treinar caminhada em uma pista. Bianca consegue completar cada volta em um tempo de 9 minutos, mas Jorge completa a mesma volta em um tempo de 6 minutos. Eles começaram a caminhar juntos no início da pista, que fica em frente ao por- tão de entrada do parque. Após quantos minutos, no mínimo, os dois voltarão a se encontrar nesse mesmo ponto? 6 O professor Felipe fez um desafio para seus alunos: — Tenho comigo um pacote de folhas de papel sulfite. Posso organizar as folhas em grupos de apenas 12 folhas ou em grupos de apenas 15 folhas e, nos dois casos, não sobrarão folhas. Quantas folhas eu tenho? Um de seus alunos comentou: — Mas, com essas informações, podemos ter mais de uma resposta. — Tem razão. Devo dizer que a quantidade de folhas no pacote é a menor possí- vel para fazer essas divisões que citei. E então? Quantas folhas há no pacote? Há 60 folhas no pacote. M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60...} M(15) = {0, 15, 30, 45, 60...} mmc(12, 15) = 60 Ela poderá fazer 6 vestidos pretos, ou 4 vestidos brancos ou, ainda, 3 vestidos azuis. M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45...} mmc(6, 9) = 18 Vestidos pretos: 12 ÷ 2 = 6 Vestidos brancos: 12 ÷ 3 = 4 Vestidos azuis: 12 ÷ 4 = 3 Eles voltarão a se encontrar após 18 minutos. 145CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 145CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 145 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7 O funcionário de um supermercado está empilhando caixas e latas, conforme a figura. Cada lata tem 9 cm de altura, e cada caixa tem 12 cm de altura. Após colocar algumas latas e caixas, verificou que as duas pilhas ficaram na mesma altura. De acordo com essa ideia, responda ao que se pede. a. Qual é a menor altura igual que essas duas pilhas podem ter? b. Quantas latas estarão empilhadas ao atingir a altura indicada no item anterior? c. Quantas caixas estarão empilhadas ao atingir a mesma altura da pilha de latas? A menor altura é 36 cm. M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72...} mmc(9, 12) = 36 Estarão empilhadas 4 latas. 36 : 9 = 4 Estarão empilhadas 3 caixas. 36 : 12 = 3 MATEMÁTICA146 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 146CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 146 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ATIVE A MEMÓRIA! 8 Qual é o mínimo múltiplo comum de 3, 4 e 9? 9 Dois guardas fazem ronda em uma grande fábrica no período da noite. Um de- les passa pela portaria a cada 10 minutos, e o outro passa pela portaria a cada 12 minutos. Às 20 horas, eles passaram juntos pela portaria. De acordo com es- sas informações, responda ao que se pede. a. Após quantos minutos, no mínimo, eles voltarão a passar juntos pela portaria? b. Qual será o próximo horário em que voltarão a se encontrar após as 20 horas? 10 (Avaliação Nacional) Letícia tem uma floricultura. Ela quer comprar rosas bran- cas e vermelhas, sendo a mesma quantidade de cada cor. Além disso, as rosas vermelhas poderão ser distribuídas, sem sobra, em grupos de 4 flores cada um, e as rosas brancas poderão ser distribuídas, também sem sobra, em grupos de 9 flores cada um. Para isso, a quantidade mínima de flores de cada cor que ela deve comprar é a. 13 b. 14 c. 28 d. 36 e. 72 É 36. M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36...} M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36...} Após 60 minutos (ou 1 hora). M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70...} M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60...} mmc(10, 12) = 60 Às 21 horas (20 + 1 = 21). 10. Neste exercício, devemos pensar no mínimo múltiplo comum de 4 e 9, pois a quantidade de cada tipo de flor deve ser possível dividir exatamente por 4 ou 9, sendo a menor quantidade possível. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36...} M(9) = {0, 9, 18, 27, 36...} mmc(4, 9) = 36 Portanto, cada grupo de rosas deverá ter 36 unidades. 147CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 147CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 147 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO NATURAL Rebeca faz sabonetes caseiros de vários aromas e cores. Ela é muito caprichosa. Ontem ela fez 18 uni- dades e quer montar pacotes com a mesma quantidade cada um para vender, sem sobra. Para descobrir de quais formas diferentes ela poderia agrupar os 18 sabonetes, ela decidiu testarvárias divisões possíveis. Veja suas divisões. – 18 1 1 18 08 – 8 0 – 18 2 18 9 0 – 18 3 18 6 0 – 18 4 16 4 4 – 18 5 15 3 3 – 18 6 18 3 0 – 18 7 14 2 4 – 18 8 16 2 2 – 18 9 18 2 0 – 18 10 10 1 8 – 18 11 11 1 7 – 18 12 12 1 6 – 18 13 13 1 5 – 18 14 14 1 4 – 18 15 15 1 3 – 18 16 16 1 2 – 18 17 17 1 1 – 18 18 18 1 0 Observe que apenas 6 divisões são exatas (resto zero). Sobre elas, Rebeca pode chegar às seguintes conclusões: • pode montar 1 caixa com 18 sabonetes; • pode montar 2 caixas com 9 sabonetes cada uma; • pode montar 3 caixas com 6 sabonetes cada uma; • pode montar 6 caixas com 3 sabonetes cada uma; • pode montar 9 caixas com 2 sabonetes cada uma; • pode montar 18 caixas com 1 sabonete cada uma. Atividade 59 Д И Н А О РЛ О ВА / IS TO CK Conversar com os alunos sobre o fato de que o zero não é considerado no cál- culo do mmc, mas que ainda deve ser indicado como o primeiro múltiplo natural de um nú- mero, ou o primeiro múltiplo comum de dois ou mais núme- ros, estimulando-os a expressar oral- mente o que sabem sobre o assunto. MATEMÁTICA148 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 148CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 148 