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Frações Parciais
1. Objetivo: escrever
p(x)
q(x)
como somas de frações mais simples.
Exemplo:
x + 5
x2 + x− 2
=
2
x− 1
− 1
x + 2
.
2. Passos: (aqui estamos supondo grau de p(x) menor que o grau de q(x))
1. Fatoração: o polinomio q(x) pode ser fatorado em produtos de fatores da forma
ax + b ou da forma ax2 + bx + c.
2. Frações parciais: expresar
p(x)
q(x)
como soma de frações da forma:
A
(ax + b)i
ou
Ax + B
(ax2 + bx + c)j
.
3. Caso 1: q é um produto de fatores lineares distintos:
q(x) = (a1x + b1)(a2x + b2) · · · (akx + bk).
Neste caso devemos encontrar A1, ..., Ak tais que
r(x)
q(x)
=
A1
a1x + b1
+ · · ·+ Ak
akx + bk
.
Exemplos:
1.
5x− 3
x2 − 2x− 3
=
A
x + 1
+
B
x− 3
⇒ 5x− 3 = A(x− 3) + B(x + 1)⇒ A = 2, B = 3;
2.
1
x2 − a2
=
A
x− a
+
B
x + a
⇒ A(x + a) + B(x− a) = 1⇒ A = 1/(2a), B = −1/(2a);
Exerćıcio: encontre A,B e C tais que
x2 + 2x− 1
x(2x− 1)(x + 2)
=
A
x
+
B
2x− 1
+
C
x + 2
;
4. Caso 2: q contém um fator linear com repetição:
q(x) = (a1x + b1)
r(a2x + b2) · · · (akx + bk).
Neste caso, o termo A1/(a1x + b1) deve ser substituido por
A11
a1x + b1
+ · · ·+ A1r
(a1x + b1)r
Exemplos:
1.
4x
x3 − x2 − x + 1
=
A
x− 1
+
B
(x− 1)2
+
C
x + 1
⇒ 4x = A(x− 1)(x + 1) + B(x + 1) +
C(x− 1)2 ⇒ A = 1, B = 2, C = −1;
Exerćıcio:
x3 − x + 1
x2(x− 1)3
=
A
x
+
B
x2
+
C
x− 1
+
D
(x− 1)2
+
E
(x− 1)3
.
5. Caso 3: q contém fatores quadráticos irredut́ıveis e distintos do tipo: ax2 + bx+ c, com
b2 − 4ac < 0.
Neste caso, as frações parciais teram um termo da forma
Ax + B
ax2 + bx + c
.
Exemplos:
1.
2x2 − x + 4
x3 + 4x
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 4
⇒ 2x2 − x + 4 = A(x2 + 4) + (Bx + C)x
⇒ A = 1, B = 1, C = −1;
Exerćıcio: x
(x−2)(x2+1)(x2+4) =
A
x−2 +
Bx+C
x2+1
+ Dx+E
x2+4
.
6. Caso 4: q contém fatores quadráticos irredut́ıvies repetidos: (ax2 + bx + c)r, com
b2 − 4ac < 0.
Neste caso, o termo
Ax + B
ax2 + bx + c
deve ser substituido por
A1x + B1
ax2 + bx + c
+ · · ·+ Arx + Br
(ax2 + bx + c)r
.
7. Exemplos:
1.
−x3 + 2x2 − x + 1
x(x2 + 1)2
=
A
x
+
Bx + C
x2 + 1
Dx + E
(x2 + 1)2
⇒ −x3 + 2x2 − x + 1 = A(x2 + 1)2 + (Bx + C)x(x2 + 1) + (Dx + E)x
⇒ A = 1, B = −1, C = −1, D = 1, E = 0;
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