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Alfabeto GregozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Alfa AnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa Beta B ~ Gama r y Delta L1 Õ Épsilon E E Digama F - Dzeta Z ç Eta H 11 Theta e 8 lota I t Capa K x Lambda A Iv Mi M 11 Ni N v csi ~ ç•....• Ómicron O o Pi TI 1t San 17 Copa Q Ro P p Sigma L (J Tau T "(; lpsilon y u PhidcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP <p Qui X x Psi qJ \jf Ômega Q ú) .•••.......... c qonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Sumário Capítulo 1.. Sistemas de Unidades zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA01 1.1 Sistema Internacional de Unidades (15nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2 CGPM/1975) 02 1.2 Outras Unidades 02 1.3 Prescrições Gerais 03 1.4 Relações Métricas Lineares 10 1.5 Relações Métricas do Cubo 12 1.6 Exercícios (Sistema de Unidades) 13 Capítulo 2· Vínculos Estruturais 27 2.1 Introdução 27 2.2 Estrutura 28 Capítulo 3 . Equilíbrio de Forças e Momentos 31 3.1 Resultante de Forças 31 3.2 Resultante dos Momentos 31 3.3 Equações Fundamentais da Estática , 31 3.4 Força Axial ou Normal F 31 3.5 Tração e Compressão 32 3.6 Ligação ou Nó 32 3.7 Tração e Compressão em Relação ao Nó ....................................•............................................ 32 3.8 Composição de Forças 33 3.9 Decomposição de Força em Componentes Ortogonais 33 3.10 Conhecidos Fx e Fy, determinar a e ~ 34 3.11 Determinação Analítica da Resultante de Duas Forças que Formam entre Si Ângulo a , 34 3.12 Determinação Analítica da Direção da Resultante 35 3.13 Exercícios 36 3.14 Método das Projeções 38 3.15 Método do Polígono de Forças 40 3.16 Momento de uma Força 44 3.17 Exercícios Resolvidos 46 Capítulo 4· Carga Distribuída 53 4.1 Introdução 53 4.2 Linha de Ação da Resultante 54 4.3 Exercícios Resolvidos , 53 Capítulo 5 - Tração e Compressão zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA63 5.1 Revisão do Capítulo 3 63 5.2 Tensão Normal O" ••.•••••••••••••.•.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 64 5.3 Lei de Hooke 64 5.4 Materiais Dúcteis e Frágeis 66 5.5 Estricção 68 5.6 Coeficiente de Segurança k 68 5.7 Tensão Admissível O" ou cadrn 69 5.8 Peso Próprio , 70 5.9 Aço e sua Classificação 70 5.10 Dimensionamento de Peças 71 5.11 Dimensionamento de Correntes 72 5.12 Exercícios 75 Capítulo 6 - Sistemas Estaticamente Indeterminados (Hiper estáticos) 97 6.1 Introdução 97 6.2 Tensão Térmica 98 6.3 Exercícios 99 Capítulo 7 - Treliças Planas 113 7.1 Definição 113 7.2 Dimensionamento 113 7.3 Método das Secções ou Método de Ritter 123 Capítulo 8 - Cisalhamento Puro 135 8.1 Definição 135 8.2 Força Cortante Q 135 8.3 Tensão de Cisalhamento ('1:) 136 8.4 Deformação do Cisalhamento 136 8.5 Tensão Normal (0") e Tensão de Cisalhamento ('1:) ..........................................................•........ 137 8.6 Pressão de Contato O"d •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••.••••.••••• 137 8.7 Distribuição ABNT NB14 138 8.8 Tensão Admissível e Pressão Média de Contato ABNT NB14 - Material Aço ABNT 1020 138 8.9 Exercícios '" 139 8.10 Ligações Soldadas 155 8.11 Chavetas 162 8.12 Exercícios 164 •• -' Capítulo 9 - Características Geométricas das Superfícies P lanasnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA::..S?zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 9.1 Momento EstáticodcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA: ! .e ~ 9.2 Exercícios 171 9.3 Momento de Inércia J (Momento de 2ª Ordem) 182 9.4 Raio de Giração i 184 9.5 Módulo de Resistência W 184 9.6 Exercícios 185 9.7 Produto de Inércia ou Momento Centrífugo (Momento de 2ª Ordem) 208 9.8 Eixos Principais de Inércia 210 9.9 Momento Polar de Inércia (J p ) (Momento de 2ª Ordem) 210 9.10 Módulo de Resistência Polar (W p ) ••••••••••••••••••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 211 9.11 Exercícios 211 Capítulo 10 - Força CortanteCBAQ e Momento Fletor M 229 10.1 Convenção de Sinais 229 10.2 Força Cortante