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 Por essa razão, dizemos que 18 é divisível por 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Em outras pa- lavras, dizemos que os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9 e 18. Matematicamente, indicamos assim: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Os divisores de um número natural são aqueles que dividem esse número com exatidão, sem sobra. Há formas diferentes de descobrir os divisores de um número. Uma delas é fazer como Rebeca e dividir o número por todos os números naturais menores ou iguais a ele. Nesse caso, para descobrir os divisores de 20, deveríamos di- vidir 20 por todos os números naturais de 1 a 20, para verificar quais divisões são exatas. Mas pode ser um pouco trabalhoso, não é mesmo? Existe, porém, um caminho curioso e mais curto. Basta encontrar todos os pares de números naturais que multiplicados resultam em 20: 1 × 20 = 20 2 × 10 = 20 4 × 5 = 20 Os fatores 1, 2, 4, 5, 10 e 20 indicados nessas três multiplicações são, justa- mente, os divisores de 20. Observe que, nesse caso, não precisamos indicar as outras multiplicações com a ordem dos fatores trocadas, pois são os mesmos fatores. Temos algumas curiosidades sobre os divisores de um número natural. 1. O número 1 é divisor de qualquer número natural. Afinal, qualquer número dividido por 1 resulta no próprio número. Exemplos a. 9 ÷ 1 = 9. Logo, 1 é divisor de 9. b. 30 ÷ 1 = 30. Logo, 1 é divisor de 30. 2. Qualquer número é divisor dele mesmo, exceto o zero. Afinal, qual- quer número dividido por si mesmo resulta em 1. Exemplos a. 7 ÷ 7 = 1. Logo, 7 é divisor de 7. b. 13 ÷ 13 = 1. Logo, 13 é divisor de 13. 3. Zero não é divisor de qualquer número. Afinal, não existe divisão por zero. 4. Os divisores de um número natural formam uma sequência que tem fim, ou seja, é finita. Antes de apresen- tar as curiosidades sobre os divisores de um número, questionar os alu- nos sobre as 4 in- formações citadas, antes de formalizar a explicação. Este é o momento oportuno para apli- car o exercício 1 da seção “Para conferir”. 149CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 149CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 149 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO MUNDO DO TRABALHO Médicos e medicamentos Em receitas médicas, muitos medicamen- tos são receitados para intervalos de 2, 4, 6, 8, 12 ou 24 horas. É comum mé- dicos receitarem remédios para serem tomados, por exemplo, de 6h em 6h, ou de 8h em 8h. Porém, não é comum receitar remédios para serem tomados de 5h em 5h ou de 7h em 7h. Os médicos seguem o que está indi- cado na bula e que foi desenvolvido por farmacêuticos na indústria. Isso pode ser explicado pelos divisores, afinal, um dia tem 24 horas. Pensando nos divisores de 24, temos: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Então, como 8 é um divisor de 24, tomando um remédio de 8h em 8h, por exemplo, ele será administrado sempre nos mesmos horários. Começando à zero hora, veja com fica: 1o dia 0h – 8h – 16h 2o dia 0h – 8h – 16h 3o dia 0h – 8h – 16h Mas, se fosse receitado para tomar de 7h em 7h, veja como ficaria: 1o dia 0h – 7h – 14h – 21h 2o dia 4h – 11h – 18h 3o dia 1h – 8h – 15h – 22h Em cada dia, ele seria administrado em horários diferentes. Uma bagunça, não é mesmo? Por isso, os divisores podem nos ajudar a organizar nossa rotina de horários. SI M PL EH A PP YA R T/ IS TO CK MATEMÁTICA150 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 150CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 150 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ENTRE CONVERSAS... 1 Junte-se a um colega, complete as multiplicações em cada quadro com os pa- res de números corretos e descubra quais são os divisores do número indicado, completando também o conjunto desses divisores. Siga a dica do texto teórico e não anote os mesmos fatores. Como exemplo, se anotar 3 × 4, não escreva 4 × 3, pois são os mesmos números. Além disso, anote os primeiros fatores em ordem crescente, para organizar o pensamento. a. 12 × = 12 × = 12 × = 12 D(12) = b. 30 × = 30 × = 30 × = 30 × = 30 c. 25 × = 25 × = 25 d. 36 × = 36 × = 36 × = 36 × = 36 × = 36 D(36) = ATIVE A MEMÓRIA! 2 Pensando no número 84, e sem fazer cálculos, anote qual o seu menor e seu maior divisor. D(25) = D(30) = O menor divisor é 1 e o maior é 84 (o próprio número). 1 1 1 1 2 2 2 5 3 3 3 5 4 6 12 30 36 25 6 15 18 5 4 10 12 6 9 6 {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} {1, 5, 25} 1. Este exercício deve ser resolvido em duplas. Contudo, se julgar mais apro- priado, propor um trabalho individual neste momento. A ordem de escrita dos fatores pode mudar de linha para linha. No entanto, pedir aos alunos que sigam o comando de anotar os pri- meiros fatores em ordem crescente. Dessa forma, dimi- nui a possibilidade de se repetir ou de se esquecer de al- gum fator. 151CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 151CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 151 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 MOMENTO DE DESCOBERTAS! 3 Leia o seguinte diálogo entre os amigos Paulo e Marcela e, depois, responda ao que se pede. Um número será chamado perfeito se for igual à soma de todos os seus divisores próprios. Divisor próprio de um número é um divisor diferente do número. (O número 2 é um divisor próprio de 8.) Ah, eu entendi! O número 6, por exemplo, é um número perfeito, pois seus divisores próprios são os números 1, 2 e 3, e podemos verificar que 6 = 1 + 2 + 3. Qual dos números a seguir pode ser considerado um número perfeito? 