Limites

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LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
 
1. Ideia intuitiva de limite: 
 
No nosso dia-a-dia podemos nos referir ao limite de diversas formas: 
 Limite de velocidade; 
 Limite do peso de um lutador de boxe; 
 Limite da resistência de um maratonista; 
 Entre outros. 
 
Um limite matemático se parece com o limite de uma mola. Vejamos o exemplo: 
 
Consideramos uma mola que se rompe ao ser submetida a um peso de 10 kg ou 
mais. Para determinar qual a extensão que a mola pode atingir sem se romper, 
penduramos pesos cada vez maiores e medimos o comprimento da mola para cada peso 
x. 
 
 
 
 Se o comprimento da mola se aproxima de um valor L, dizemos que “o limite do 
comprimento da mola quando x tende a 10 é L”. 
 
1.1 Notação de limite: 
 
Lxf
ax


)(lim 
 
Lê-se: O limite da função f(x), quando x tende a a, é o número real L. 
 
1.2 O conceito de LIMITE para os diversos casos de limite de uma função. 
Vejamos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo (a) Seja a função :f , definida por 2)(  xxf . 
 
 Observando o gráfico abaixo, vemos que f(x) se aproxima de 5 quando x tende 
a 3 pela esquerda ou pela direita. 
 
x = 0 
x = 7,5 
 x = 9,5 
x = 9,999 
Comprimento da mola 
 
 As tabelas a seguir levam a mesma conclusão: quando x tende a 3 (tanto pela 
esquerda quanto pela direita), f(x) se aproxima de 5. 
 
Caso 1: 
 3x 
 
Lê-se: x tende a 3 pela esquerda. Nesse caso, x se aproxima de 3 através de 
valores menores que 3. 
 
x 2 2,3 2,9 2,99 
f(x) 4 4,3 4,9 4,99 
 
De acordo com o exposto, podemos dizer que: o limite de f(x) quando x 
tende a 3 pela esquerda é igual a 5. 
 
5)(lim
3


xf
x
 
Caso 2: 
 3x 
 
Lê-se: x tende a 3 pela direita. Nesse caso, x se aproxima de 3 através de valores 
maiores que 3. 
 
x 4 3,9 3,4 3,01 
f(x) 6 5,9 5,4 5,01 
 
De acordo com o exposto, podemos dizer que: o limite de f(x) quando x tende 
a 3 pela direita é igual a 5. 
 
5)(lim
3


xf
x
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. Os limites à esquerda e à direita são chamados de LIMITES LATERAIS. 
2. No exemplo acima, em vez das duas indicações, podemos utilizar a 
representação única: 5)(lim
3


xf
x
 
Exemplo (b) Seja a função :f , definida por 






3,2
3,
)(
xsex
xsex
xf 
 
Observe que: 
 
 Quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) se aproxima de 3, isto é: 
 
3)(lim
3


xf
x
 
 
 Quando x tende a 3 pela direita, f(x) se aproxima de 5, isto é: 
 
5)(lim
3


xf
x
 
 
OBSERVAÇÃO: como os limites laterais são diferentes, dizemos que não existe o 
limite de f(x) quando x tende a 3. 
 
Exemplos a serem resolvidos: 
1. Dada a função f(x) definida por 






12,1
2,1
)(
2 xexsex
xsex
xf . 
 
Represente-a graficamente e verifique no gráfico os limites a seguir: 
a) )(lim
2
xf
x 
 b) )(lim
0
xf
x
 c) )(lim
1
xf
x 
 d) )(lim
2
xf
x 
 e) )(lim
2
xf
x 
 f) )(lim
2
xf
x
 
2. Calcular os limites: 
 
a) 
2
3
lim
2
1 

 x
xx
x
 b)  45lim 2
2


xx
x
 
 
c) 
1
1
lim
4 

 x
x
x
 d) 
x
xx
x 21
1
lim
23
1 


 
 
 
 
1.3 Propriedades dos Limites 
 
1) Se c é um número real qualquer, então cc
ax


lim . 
 
2) ax
ax


lim . 
 
3) Se )(lim xf
ax
e )(lim xg
ax
existem, e c é um número real qualquer, então: 
 
a)   )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 
 . 
 
b) ).(lim.)(lim xfcxcf
axax 
 
 
c) )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 
 
 
d) 
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 , desde que .0)(lim 

xg
ax
 
 
e)   n
ax
n
ax
xfxf )](lim[)(lim

 para qualquer inteiro positivo n. 
 
f) n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim

 , se 0)(lim 

xf
ax
 e n inteiro ou se 0)(lim 

xf
ax
 e n é um 
inteiro positivo ímpar. 
 
g)   )](limln[)(lnlim xfxf
axax 
 se 0)(lim 

xf
ax
. 
 
h)   )](limcos[)(coslim xfxf
axax 
 . 
 
i)   )](lim[)(lim xfsenxfsen
axax 
 . 
 
j) 
)(lim
)(lim
xf
xf
ax
axee 

. 
 
4) Se )()()( xgxhxf  para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente em x = a, e se )(lim)(lim xgLxf
axax 
 então, Lxh
ax


)(lim . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Cálculo de Limites quando o numerador e o denominador tendem a zero 
 
 Existem funções racionais em que o limite do denominador é zero num 
determinado ponto e o limite do numerador também é zero nesse mesmo ponto. 
Simbolicamente estamos diante da indeterminação do tipo 
0
0
. 
Observação: devemos fazer uso de artifícios algébricos (fatorar e simplificar a função). 
 