Q 230 10.3 Momento Fletor M 230 10.4 Exercícios 231 Capítulo 11 - Flexão 257 11.1 Introdução 257 11.2 Flexão Pura 257 11.3 Flexão Simples 257 11.4 Tensão Normal na Flexão 258 11.5 Dimensionamento na Flexão 258 11.6 Tensão de Cisalhamento na Flexão 260 11.7 Deformação na Flexão 260 11.8 Exercícios 262 Capítulo 12 - Torção 279 12.1 Introdução 279 12.2 Momento Torçor ou Torque 279 12.3 Potência (P) , 280 12.4 Tensão de Cisalhamento na Torção (t) 281 12.5 Distorção (y) 282 12.6 Ângulo de Torção (8) 282 12.7 Dimensionamento de Eixos-Árvore 282 12.8 Exercícios 285 Capítulo 13 - FlambagemzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA299 13.1 Introdução 299 13.2 Carga Crítica 299 13.3 Comprimento Livre de Flambagem 299 13.4 índice de EsbelteznmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(À) 300 13.5 Tensão Crítica ( crer) '" '" 300 13.6 Flambagem nas Barras no Campo das Deformações Elasto-Plásticas 301 13.7 Normas 301 13.8 Exercícios 303 13.9 Carga Excêntrica 309 13.10 Exemplo 310 Apêndice A - Exercícios Propostos 311 Apêndice B - Normas DIN 347 Apêndice C - Perfis 353 - SISTEMAS DE UNIDADES Decreto nº 81621 - 03/05/1978nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdecreto citado aprova o quadro geral de unidades de medida, em substituição ao anexo do decreto n2 63233 de 12 de setembro de 1968. "O Presidente da República, no uso da atribuição que lhe confere o artigo 81, item 111,da constituição, e tendo em vista o disposto no parágrafo único do artigo 92 do Decreto-Lei n2 240, de 28 de Fevereiro de 1967. Decreta: "Art. 1 Q - Fica aprovado o anexo Quadro Geral de Unidades de Medida, baseado nas Resoluções, Recomendações e Declarações das Conferências Gerais de Pesos e Medidas, realizadas por força da Convenção Internacional do Metro de 1975". "Art. 2 Q - Este Decreto entra em vigor na data de sua publicação, revogando o Decreto nQ 63233 de 12/09/1968 e demais disposições em contrário". "Brasília, 03 de maio de 1978: 1572 da Independência e 90Q da República.dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA E rn e s to G e is e l A n g e lo C a lm o n d e S ã " Quadro Geral de Unidades Este Quadro Geral de Unidade (QGU) contém:CBA 1 - Prescrições sobre Sistema Internacional de Unidades; 2 - Prescrições sobre outras Unidades; 3 - Prescrições gerais. Tabela I - Prefixos SI. Tabela 11 - Unidades do Sistema Internacional de Unidades. Tabela 11I - Outras unidades aceitas para uso com o Sistema Internacional de Unidades. Sistemas',deUnidades I Tabela IV -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAOutras Unidades, fora do SI admitidas temporariamente. Nota:dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAS ã o e m p re g a d a s as s e g u in te s s ig la s e a b re v ia tu ra s : C G P M - C o n fe rê n c ia G e ra l d e P e s o snmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe M e d id a s (p re c e d id a d o n ú m e ro d e o rd e m e s e g u id a p e lo a n o d e s u a re a liz a ç ã o ). Q G U - Q U A D R O G E R A L D E U N ID A D E S S I - S is te m a In te rn a c io n a l d e U n id a d e s 1.1 Sistema Internacionalde Unidades(15º CGPM/1975) a) Unidades de Base Unidade Símbolo Grandeza metro m comprimento quilograma kg massa segundo s tempo ampêre A corrente elétrica Kelvin K temperatura termodinâmica moi moi quantidade de matéria candela cd intensidade luminosaCBA b ) Unidades Suplementares Unidade Símbolo Grandeza radiano rad ângulo plano esterradiano sr ângulo sólido c) Unidades derivadas, deduzidas direta ou indiretamente das unidades de base e suplementares. d) Os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades acima que são formadas pelo emprego dos prefixos SI da Tabela I. 1.2 Outras Unidades 1 .2 .1 As unidades fora do SI admitidas no QGU são de duas espécies: a) Unidades aceitas para uso com SI, isoladamente ou combinadas entre si e ou com unidades SI, sem restrição de prazo (tabela 111). b) Unidadesadmitidas temporariamente (tabela IV) MecânicaTécnica e ResistênciadosMateriais ~ 1.2.2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAÉ abolido o emprego das unidades do CGS, exceção feita às que estão compreendidas no SI e as mencionadas na tabela IV. 1.3 PrescriçõesGerais 1.3.1 Grafia dos nomes de unidadesCBA 1 .3 .1 .1 Quando escritos por extenso, os nomes de unidades devem ser iniciados com letra minúscula, mesmo quando representem um nome ilustre de ciência. Ex: newton, watt, arnpere, joule, ... exceto o grau Celsius. 