30 28 12 25 12: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 e 16 ≠ 12 (12 não é perfeito.) 25: 1 + 5 = 6 e 6 ≠ 25 (25 não é perfeito.) 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 e 28 = 28 (28 é perfeito.) 30: 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 42 e 42 ≠ 30 (30 não é perfeito.) Apenas o 28. 3. A ideia sobre número perfeito, mostrada neste exercício, é apenas uma curiosidade. É uma oportunida- de para os alunos treinarem o cálculo dos divisores de um número de maneira mais lúdica. Antes de eles resolverem o exercício, certifi- car-se de que todos compreenderam o conceito sobre nú- mero perfeito. Ressaltar que to- dos os divisores naturais de um nú- mero, com exceção do próprio número, são divisores pró- prios desse número. MATEMÁTICA152 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 152CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 152 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 ATIVE A MEMÓRIA! 4 A professora Letícia tem uma turma com 32 alunos. Ela sabe que pode formar gru- pos iguais, sem sobra, mas que há casos em que não consegue. Para formar trios (grupos de 3 alunos), por exemplo, haverá sobra de aluno, pois 3 não é divisor de 32. Pensando nisso, faça o que se pede. a. Anote sugestõesde grupos que ela pode formar sem sobrar alunos. b. Verifique se os colegas fornecerão mais sugestões, além das que você anotou, e complete a resposta anterior se for necessário. c. Qual é a relação dos números escritos no item a com os divisores de 32? d. Anote a quantidade de alunos de sua turma. Depois, faça como a professora Letícia e anote todas as possibilidades de grupos iguais que podem ser forma- dos em sua turma, sem sobra, incluindo grupos de 1 aluno e um único grupo com todos. EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENTRE CONVERSAS... 5 Identifique todos os pares de números que multiplicados resultem em 40. De- pois, escreva o conjunto com todos os divisores naturais de 40. 6 (Avaliação Nacional) Alguns números podem ser divididos em grupos iguais, sem sobra. Como exemplo, 10 pode ser dividido por 1, 2, 5 ou 10. Esses quatro números são também os divisores naturais de 10. Beatriz queria descobrir, como curiosidade, quais são os divisores de 36 que sejam, também, números pares. Se ela pensar corretamente, deverá concluir que a quantidade de divisores natu- rais pares de 36 é a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 D(40) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40} 6. Neste exercício, podemos identi- ficar os divisores naturais de 36 ob- servando todos os pares de números naturais que, multi- plicados, resultam em 36: 1 × 36 = 36 2 × 18 = 36 3 × 12 = 36 4 × 9 = 36 6 × 6 = 36 D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Desses divisores, são pares: 2, 4, 6, 12, 18 e 36. Logo, são 6 divisores naturais pares de 36. 5. 1 × 40 = 40 2 × 20 = 40 4 × 10 = 40 5 × 8 = 40 Resposta pessoal. Contudo, são esperadas as seguintes possibilidades: “grupo” de 1 aluno, grupos de 2, 4, 8, 16 alunos ou um único grupo com 32 alunos. 4. Neste exercí- cio, destacar uma possível aplicação prática do conceito de divisores em sala de aula. De- pendendo da quan- tidade de alunos da turma, a reflexão pedida no i tem d pode servir de base para o estu- do sobre números primos, ainda nes- te capítulo. Neste momento, contu- do, não faremos essa formalização. Eles são divisores de 32. Resposta com base na quantidade de alunos da turma. 153CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 153CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 153 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 DIVISORES COMUNS DE DOIS OU MAIS NÚMEROS NATURAIS Em muitas situações de nosso cotidiano, precisamos dividir ou pensar nos divisores de um número, não é mesmo? Em sua turma, por exemplo, se o professor quiser formar grupos, sem sobra, deverá pensar nos divi- sores da quantidade de alunos da turma. O professor Felipe, por exemplo, tem duas tur- mas de 5o ano. Na turma do 5o ano A, ele tem 32 alunos e, na turma do 5o ano B, 28 alunos. Ele quer fazer um trabalho com os alunos das duas tur- mas, que serão divididos em grupos iguais, sem sobra. Os grupos devem ter a mesma quantidade de alunos nas duas turmas. Assim, se ele formar grupos de 4 alunos no 5o ano A, os alunos do 5o ano B também deverão ser divididos em grupos de 4 alunos. Então, se o objetivo é dividir as duas turmas em grupos iguais, sem sobra, o professor Felipe deverá pensar nos divisores naturais de 32 e 28: D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28} D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32} Como os grupos devem ser iguais, com mesma quantidade de alunos, devemos então pensar nos divisores comuns de 28 e 32, que destacamos a seguir. DC(28, 32) = {1, 2, 4} Atividade 60 5o ano A: 32 alunos 5o ano B: 28 alunos Os grupos devem ser iguais nas duas turmas, sem sobra. Então, poderei formar gru- pos de 1 aluno, de 2 alunos ou de 4 alunos nas duas turmas, sem sobra. A situação descrita no texto teórico pode ser proposta para o grupo pen- sar no início da aula. Com base nos comentários dos alunos, desenvol- ver a ideia de divi- sores comuns. MATEMÁTICA154 CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 154CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 154 06/12/22 16:0406/12/22 16:04 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO Assim como, no estudo dos múltiplos, há os múltiplos comuns, também te- mos, no estudo dos divisores, os divisores comuns. A princípio, estudaremos esse assunto relacionando os divisores de cada número dado e, depois, pro- curando aqueles que sejam comuns. Veja mais um exemplo sobre os divisores comuns de 12, 18 e 30: D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} DC(12, 18, 30) = {1, 2, 3, 6} ENTRE CONVERSAS... 