ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 532023

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ATIVIDADE 3 - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/2023
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As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma “lei” que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:
T: R³ –> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y – z, x + y)
(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
(f) Qual a matriz da Transformação?
(g) Quais seus autovalores?
(h) Quais seus autovetores?
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ATIVIDADE 3
 
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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA 
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As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as 
principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e 
V, 
uma aplicação (transformação) de U em V é uma “lei” que associa a cada elemento de U 
um único elemento de V. Se denotamos
 
por F esta aplicação, 
então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de 
u pela aplicação F.
 
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:
 
 
T: R³ 
–
> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y 
–
 
z, x + y)
 
 
(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da 
conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação.
 
 
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]?
 
 
(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora?
 
 
(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]?
 
 
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora?
 
 
(f) Qual a matriz da Transformação?
 
 
(g) Quais seus autovalores?
 
 
(h) Quais seus autovetores?
 
 
 
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As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as 
principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e 
V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma “lei” que associa a cada elemento de U 
um único elemento de V. Se denotamos
 por F esta aplicação, 
então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de 
u pela aplicação F. 
Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede: 
 
T: R³ –> R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y – z, x + y) 
 
(a) A Transformação é Linear? Comprove sua resposta através da aplicação da 
conservação, ou não, das Operações de Soma e Multiplicação. 
 
(b) Qual o Núcleo de T [ Ker(T) ]? 
 
(c) Qual a dimensão do Núcleo [ dim(Ker) ]? A Transformação é injetora? 
 
(d) Qual a Imagem de T [ Im(T) ]? 
 
(e) Qual a dimensão da Imagem [ dim(Im) ]? A Transformação é sobrejetora? 
 
(f) Qual a matriz da Transformação? 
 
(g) Quais seus autovalores? 
 
(h) Quais seus autovetores?