1 .3 .1 .2 Na expressão do valor numérico de uma grandeza, a respectiva unidade pode ser escrita por extenso, ou representada pelo seu símbolo. (Ex. newton por metro ou N/ rn), não sendo admitidas partes escritas por extenso misturadas com partes escritas por símbolo. 1.3.2 Plural dos Nomes de Unidades Unidades escritas por extenso, obedecem às seguintes regras básicas: a) Os prefixos SI são invariáveis b) Os nomes de unidades recebem a letra "S" no seu final, exceto nos casos da alínea C. 1 - As palavras simples são escritas no plural da seguinte forma: Ex.: quilogramas, volts, joules, ampêres, newtons, farads. 2 - Quando as palavras são compostas, e o elemento complementar de um nome de unidade nãonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé ligado por hífen. Ex.: metros quadrados, decímetros cúbicos, milhas marítimas. 3 - Quando o termo é resultante de um produto de unidades. Ex.: newtons-metro, watts-hora, ohms-metro, ...dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O b s e rv a ç ã o : Segundo esta regra, e a menos que o nome da unidade entre no uso vulgar, o plural não desfigura o nome que a unidade tem no singular. Ex: decibels, henrys, mols .... Não são aplicadas às unidades algumas regras usuais na formação do plural de palavras. c) Os nomes ou partes dos nomes de unidades não recebem "S" no final. 1 - quando terminam em S, X ou Z. Ex.: siemens, lux, hertz, etc. 2 - quando correspondem ao denominador de palavras compostas por divisão, por exemplo: quilômetros por hora, metros por segundo, etc. r -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 - quando, em palavras compostas, são elementos complementares de nomes de unidades e ligados a estes por hífen ou preposição.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ex.: anos-luz, quilogramas-força, etc. 1.3.3 Grafia dos Símbolos de Unidades CBA 1 .3 .3 .1 A grafia dos símbolos de unidades obedece às seguintes regras básicas: a) os símbolos são invariáveis, não sendo permitido colocar ponto significando abreviatura, ou acrescentar "S" no plural, por exemplo, joule é J e não J. ou Js (no plural). b) os prefixos do SI jamais poderão aparecer justapostos num mesmo símbolo, ex.: GWh (giga watt- hora) e nunca MkWh (rnega quilowatt-hora). c) os prefixos SI podem coexistir num símbolo composto por multiplicação ou divisão, por exemplo: kN.mm, kW.mA, MW.cm, etc. d) o símbolo deverá estar alinhado com o número a que se refere, não como expoente ou índice; constituem exceção ângulos e o símbolo do grau Celsius. e) o símbolo de uma unidade composta por multiplicação pode ser formado pela justaposição dos símbolos componentes e que não cause ambigüidade [VA, kWh, etc], ou mediante a colocação de um ponto entre os símbolos componentes, na base da linha ou a meia altura [kgf.m ou kgf·m]. f) o símbolo de uma unidade de uma relação pode ser representado das três maneiras exemplificadas a seguir, não devendo ser empregada a última forma quando o símbolo, escrito em duas linhas diferentes, causar confusão. W j[cmnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2 0c], W· cm-2 .oe-1 ---.!!... 'cm2oe 1 .3 .3 .2 Quando um símbolo com prefixo tem expoente, deve-se entender que esse expoente afeta o conjunto prefixo-unidade, como se o conjunto estivesse entre parênteses. Exemplos:ONMLKJIHGFEDCBA m e = 10-3 e mm2 = 10-6 m2 1.3.4 Grafia dos Números As prescrições desta secção são inaplicáveis aos números que não estejam representando quantidade. Exemplos: telefones, datas, nQ de identificação. 1 .3 .4 .1 Para separar a parte inteira da decimal de um número, é empregada sempre urna vírgula; quando o valor absoluto do número for menor que 1, coloca-se zero à esquerda da vírgula. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais , 1 JII.:, 1 . .3 .4 .2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAOs números que representam quantias em dinheiro, ou quantidades de mercadorias, bens ou serviços em documentos fiscais, jurídicos e ou comerciais, devem ser escritos com os algarismos separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direita, com pontos separando esses grupos entre si. Nos demais casos, é recomendado que os algarismos de parte inteira e os de parte decimal dos números sejam separados em grupos de três, a contar da vírgula para a esquerda e para a direita, com pequenos espaços entre esses grupos (exemplo, em trabalhos técnico-científicos); mas é também admitido que os algarismos da parte inteira e os da parte decimal sejam escritos seguidamente, isto é, sem separação em grupos. 1 . .3 .4 .3 Para exprimir números sem escrever ou pronunciar todos os seus algarismos:onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a) para os números que representam dinheiro, mercadorias ou bens de serviço, são empregadas as palavras; milnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 103 = 1000 milhão 106 = 1000000 bilhão = 109 = 1000000000 trilhão = 1012 = 1000 000 000 000 b) em trabalhos técnicos ou científicos, recomenda-se a utilização da tabela I. 1.3.5 Espaçamento entre um número e o símbolo da unidade correspondente deve atender à conveniência de cada caso. Exemplos: a) frases de textos correntes, normalmente utiliza-se meia letra, para que não haja possibilidade de fraude. b ) em colunas de tabelas, é facultado utilizar espaçamentos diversos entre os números e os símbolos das unidades correspondentes. 1.3.6 Pronúncia dos múltiplos e submúltiplos decimais das unidades. Na forma oral, são pronunciados por extenso. Exemplos: mR - mililitro 11m - micrometro (nãJ confundir com micrômetro instrumento) Sistemas deUnidades= - ~--- ---------' Tabela I - prefixos SI Nome Símbolo Fator de MultiplicaçãozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA exa EnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 rnega M 106 = 1000000 quilo k 103 = 1000 hecto h 102 = 100 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro fl 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico P 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 Tabela 11- Outras Unidades fora do SI admitidas temporariamente Nome da Unidade Símbolo Valor do SI angstrorn A 10-10 m atmosfera atm 101325 Pa bar bar 105 Pa barn b 10-28 m2 *caloria cal 4,1868 J * cavalo-vapor cv 735,5 W curie ci 3,7 x 1010 Bq gal Gal 0,01 rn/s? * gauss Gs 10-4 T hectare ha 104 m2 * quilograma-força kgf 9,80665 N * milímetro de Hg mmHg 133,322 Pa (aproximado) milha marítima 1852 m nó 1852/3600 rn/s milha marítima por hora * quilate 2 x 10-4 kg não confundir com ligas de ouro rad 0,01 Gy As unidades com asterisco deverão ser gradativamente substituídas pelas unidades do SI. 'Mecânica Técnica e Resistência dos MateriaisONMLKJIHGFEDCBAi C";." ••• 1.3.7 Unidades Fundamentais e Derivadas zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA As unidades fundamentais foram definidas arbitrariamente e constituem-se em: L - comprimento L - comprimento M - massa ou F - força T - temponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT - tempo As unidades derivadas são obtidas em função das fundamentais. 1.3.7.1 Sistema CGS É um sistema do tipo LMT sendo constituído pelas seguintes unidades fundamentais: L - [em] M - [g] T - [s] Exemplos de unidades derivadas no CGS: velocidade (MRU) .6.S [em] [v] =- =-= [cm y sl .ó.t [s] aceleraçãoCBA[ a l aceleração normal da gravidadedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA [a ] = [.ó.Y] =[em / s] =[em] [.ó.t] s s2 g = 980,665 cm/s2 1.3.7.2 Sistema MKS (Giorgi) Sistema Internacional (SI) É também um sistema do tipo LMT, sendo suas unidades fundamentais: L - [m] M - [kg] T - [s] Exemplo de unidades derivadas: velocidade (MRU) [Vl)M l)mt[m/sl [.6.t] [s] força [F] = [m] . [a] = [kgm / S2]= [N] aceleração (MUV) [ ] _[l1v]_[m/s]_[ I 2 ]ONMLKJIHGFEDCBAa - - - - - -m, s [.