1 Junte-se a um colega, faça os cálculos necessários em seu caderno e escreva os conjuntos de divisores e divisores comuns pedidos em cada item. a. D(8) = D(9) = DC(8, 9) = b. D(18) = D(20) = DC(18, 20) = c. D(16) = D(28) = DC(16, 28) = d. D(12) = D(24) = D(30) = DC(12, 24, 30) = 1. É aconselhável que este exercício seja resolvido em duplas, para que os alunos possam reforçar a ideia discutida na teoria sobre o conceito de divisores comuns. Na sequência, a ideia pode ser aplicada em outras situações- -problema, além do exemplo indicado no texto teórico. {1, 2, 4, 8} {1, 3, 9} {1} {1, 2, 3, 6, 9, 18} {1, 2, 4, 5, 10, 20} {1, 2} {1, 2, 4, 8, 16} {1, 2, 4, 7, 14, 28} {1, 2, 4} {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} {1, 2, 3, 6} 155CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 155CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 155 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 2 Junte-se a um colega e leiam com atenção cada pergunta, indicando a conclusão a que chegaram. Depois, com o auxílio do professor, verifiquem se as conclusões estão corretas. a. Qual é o único divisor comum de todos os números naturais? b. Quais são os únicos divisores comuns de todos os números pares? ATIVE A MEMÓRIA! 3 Em uma floricultura, há 24 rosas brancas e 18 rosas vermelhas. Fátima trabalha na floricultura e quer montar enfeites com uma mesma cor de rosa cada um, sempre com a mesma quantidade, e sem sobra. Pensando nessa ideia, responda ao que se pede. a. Em grupos de quantas rosas brancas Fátima poderá distribui-las? b. Em grupos de quantas rosas vermelhas Fátima poderá distribuí-las? c. Pensando na ideia de que os grupos devem ser todos da mesma quantidade, sem misturar cores e sem sobra, em grupos de quantas rosas Fátima poderá pensar em distribuir todas elas? Em grupos de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24 rosas. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Em grupos de 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 rosas. D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 2. Este exercício deve ser discutido em duplas, mas, na correção, promover uma discussão co- letiva. Nessa faixa etária, pode ser um tanto abstrato generalizar ideias, mas os alunos de- vem perceber os seguintes fatos: • Se o número 1 é o menor divisor de todo número n a tu ra l , co n s e - quentemente, será divisor comum de todos os números naturais. Como a pergunta indica que há um único divisor comum de todos os números naturais, deduz-se que seja o 1. É uma situação diferente de perguntar se o 1 seria o único divisor comum. Reforçar esse fato. • Todo número par é múltiplo de 2 (si- tuação já observa- da nas atividades sobre múltiplos). Logo, será divisor comum de todo nú- mero par, além do 1. É o 1. São o 1 e o 2. Nos divisores comuns de 18 e 24: grupos de 1, 2, 3 ou 6 rosas. MATEMÁTICA156 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 156CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 156 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ATIVE A MEMÓRIA! 4 Considerando os números 15 e 40, responda ao que se pede. a. Quais são os divisores naturais de 15? b. Quais são os divisores naturais de 40? c. Exatamente dois divisores de 15 não são divisores de 40. Quais são esses números? d. Exatamente seis divisores de 40 não são divisores de 15. Quais são esses números? e. Há apenas dois divisores comuns entre 15 e 40. Quais são esses números? 5 Um total de 32 brigadeiros e 24 paçoquinhas serão organizados em pacotes com a mesma quantidade de doces cada um, semmisturar tipos de doce e sem sobras. Quantas unidades de cada doce poderão ser colocadas em cada pacote? Anote todas as possibilidades. Poderão ser colocadas 1, 2, 4 ou 8 unidades de cada doce em cada pacote. D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} DC(32, 24) = {1, 2, 4, 8} São os números 1, 3, 5 e 15. São os números 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40. São os números 3 e 15. São os números 2, 4, 8, 10, 20 e 40. São os números 1 e 5. 157CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 157CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 157 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃOMÁXIMO DIVISOR COMUM (mdc) Na situação mostrada no texto teórico da atividade 60, o professor Felipe en- controu grupos de mesma quantidade de alunos que ele pode formar com suas duas turmas de 5o ano. DC(28, 32) = {1, 2, 4} DC(28, 32) = {1, 2, 4} Eu descobri que posso formar grupos de 1, 2 ou 4 alunos. Então, se eu quiser a maior quantidade de alunos por grupo, serão 4 alunos em cada grupo. Atividades 61 e 62 Felipe está indicando o máximo divisor comum dos números 28 e 32, que é a quantidade de alunos das duas turmas. Matematicamente, podemos indi- car assim: mdc(28, 32) = 4 (Lemos: o máximo divisor comum de 28 e 32 é 4.) Considerando dois ou mais números naturais diferentes de zero, chamamos de máximo divisor comum (mdc) desses números o maior de todos os seus divisores comuns. Para identificar o máximo divisor comum, anotamos os divisores co- muns desses números e localizamos o maior deles. Há, ainda, outras for- mas de calcular, as quais você poderá usar com base em outras ferramentas de cálculo, que ainda serão apresentadas. A situação descri- ta no texto teórico pode ser proposta para que o grupo reflita no início da aula. Com base nos comentários dos alunos, desenvol- ver a ideia de divi- sores comuns. MATEMÁTICA158 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 158CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 158 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ENTRE CONVERSAS... 