Exemplos a serem resolvidos: 
 
1. Calcular os limites: 
 
a) 
1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
4
818
lim
23
4 

 x
xxx
x
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
x
x
x
22
lim
0


 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
h
xhx
h
22
0
lim


 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios I 
1. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
x
y
-1
1
3
3
 
Encontre se existir: 
a) )(lim
3
xf
x 
 b) )(lim
3
xf
x 
 c) )(lim
3
xf
x
 
d) )(lim xf
x 
 e) )(lim xf
x 
 f) )(lim
4
xf
x
 
2. Seja f(x) a função definida pelo gráfico: 
 
-2
4
2
-2
1
1
 
Encontre se existir: 
a) )(lim
0
xf
x 
 b) )(lim
0
xf
x 
 c) )(lim
0
xf
x
 
d) )(lim xf
x 
 e) )(lim xf
x 
 f) )(lim
2
xf
x
 
3. Definir e fazer o gráfico de uma função y = f(x) tal que )(lim
3
xf
x
 não existe e 
)(lim
6
xf
x
 existe. 
4. Definir e fazer o gráfico de uma função y = f(x) tal que 1)(lim
0


xf
x
 e 2)(lim
0


xf
x
. 
5. Calcular os limites usando as Propriedades de Limites. 
a) )26(lim 45
1


xx
x
 b) ])2.()4[(lim 13
1


 xx
x
 c) 
13
4
lim
2 

 x
x
x
 d) 
2
65
lim
2
2 

 t
tt
t
 
e) 3
4
32lim 

x
x
 f) 
x
xx
x 3
2
lim
2
2


 g) 4
1
3
1
)32(lim 

x
x
 h) 
43
2
lim
2 

 x
xx
x
 
i) 
s
s
s 2
4
lim
2
1


 j) 
1
1
lim
3
1 

 x
x
x
 l) 
2
8
lim
3
2 

 x
x
x
 m) )cotcos2(lim
2
gxxsenx
x


 
6. Seja xxf )( . 
a) Determinar )(lim
0
xf
x 
 e )(lim
0
xf
x 
. 
b) Verificar se o )(lim
0
xf
x
 existe. 
c) Esboçar o gráfico. 
7. Seja 






,73
,1
)(
x
x
xf
3
3


x
x
. Calcule: 
a) )(lim
3
xf
x 
 b) )(lim
3
xf
x 
 c) )(lim
3
xf
x
 
d) )(lim
5
xf
x 
 e) )(lim
5
xf
x 
 f) )(lim
5
xf
x
 
8. Verifique se 
1
1
lim
1  xx
existe. 
9. Seja 








,9
,2
,1
)(
2
2
x
x
xf
2
2
2



x
x
x
. 
Determinar, se existirem, )(lim
2
xf
x 
, )(lim
2
xf
x 
e )(lim
2
xf
x
. Esboçar o gráfico da função. 
10. Seja 152)(  xxf . Calcule se existir: 
a) )(lim
5
1
xf
x


 b) )(lim
5
1
xf
x


 c) )(lim
5
1
xf
x
 
11. Dada à função )31()(  xxf , determinar, se possível, )(lim
3
xf
x 
 e )(lim
3
xf
x 
. 
12. Para cada uma das seguintes funções ache 
2
)2()(
lim
2 

 x
fxf
x
. 
a) 
23)( xxf  b) 
x
xf
1
)(  , 0x c) 
1
1
)(


x
xf , 1x 
13. Esboçar o gráfico da função abaixo e dar uma estimativa do limite indicado. 
3
9
)(
2



x
x
xf)(lim
3
xf
x
 
14. Calcular os limites indicados: 
a) 
)3).(2(
44
lim
23
2 

 tt
ttt
t
 b) 
ax
axax
ax 


)1(
lim
2
 c) 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 
d) 
52
532
lim
2
2
5 

 t
tt
t
 e) 
2012
65
lim
2
2
2 

 xx
xx
x 
f) 
t
t
t
16)4(
lim
2
0


 
g) 
t
t
t
5325
lim
0


 h) 
1
1
lim
1 

 h
h
h
 i) 
x
x
x 


11
lim
0
 
 
 
Respostas: 
1. a) -1 b) 3 c) Não existe d) -1 e) 3 f) 3 
2. a) 0 b) 0 c) 0 d)  e)  f) 4 
3. 





,2
,2
)(
x
xf
3
3


x
x
 4. 





,1
,2
)(
x
xf
0
0


x
x
 
5. a) 9 b) 27 c) 6/5 d) -1 e) 3 11 f) 
3
122 
 g) 4
3
7
 
 h) 
2
2
 i) 9/2 j) 3 l) 12 m) 2 
6. a) 0)(lim
0


xf
x
 b) 0)(lim
0


xf
x
 c) )(lim
0
xf
x
 existe, 0)(lim
0


xf
x
 
7. a) 2 b) 2 c) 2 d) 8 e) 8 f) 8 
8. Não existe 
1
1
lim
1  xx
. 
9. 5)(lim
2


xf
x
, 5)(lim
2


xf
x
 e 5)(lim
2


xf
x
 
10. a) 2)(lim
5
1



xf
x
 b) 2)(lim
5
1



xf
x
 c) 2)(lim
5
1


xf
x
 
11. 1)(lim
3


xf
x
 e )(lim
3
xf
x 
 não existe. 
12. a) 12 b) 
4
1
 c) 
9
1
 
13. 6 
14. a) 0 b) a + 1 c) – 2 d) 
2
7
 e) 
8
1
 f) 8 g) 
10
3
 h) 
2
1
 i)
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
GONÇALVES, Mirian Buss.; FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A: Funções, limite, 
derivação e integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
HOWARD, Alan.; HIMONAS, Alex. Cálculo – Conceitos e Aplicações. Rio de 
Janeiro: LTC, 2005. 
LARSON, Ron.; FALVO, David.C.; EDWARDS, Bruce.H. Cálculo com Aplicações. 
Rio de Janeiro: LTC, 2005