ó.t] s aceleração normal da gravidade g = 9,80665 m/s2 Este sistema é o recomendado pelo decreto nQ 81621 de 03/05/78, gradativamente, substituirá o sistema técnico. 1.3.7.3 Sistema MKS (Sistema Técnico) É um sistema do tipo LFT. 7 / Suas unidades fundamentais são: L - [m] F - [kgf ou kp]nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT - [s] o sistema MKS* (técnico) aos poucos será substituído na engenharia pelo SI (Sistema Internacional MKS Giorgi) kp ou kgf = 1 kg . 9,80665 m/s2 Ikp ou kgf = 9,80665 NonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI Na prática, ainda são utilizadas unidades como: gf = 10-3 kgf = 10-3 kp Itf = 103 kgf = 103 kp I 1.3.7.4 Sistemas de Unidades InglesasCBA 1 .3 .7 .4 .1 Sistema FPS é um sistema do tipo LFT, ou seja; L - comprimento (foot) - [pé] F - força (power) -dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA[ f b] t - tempo (second) - [s] Unidade de massa neste sistema é o slug. (libra)· (segundo)" €b . 52 (I ) m --=5Ug (pé) pé Para facilitar a escrita, abrevia-se pé através de um traço superior acima da medida. Exemplo: 18 pé = 18' Relação da unidade de medida pé com o sistema métrico. pé = 30, 48 cm = 304,8 mm Nas escritas inglesas ou americanas, é comum encontrar-se o símbolo ft (foot). A unidade de força no FPS é a libra ( f b) ou mais apropriadamente conhecida como libra- força, podendo ser encontrada na sua escrita simbólica como: fb ou fbf ou ainda fb * . A sirnbología mais adequada é f b . 1 .3 .7 .4 .2 Sistema IPS é um sistema do tipo LFT, ou seja: L - comprimento - (inch) - [pol] F - força - (power) - [fb] T-Tempo - (second)- [s] '::,_Mecânica;Técnica:e,Resistência:dos:Materiais~iMm;:;&.,':'&_U'WW:;:;:::EFJZI=,;;;SS)"J::1t::"ylWJJ!!;Z.'ONMLKJIHGFEDCBA" " " ' ! l : 1 % 0 !@ ;C : , . -F A i !? '_ Y + Y , _ _ . . .w ---- Unidade de massa no sistema F (libra - força) m--- - a - ( pOlegada 2 ] (segundo) (libra - força) (segundo)2 m= (polegada)nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m[~lpol denomina-se libra massa. Como é um sistema do LFT, predomina a unidade de força, que simbolicamente será representada porONMLKJIHGFEDCBAe b como foi exposto anteriormente. Relações importantes do sistema com os sistemas, técnico, e Giorgi (MKS) pol = 25,4 mm e b = 0,4536kgf == 4,4483N Na escrita simbólica da polegada, ingleses, americanos e demais países que utilizam este sistema usam as representações: pol; in ou ainda ("). pol - símbolo adaptado por "abreviação" da língua portuguesa. in - (inch) polegada em inglês. n- simbologia simplificada para facilitar a escrita.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Exemplo: 1 1 1" -pol=-in=- 4 4 4 1..3.8 Precisão e Arredondamento dos Números Quando a precisão de um número é necessária, deve-se aprender a aplicar as regras de arredondamento. É muito importante saber que precisão desnecessária desperdiça tempo e dinheiro. Por exemplo: Ao se expressar o número de rolamentos 6208 existentes no almoxarifado de uma determinada indústria, a resposta será expressa somente por um número inteiro, pois em nenhuma hipótese existirá no almoxarifado 10,4 ou 9,7 rolamentos, e isto sim 10 rolamentos. Quando pesamos uma caixa e encontramos como resposta 100N (3 algarismos significativos), nunca se deve se dar como resposta 100,000N se a precisão não exigir (6 algarismos significativos), pois isto significaria ler a escala em 0,001N (milésimo de newton) o que é absolutamente inadequado para o caso. , Sistemas de ,Unidades As regras principais de arredondamento são: 1 - Manter inalterado o dígito anterior se o dígito subseqüente for menor que "5" «5). Exemplo': Suponha-se o número 365,122 arredondando o número acima tem-se: 365,12 - para 5 algarismos significativos 365,1 - para 4 algarismos significativos 2 - Acrescer uma unidade ao último dígito a ser mantido quando o posterior for "~5" (maior ou igual a 5).onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Exemplo': Suponha-se