1 Junte-se a um colega, determine o máximo divisor comum dos números indi- cados em cada item. Antes, complete corretamente cada conjunto de divisores pedido. Use o quadro em branco em cada item para os cálculos necessários. a. D(12) = D(16) = DC(12, 16) = mdc(12, 16) = b. D(20) = D(30) = DC(20, 30) = mdc(20, 30) = 1. Neste exercício, a determinação dos divisores naturais de um número pode ser feita por meio das divisões ou pro- curando os pares de números que, mul- tiplicados, resultam no número dado (do qual se quer obter os divisores). Ressaltar a impor- tância de os alu- nos dominarem as tabuadas. {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 4, 8, 16} {1, 2, 4} 4 {1, 2, 4, 5, 10, 20} {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} {1, 2, 5, 10} 10 159CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 159CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 159 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 c. D(14) = D(21) = DC(14, 21) = mdc(14, 21) = d. D(12) = D(24) = D(36) = DC(12, 24, 36) = mdc(12, 24, 36) = {1, 2, 7, 14} {1, 3, 7, 21} {1, 7} 7 {1, 2, 3, 4, 6, 12} {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} {1, 2, 3, 4, 6, 12} 12 MATEMÁTICA160 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 160CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 160 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 2 Em atividades anteriores, apresentamos a ideia do mínimo múltiplo comum (mmc) e, nesta atividade, discutimos a ideia do máximo divisor comum (mdc). As ideias de mínimo e máximo podem ser confundidas caso não se compreenda bem o conceito de cada uma delas. Com os colegas e com o auxílio do professor, responda às perguntas que seguem. a. Por que não existe um “máximo múltiplo comum” de dois ou mais números? b. Por que é possível encontrar um máximo divisor comum de dois ou mais números? c. Qual seria o “mínimo divisor comum” de dois ou mais números? d. É possível que o máximo divisor comum de dois números seja 1? Se a resposta for afirmativa, dê um exemplo. 2. Neste exercício, propor aos alunos uma reflexão sobre o fato de não se calcular o “máximo múltiplo comum” ou o “mínimo divi- sor comum”. Essa confusão não é rara entre e les . Entretanto, a par- t ir do momento em que eles com- preenderem o real significado de cada uma dessas siglas, poderão minimizar esse tipo de confu- são. É um exercício para ser comenta- do coletivamente. Sugestão de resposta: Os múltiplos de um número natural formam uma sequência infinita. Logo, não há o maior múltiplo de um número. Consequentemente, não é possível encontrar um “máximo múltiplo comum” de dois ou mais números. Sugestão de resposta: Os divisores de um número formam uma sequência finita. Logo, há sempre um maior divisor de um número incluindo o próprio número). Portanto, é possível encontrar um máximo divisor comum de dois ou mais números. Seria sempre o 1. Sim. Exemplo: mdc(2, 3) = 1. 161CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 161CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 161 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 3 Veja o raciocínio usado por Beatriz para calcular o máximo divisor comum de 16 e 24. Após observar com atenção o raciocínio de Beatriz, discuta com um colega de turma os questionamentos a seguir, registrando o que pensam a respeito do assunto. Ao terminarem, façam uma discussão coletiva com toda a turma e o professor, confirmando o raciocínio. a. Na opinião de vocês, o raciocínio de Beatriz faz sentido? b. Se, em vez de registrar apenas os divisores de 16, ela registrasse apenas os di- visores de 24, seria possível descobrir que 8 é o máximo divisor comum de 16 e 24, seguindo a mesma linha de raciocínio? mdc(16, 24) = ? mdc(16, 24) = ? D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} Preciso determinar o máxi- mo divisor comum de 16 e de 24. Já sei! Vou anotar apenas os divi- sores de um dos números, como o 16. mdc(16, 24) = ? mdc(16, 24) = ?D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} D(16) = {1, 2, 4, 8, 16} mdc(16, 24) = 8 Portanto... Agora, começando pelo maior divisor, em ordem decrescente, verifico qual é, também, divisor de 24. Logo, vejo que é o 8. 3. Este exercício apresenta um mé- todo alternativo de cálculo do mdc, mais simplificado, pelo fato de os di- visores de apenas um dos números se relacionarem. Ao fazer a corre- ção, ressaltar que, caso se conheçam os divisores de um dos números, basta destacar aqueles que também sejam divisores do outro número (divisores c o m u n s ) , r e c o - nhecendo qual é o maior. Reforçar que, qualquer que seja o método emprega- do, é necessário ter muita atenção. Resposta pessoal. Sim. MATEMÁTICA162 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 162CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 162 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 c. Essa forma de cálculo parece ser mais simples que a tradicional, pois não é necessário indicar os divisores dos dois números. Qual pode ser um problema nessa forma de cálculo? ATIVE A MEMÓRIA! 4 Um artesão tem dois pedaços de barbante. Um deles é vermelho, com compri- mento de 80 cm. O outro é amarelo, com comprimento de 32 cm. Ele quer cortar os dois pedaços de barbante em pedaços menores, todos iguais no comprimen- to, e sem sobra. Além disso, ele quer o maior tamanho possível de barbante, medido em centímetros. Sabendo disso, responda ao que se pede. a. Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço de barbante? b. Quantos pedaços de barbante de cada cor ele terá? Ele terá 5 pedaços de barbante vermelho e 2 pedaços de barbante amarelo. Vermelho: 80 ÷ 16 = 5 Amarelo: 32 ÷ 16 = 2 Cada pedaço de barbante deverá ter 16 cm. D(80) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32} mdc(80, 32) = 16 Resposta pessoal. Sugestão de resposta: O problema pode ser semelhante ao cálculo completo, ou seja, esquecer de indicar algum divisor, ou indicá-lo, mas não concluir que seja divisor do outro número também. 163CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb163CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 163 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENTRE CONVERSAS... 5 Calcule o máximo divisor comum que se pede em cada item. De- pois, com os colegas e o professor, responda ao que se pede. mdc(4, 8) mdc(6, 12) mdc(5, 10) mdc(4, 12) a. Em cada cálculo anterior, é correto afirmar que o número menor é divisor do número maior? b. Em cada cálculo anterior, é correto afirmar que o máximo divisor comum dos dois números é o menor deles? c. O que podemos deduzir usando as duas ideias anteriores? VOCABULÁRIO Deduzir: concluir algo pelo raciocínio. D(5) = {1, 5} D(10) = {1, 2, 5, 10} mdc(5, 10) = 5 D(4) = {1, 2, 4} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} mdc(4, 12) = 4 D(4) = {1, 2, 4} D(8) = {1, 2, 4, 8} mdc(4, 8) = 4 D(6) = {1, 2, 3, 6} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} mdc(6, 12) = 6 5. Este exercício leva os alunos a pensar em casos es- pecíficos de cálculo do mdc. Permitir que todos discutam coletivamente as situações indicadas para que cheguem a uma conclusão lógica sobre o que se pede. Entre dois números, quando o menor deles é divisor do maior, o máximo divisor comum será o menor dos dois números. Sim. Sim. MATEMÁTICA164 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 164CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 164 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ATIVE A MEMÓRIA! 6 Calcule o que se pede em cada item. a. mdc(18, 24) b. mdc(15, 30) 7 Ao perguntarem a idade de seu filho, a professora Verônica respondeu: — A idade dele, em anos, é o máximo divisor comum de 18 e 27. Qual é, então, a idade do filho da professora Verônica? 8 (Avaliação Nacional) Um cozinheiro tem dois sacos com farinha de trigo, sendo um com 24 kg e o outro com 28 kg. Ele quer dividir a quantidade de cada saco em porções menores, sendo todas iguais entre si, e sem sobra, tendo a maior quantidade possível de farinha, em quilogramas, em cada porção. Se fizer dessa forma, o total de porções que ele poderá formar será a. 4 b. 6 c. 7 d. 13 e. 26 O filho da professora Verônica tem 9 anos de idade. D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(27) = {1, 3, 9, 27} mdc(18, 27) = 9 D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} mdc(18, 24) = 6 D(15) = {1, 3, 5, 15} D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} mdc(15, 30) = 15 6. No item b deste exercício, na corre- ção, verificar se os alunos percebem o fato de que 15, sen- do divisor de 30, indica o máximo di- visor comum deles. 8. Se as duas quantidades devem ser divididas em porções menores, sem sobra, em quilogramas, devemos pensar nos divisores de 24 e 28: D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} D(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28} Como as porções devem ser iguais, tendo a maior quantidade cada uma, temos: MDC(24, 28) = 4 Então, cada porção deverá ter 4 kg. Calculando o total de porções, vem: Saco com 24 kg: 24 ÷ 4 = 6 Saco com 28 kg: 28 ÷ 4 = 7 Total de porções = 6 + 7 = 13 São, portanto, 13 porções. 165CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 165CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 165 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 2, 3 E 5 Muitas vezes, quando analisamos com calma os números, podemos encontrar alguns padrões que nos ajudam em cálculos. Veja a descoberta que Gabriela fez. Atividade 63 Gabriela, o número 28 é divisível por 2? E o número 279 576, é divisível por 2? Já sei! É sim! Afinal, 279 576 é par, e todo número par é divisível por 2. Nossa... é um número grande! Não consigo pensar apenas na tabuada... Claro! Afinal, 28 está na tabuada do 2, isto é, é múltiplo de 2. E como você sabe que esse número é par? Porque termina em 6, que é um algarismo par. Pedir aos alunos que leiam a história em quadrinhos, indi- cando o que enten- deram ao final. De acordo com a neces- sidade, repassar a história, destacando os pontos importan- tes do diálogo entre aluna e professora. Outra sugestão de abordagem inicial é propor os mesmos questionamentos da professora, mas para a turma, verificando se chegam à mesma conclusão que a per- sonagem Gabriela. Na sequência, co- mentar sobre os critérios de divisi- bilidade por 3 e 5. Neste momento do estudo, ainda não faremos a demons- tração do critério de divisibilidade por 3. Comentar que, à medida que evo- luírem no estudo da Matemát ica , poderão provar que esse critério é válido para qual- quer número natu- ral divisível por 3. Sobre o critério de divisibilidade por 5, os alunos já pos- suem condições de observar o padrão formado (terminar em zero ou cinco). MATEMÁTICA166 CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 166CO EF5 INFI 23 2B LV04 G04 MAT_C08.indd 166 06/12/22 16:0506/12/22 16:05 Se um número é divisível por 2, significa que o 2 é divisor desse número. Nesse caso, o raciocínio usado por Gabriela está correto e é conhecido como critério de divisibilidade por 2. O critério de divisibilidade por um número é uma espécie de regra que permite verificar se um número é divisível por outro de maneira relativamente simples, sem a necessidade de se efetuar uma divisão para verificar se o resto é zero, isto é, se a divisão é exata. Assim, destacamos: • Critério de divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2, caso seja par. Um número é par quando o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos a. 798 é divisível por 2, pois é par (termina em 8). b. 6 427 não é divisível por 2, pois não é par (termina em 7). Continuando a conversa com a professora, Gabriela descobriu ainda outros dois critérios de divisibilidade: por 3 e por 5. Veja o que ela descobriu: • Critério de divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3, caso a soma dos seus algarismos seja um número divisível por 3. Exemplos a. 147 é divisível por 3, pois 1 + 4 + 7 = 12, e 12 é divisível por 3. b. 503 não é divisível por 3, pois 5 + 0 + 3 = 8, e 8 não é divisível por 3. • Critério de divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5, caso o algarismo das unidades seja 0 ou 5. Exemplos a. 7 895 é divisível por 5, pois termina em 5. b. 7 502 não é divisível por 5, pois não termina em 0 ou 5. Destacar o uso de expressões como “é divisível por” e “é divisor de”. Além do exemplo do texto teórico, comentar outros exemplos que reforcem o mo- mento correto de usar cada expressão. 167CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 167CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 167 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ATIVE A MEMÓRIA! 1 Um número natural é par ou ímpar. Para saber se um número é divisível por 2, basta observar se o número é par. Se for, é divisível por 2; se for ímpar, não é divisível por 2. Mas, como saber se um número é ímpar? 2 Roberto tem pedaços de papel com números escritos. Contorne apenas os nú- meros que são pares. 274 645 129 650 98 2 589 31 562 405 116 123 321 3 Usando uma calculadora e o critério de divisibilidade por 3, verifique, em cada item, se o número dado é divisível por 3. Utilize a calculadora para obter a soma dos algarismos. Para os números que forem divisíveis por 3, efetue a divisão do número dado por 3, observando se a divisão é, de fato, exata. a. 75 b. 678 O número 75 é divisível por 3. O número 678 é divisível por 3. 6 + 7 + 8 = 21, e 21 é divisível por 3. 7 + 5 = 12, e 12 é divisível por 3. 1. Aproveitar este exercício para re- tomar as ideias de números pares e ímpares. 3. Neste exercício, orientar os alunos a usar a calculadora, destacando que ela é, neste momento, uma ferramenta de cálculo que possi- bilita que tenham maior atenção ao critério estudado. Pedir, contudo, que façam o registro das adições, usan- do a calculadora para chegar à soma e, depois, nos casos em que houver a divisibilidade por 3, efetuar a divisão com o auxílio da calculadora para verificar se a divi- são é exata (resul- tado inteiro). Como exemplo, mostrar o que ocorre nos casos em que não houver a divisibi- lidade (resultadodecimal, sem ne- cessidade de apro- fundar esse estudo, neste momento). Um número é ímpar se o algarismo das unidades for 1, 3, 5, 7 ou 9. MATEMÁTICA168 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 168CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 168 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO c. 5 179 d. 34 051 e. 63 364 518 4 Complete a sentença com os números corretos. Todos os múltiplos de 5 terminam em ou em . Portanto, todo número divisível por 5 termina em ou em . 5 Assinale um X nos números que são divisíveis por 5. 675 552 3 175 2 522 73 551 891 230 O número 63 364 518 é divisível por 3. O número 34 051 não é divisível por 3. O número 5 179 não é divisível por 3. 6 + 3 + 3 + 6 + 4 + 5 + 1 + 8 = 36, e 36 é divisível por 3. 3 + 4 + 0 + 5 + 1 = 13, e 13 não é divisível por 3. 5 + 1 + 7 + 9 = 22, e 22 não é divisível por 3. 4. A ordem de es- crita dos núme- ros 0 e 5 em cada trecho de lacunas pode ser invertida.0 5 0 5 X X X 169CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 169CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 169 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENTRE CONVERSAS... 6 Com um colega, leia atentamente cada item, discuta qual deve ser a solução e registre-a. a. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 723 para ficar divisí- vel por 2? b. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 652 para ficar divisí- vel por 2 e 3 ao mesmo tempo? c. Qual é o menor número natural que devemos adicionar a 124 para ficar divisí- vel por 2 e 5 ao mesmo tempo? Adicionar 6. Adicionar 1. Adicionar 2. O número procurado deve ser par. Logo, para que 723 se torne par, basta adicionar 1: 723 + 1 = 724, que é divisível por 2. O número 652 já é divisível por 2 (é par). Verificando se é divisível por 3, temos: 6 + 5 + 2 = 13. Mas 13 não é divisível por 3. O próximo número divisível por 3, após 13, é o 15. Logo, basta adicionar 2: 652 + 2 = 654, que será divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Para ser divisível por 5, precisa terminar em 5 ou 0. Porém, deve ser divisível por 2 também; logo, só pode terminar em 0. Assim, temos que 130 é o próximo número que termina em 0 após 124. Dessa forma, deve-se adicionar 6, pois 124 + 6 = 130. MATEMÁTICA170 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 170CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 170 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ATIVE A MEMÓRIA! 