o número 26,666 arredonda-se o número para: 26,67 - para 4 algarismos significativos 26,7 - para 3 algarismos significativos 27 - para 2 algarismos significativos 3 - Manter inalterado o último dígito se o primeiro dígito a ser desprezado for "5" seguido de "zeros". Exemplo': Seja o número 34,650 arredonda-se para: 34,6 - para 3 algarismos significativos.nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4 - Aumentar o último dígito em uma unidade se o número for ímpar e se o último dígito for "5" seguido de "zeros". Exemplos: Sejam os números 235,5 e 343,50 arredonda-se o número 235,5 para: 236 - 3 algarismos significativos. arredonda-se o número 343,50 para: 344 - 3 algarismos significativos. 1.4 Relações Métricas Lineares m = 10 dm m = 102 cm m = 103 mm m = 3,28 pé milha terrestre = 1609 m ano-luz = 9,46 x 1015 m m = 39,37 pai milha marítima = 1852 m jarda == 91,44 cm braça = 1,83 m Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais'"" ·~·~L ..••.1 .,~". li!!!!., 1.4.1 Relações Métricas do Quadrado zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ·~ocCORÓ, Dado o quadrado de lado anmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 1m, determinar as seguiotes r.~IÇlt;>Õ:éSí "'ONMLKJIHGFEDCBA\ 'b o .dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.J .. " :',•••~,~:."- !_ .• \ ., i"':"'> 1 1 ("; T êC A - a) m2 e dm2 AreadoQuadrado '. ,u '-:::. ';~, I' '" / ', ,1 E ./O SCBA A = a 2 - " ') ( . . : ; : . : 0 . U ~ 1-11 Li L , . 1 b) m2 e cm2 c) m2 e mrrr' d) m2 e pOl2 1; e) m2 e pé2 1m a) m2 e dm2 b) m2 e cm2 m = 10 dm m = 102 cm m2 = (10 dm)2 m2 = (102 cm)2 1m 2 = 102 dm21 1m2 = 104 cm21 c) m2 e mm2 d) m2 e pOl2 m = 103 mm 100m = - - pol 2,54 m2 = (103 mm)2 2 (100 . Jm = -- pol 2,54 m2 ~(100J pd1m2 = 106 mm21 2,54 m2 = 1550 pOl2 m2 = 1,55 " 103 pOl2 e) m2 e pé2 100 , m = 30,48 pe m 2 = (~ éJ2 30,48 P m2 = 3,282 pé2 1m2 = 10,76 Pé21 portanto, pode-se escrever que: Sistemas de Unidades 1.5 Relações Métricas do CubozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Dado o cubo, com aresta a= 1m, determinar as seguintes relações: a) m 3 e dm 3 b) m 3 e cm 3 c) m3 enmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAmrrr' d) m3 e pOl3 e) m3 e pOl3 Volume do cubo V = a3 a) m3 e dm3 m = 10 dm m3 = (10 dm)3 = 103 dm3 1m 3 = 103 dm31 b) m3 e cm3 m = 102 em m3 = (102 cm)3 = 106 crrr' 1m 3 = 10 6 cm 3 1 c) m3 e rnrrr' m = 103 mm m3 = (103mm)3 = 109 mrrr' 1m 3 = 10 9 mm 3 1 e) m3 e pé3 pé m 3 = (3,29 pé)3 == 35,3 pé3 1m3 = 35,3 Pé31 E ri I I ).. '"'"'"'" '"'" '"'"'"'"'" ...... ...... ...... ...CBA- •..•..•.. ~ "\.~ d) m3 e pOl3 m3 = (39,37 pol)3 == 61023 pOl3 1m3 == 6,1023 . 104 pOl31 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3 = 6,1023 . 104 pOl3 = 35,3 pé3 Obs:dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ = dm3 (litro) . ,Mecânicêl2Técnica ecResistência,dosMateriais.::". ,L : ''t .~ :. .· < ii:m 1 l\!v · · · ·: . , ; ; !$ ,ilI f : ; if? ? ,': : . ,.~.:;&r ,~';;>§i::L. ••....... 1.6 Exercícios (Sistema de Unidades)CBA E x . 1 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADadas as medidas em milésimos de polegada n, pede-se expressá-Ias em [mm]. a) 0,393" c) 0,325" e) 0,600" b) 0,750" d) 0,875" f) 0,120" Solução: Para transformar a medida expressa em [pol] para [mm], multiplica-se o valor da medida por 25,4 mm. a) 0,393 x 25,4nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 9,9822 mm b) 0,750 x 25,4 = 19,05 mm c) 0,325 x 25,4 = 8,255 mm d) 0,875 x 25,4 = 22,225 mm e) 0,600 x 25,4 = 15,24 mm EX.2 - Dadas as medidas em polegada fracionária ("), pede-se expressá-Ias em [mm]. 5" a) - 8 b) 21" 4 3" c)- 16 19" d)- 64 Solução: Da mesma forma que o eX.1, multiplica-se a medida por25,4 mm 5 a) - x 25,4 = 15,875mm 8 b) 2~ x 25,4 = (2 x 25,4 + ~. 25,4) = (50,8 + 6,35) = 57,15mm 3 c) - x 25,4 = 4,7625mm 16 19 d) - x 25,4 = 7,540625mm 64 E x . 