7 Pedro estava vendo as placas de algarismos que formam o número da casa de seu tio. Ele percebeu que, se trocasse de posição apenas dois desses algarismos, teria um número divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo tempo. Verifique quais são esses dois algarismos e escreva como ficaria esse número. 8 O número seguinte, marcado em um quadro, tem o algarismo da ordem das uni- dades simples borrado. 83 Quais algarismos podem ser escritos no lugar do algarismo borrado para que aconteça o que se pede em cada item? Anote-os. a. O número ser divisível por 2. b. O número ser divisível por 3. c. O número ser divisível por 5. Os algarismos 0 e 2 devem ser trocados de posição, formando o número 1 260. Podem ser os algarismos 0, 2, 4, 6 ou 8. Podem ser os algarismos 1, 4 ou 7. Podem ser os algarismos 0 ou 5. 7. Neste exercício, os alunos devem ser capazes de ob- servar o seguinte: a. Para que o nú- mero seja divisível por 2, deve ser par. Logo, o algarismo 0, o 6 ou o 2 deve f i c a r n a o rd e m das unidades. b. Para que seja divisível por 3, a soma dos algaris- mos deve ser um número divisível por 3. Temos que 1 + 0 + 6 + 2 = 9, que é um número divi- sível por 3. Impor- tante observar que, qualquer que seja a ordem dos algaris- mos, a soma deles não muda (aprovei- tar para retomar a propriedade comu- tativa da adição). c. Para que seja di- visível por 5, deve terminar em 0 ou 5. De acordo com as observações cita- das anteriormente, o número deverá terminar em zero. Logo, basta colocar o algarismo 0 na or- dem das unidades e o algarismo 2, que estava na ordem das unidades, no lugar de 0, que estava na ordem das centenas. 8. Neste exercício, o item b pode não ser tão direto como os outros dois itens. Deve-se verificar quais algarismos, adicionados a 11 (8 + 3), resultam em um número divisível por 3. De forma simplificada, quando se chegar ao primeiro número (1), basta seguir adi- cionando de 3 em 3. Contudo, essa for- ma de pensamento pode ser mais abs- trata, devendo ser tratada com calma na correção. 171CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 171CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 171 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE POR 6, 9 E 10 Gabriela é muito curiosa. Depois que ela percebeu o padrão em múltiplos de 2, fez a seguinte observação: Atividade 64 Gabriela percebeu um padrão no estudo dos múltiplos comuns que a ajudou na identificação do critério de divisibilidade por 6. A professora, aproveitando a oportunidade, explicou-lhe outros dois critérios, que são apresentados a seguir. Eu percebi que os múltiplos comuns de 2 e 3 são exata- mente os múltiplos de 6! Então, pensei: será que todo número divisível por 6 deve ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo? Com certeza! Você está certa! Eu estava revisando o estudo sobre múltiplos comuns. M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …}M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …}MC(2, 3) = {0, 6, 12, 18, …} Orientar os alunos a ler a história em quadrinhos do texto teórico individualmente, discutindo a ideia após finalizarem a leitura. Comentar que há, ainda, critérios de divisibilidade por outros números, como por 4, 8, 12, 15, mas que poderão ser estudados futuramente, no ano seguinte. Caso demonstrem curiosidade, propor uma pesquisa em livros ou internet, observando como se dá a interpretação por parte deles. MATEMÁTICA172 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 172CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 172 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 • Critério de divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6, caso seja divisível por 2 e também por 3. Exemplos a. 18 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3. b. 22 não é divisível por 6, pois, apesar de ser par (divisível por 2), não é divisível por 3. • Critério de divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9, caso a soma de seus algarismos seja um número divisível por 9. Exemplos a. 135 é divisível por 9, pois 1 + 3 + 5 = 9, e 9 é divisível por 9. b. 9 085 não é divisível por 9, pois 9 + 0 + 8 + 5 = 22, e 22 não é divisível por 9. • Critério de divisibilidade por 10 Um número é divisível por 10, caso o algarismo da unidade simples seja zero. Exemplos a. 9 870 é divisível por 10, pois termina em zero. b. 8 005 não é divisível por 10, pois não termina em zero. EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO ENTRE CONVERSAS... 1 Um número é divisível por 10 quando sua escrita termina no algarismo zero. Breno sabia disso, mas escreveu esta outra regra: “Para saber se um número é divisível por 10, basta verificar se é par e divisível por 5 ao mesmo tempo.” Converse com um colega para verificar se essa regra de Breno está correta e anote-a. Depois, confirme-a com os colegas e o professor. 1. Na ideia indica- da neste exercício, comentar que não se trata de uma regra mais simples ou mais complexa, embora os alunos possam opinar nes- se sentido. Eles de- vem perceber que, se um número ter- mina em zero, ele é par e divisível por 5. Este é o momento oportuno para apli- car o exercício 2 da seção “Para conferir”. Resposta pessoal. É esperado que os alunos concluam que a regra está correta. 173CAPÍTULO 8 CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 173CO EF 05 INFI 23 2B LV 04 MI DMUL.indb 173 01/12/22 13:4301/12/22 13:43 ATIVE A MEMÓRIA! 2 Usando o critério de divisibilidade adequado e uma calculadora, verifique, em cada item, se o número dado é divisível por 6. a. 84 b. 346 c. 669 686 3 O critério de divisibilidade por 9 é parecido com o critério
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