3 - Dadas as medidas em "mm", expresse-as em milésimos de polegada. a) 15,24 mm c) 30,48 mm e) 11,430 mm b) 21,59 mm d) 8,255 mm f) 4,445 mm Solução: Para encontrar as medidas dadas em "rnm" em polegada milesimal, dividi-se o valor da medida por 25,4, pois pol = 25,4 mm. 15,24 _ 600" a) 25,4 -O, 30,48 _ 1 200" c) 25,4 - , 11,430 = 0,450" e) 25,4 21,59 _ 850"b) - -O, 25,4 8,255 _ 325"d) - - 0,25,4 4,445 _ 0175"f) - - ,25,4onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ex.4 - Dadas as medidas em "mrn", expresse-as em "polegada fracionária". a) 10,31875 mm c) 14,2875 mm e) 5,55625 mm b) 17,4625 mm d) 3,96875 mmnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f) 3,571875 mm Solução: Para encontrar as medidas dadas em "mrn" em "polegada fracionária", divide-se a medida por 128 25,4 (valorda polegada), e multiplica-se o resultado obtido por 128' pois a fração de polegada corresponde a uma exponencial de 2, ou seja 2n no caso, 128 = 27 nQ de divisões no paquímetro. a) 110,31875p:mí 25,4JfI1'Í1 x 128"t 52 = 13" (simplificado por 4) 128 128 32 ~ b) 117,4625 r1)P'r' x 25,4rymf 128"t 88 = 11" (Simplificado por 8) 128 128 16 ~ ~28"dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAl ~ = ~ (Simplificado por 8) 128 128 16'--AONMLKJIHGFEDCBA 3 ,9 6 8 7 5 ~ 1 2 8 ': L 20 = ~ (Simplificado por 4) d)1 25,4rmTÍ x 1~128 32 = 28 =!:.- (Simplificado por 4)5 ,5 5 6 2 5 m y Y e) 1 25,41JJf!! x 128 32 _,571875~= 18 = ~ (Simplificado por 2) f)CBA1 25,4 rymf x 12~ 128 64 EX.5 - Dadas as medidas em pé expresse-as em "mm". a) 15' b) 12' c) 7,5' d) 18' Solução: Para transformar a medida expressa em "pé" para "rnm", multiplica-se o valor da medida por 304,8 mm. MecânicaTécnicaeResistência dos Materiais .,~ ~ a) 15 x 304,8nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 4572 mm c) 7,5 x 304,8 = 2286 mm b) 12 x 304,8 = 3657,6 mm d) 18 x 304,8 = 5486,4 mmonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ex. 6 - Um pé equivale a quantas polegadas? Solução: pé = 304,8 mm portanto: pé 304,8~ -poI 25 ,41J)f1'f IPé = 12Pall EX.7 - Sabemos que por definição cv= 75 kgfmjs e que kgf.m = 9,80665 J. Expressar cvh em joules. pol = 25,4 mm cvh = 75 x 9,80665 == 735,5 W cvh = 735,5ONMLKJIHGFEDCBAX x 3600$ I cvh = 2,6478 .106 J I Ex. 8 - Sabendo-se que: pé = 30.48 em e pol = 2,54 em. Determinar as relações entre: a) pé2 e m2; b) pal2 e m2; c) pé3 e m3 d) pal3 e m3 8.a) Relação entre pé2 e m2 pé2 = (O,3048m)2 pé2 = 0,092903 m2 Ipé2 = 9,2903 . 10-2 m21 8.b) Relação entre pol2 m2 pai = 2,54 . 10-2 m pal2 = (2,54 . 10-2 m)2 Ipal2 = 6,4516 . 10-4 m21 8.c) Relação entre pe3 e m3 pé = 3,048 x 10.1 m pé3 = (3,048 X 10.1 m)3 I pé3 = 2,832 X 10.2 m31 8.d) Relação entre pol3 e m3 pai = 2,54 . 10-2m pOl3 = (2,54 . 10-2 m)3 I pal3 = 1,638 . 10-5 m31 15 ~onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA EX.9 - Em uma prova automobilística, o piloto A foi o vencedor, com o seu carro perfazendo o percurso, com vm = 180kmdcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj h. Expressar vm em: a) kmjmin b) kmjs e) mjs Velocidade média em km/rnin 180 i vmnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= -- = 3 km j min 60 ~ 9.a) ~ 9.c) Velocidade em m/s 180000 vm = 3600 = 50 m j s 9.b) Velocidade média em krri/s Ivm = fo = 0,05 km / si ~4? Ex . .1.0 - No dimensionamento de circuitos automáticos e em outras aplicações na engenharia, é utilizada a unidade de pressão bar = 10 5 N/m 2 (pascal). Expressar bar em: a) kgfjm2; b) kgfjem2; e) kgfjmm2; d)ONMLKJIHGFEDCBA.e b / pOl2 (psi) Dados: kgf = 9,80665N fb = 0,4536 kgf pol = 2,54 em .1.0.a) bar para kgf/m2 5 2 10 4 2 bar = 10 N j m = . 10 kgf j m 9,80665 I bar = 1,0197 x 104 kgfjm2! .1.0.b) bar para kgf/cm2 bar = 105 Njm2 = 1,0197 x 104 kgfjm2 se m2 = 104 em2 1,019 x 104bar = --.:....------:--- 104 I bar = 1,0197 kgf j em2 I .1.0.c) bar para kgf/mm2 bar = 1,019 kgf / em 2 se em 2 = 10 2 mm 2 1,0197 -2 2 bar = .., = 1,0197 x 10 kgf j mm 10 I bar = 1,0197 x 10-2 kgf j mm21 ·Mecânica Técnicae Resistência dos Materiais,,, •• 1 0 . d )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAbar para Rb/ pol2 (psi) kgfnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= 2,2dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe b em = 0,3937 pai pai = 2,54em em2 = 0,155pa12 bar = 1,0193' kgf/em2 1,0193 x 2,2 bar = 0,155 e b bar == 14,5 --2 (psi) pai • • •onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA EX.11 - Unidade de pressão utilizada na indústria, o psi significa libra* /polegada quadrada. Pergunta-se: a) kgf/cm2 equivale a quantos psi b) N/cm2 equivale a quantos psi Sabe-se que: 1 kgf = e b = 9,80665 N 0,4536 1 pai = 2,54 em ~ em = -2- pai ,54 1 1 . a ) kgf/cm2 equivalente a psi 1 e b 2,54 2 kgf 0,4536 e b 2 - [2,~4J pol2em pal 2 0,4536 I kgf / cm2 == 14,22 psi I 11.b) N/cm2 equivalente a psi 1 e b N 9,80665 x 0,4536 C,~4J pol2 2 ,5 4 2 e b 9,80665 x 0,4536 pal2 N . -- = 1,45 pSI em2 EX.12 - Para calibrar os pneus do Chevette, deve-se observar as seguintes recomendações da Chevrolet. -----", ....• rzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA~onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 12.1- Para Calibragem de Pneus a FrioCBA 1 2 . 1 . 1 Quando o automóvel estiver carregado com no máximo 03 pessoas, as pressões indicadas são: DIANTnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1,2 kgf/cm2 TRAS 1,5 kgf/cm2 1 2 . 1 . 2 Quando o automóvel estiver carregado com 5 pessoas, as pressões indicadas são: DIANT 1,4 kgf/cm2 TRAS 1,7 kgf/cm2 12.2 - Para Calibragem de Pneus a Quente 1 2 . 2 . 1 Para percursos com velocidades acima de 100 krn/hpor mais de uma hora ou quando os pneus forem calibrados a quente, adicionar 0,14 kgf/cm2. Expressar as pressões indicadas em psi U b / pol") 1 2 . 1 . 1 Pressões expressas em psi para veículo carregado com até 03 pessoas. DIANT TRAS = 1,2 x 14,22 1,5 x 14,22 17 psi 21 psi= 1 2 . 1 . 2 Pressões em psi para veículo carregado com 05 pessoas. DIANT TRAS = 1,4 x 14,22 1,7 x 14,22 20 psi 24 psi= 1 2 . 2 . 1 Para pneus calibrados a quente é recomendado adicionar 0,14 kgf/cm2 0,14 x 14,22 == 2 psi EX.13 - Aceleração normal da gravidade é gn = 9,80665m/s2. Expressar gn em [km/h], m = 10-3 km 5=(3,6X10 3 )h- 1 ( 1 J252 - h - 3,6 X 103 • s- ( 1 hJ - 3,6x103 9,80665X 10-3 9,80665X 10-3 gn = (3,6x 103)-2 = 3,6-2 X 10-6 gn = 9,80665x 10-3 x 3,62 X 106 I gn = 1,271 x 105 km / h21 .Mecânica~Técnica e.Reslstêncla.dosMaterlalsss '., "o ~ E x . 1 4 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA tabela a seguir representa o módulo de elasticidade de alguns materiais, dados em [kgfjcmnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2]. Expressar esses valores em [kgfjmm2]; [Njcm2]; [Njmm2].onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Material Módulo de Elasticidade E [kgfjcm 2 ] aço 2,1 x 106 alumínio 0,7 x 106 fofo nodular 1,4 x 106 cobre 1,12 x 106 estanho 0,42 x 106 1 4 . a ) Módulo de elasticidade E [kgfjmm2] Aço Eaço = 2,1 X 106 kgf/cm2 se cm2 = 102mm2 Eaço = 2,1 X 106 x 10-2 = 2,1 X 104 Kgf/mm2 Alumínio Eal = 0,7 X 106 kgf/cm2 se cm2 = 102 mrrr' Eal = 0,7 X 106 x 10-2 = 0,7 X 104 kgf/mm2 Foto Nodular Efn = 1,4 X 10 6 kgf/cm2 se cm2 = 102 mrrr' Efn = 1,4 X 106 x 10-2 = 1,4 X 104 kgf/mm2 Cobre Ecu = 1,12 X 106 kgf/cm2 se cm2 = 102 mm2 Ecu = 1,12 X 106 x 10-2 = 1,12 X 104 kgf/mm2 Estanho Ee = 0,42 X 106 kgf/cm2 se cm2 = 102 mm2 Ee = 0,42 X 106 x 10-2 = 0,42 X 104 kgf/mm2 1 4 . b ) Módulo da elasticidade E [Njcm2] Eaço = 2,1 X 106 kgf/cm2 Eaço = 9,8 x 2,1 x 106 N/cm2 Eaço = 2,06 X 10 7 N/cm 2 kgf == 9,8 N Analogamente, para os outros materiais, temos: 9 rnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Eat=zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA0,69 X 107 N/em2 07 2Efn = 1,37 x 1 N/em 7 2 Ecu = 1,1 x 10 N/em Ee = 0,41 X 107 N/em2CBA 1 4 . c ) Módulo de elasticidade E [Njmm2] Eaço = 2,06 X 10 7 N/em 2 se em 2 = 10 2 mm 2 Eaço = 2,06 X 107 x 10,,2 = 2,06X 105 N/mm2 Analogamente, para os outros materiais, temos: E aR = 0,69 x 105 N/mm2 5 2Efn = 1,37 x 10 N/mm Ecu = 1,1 X 105 N/mm2 Ee = 0,41 X 105 N/mm2 E x . 1 5 - A área da secção transversal da viga I, representada na figura, possui as seguintes características geométricas: x Jx = 920 em" (momento de inércia relativo ao eixo x) Wx = 120 crrr' (módulo de resistência relativo a x) ix = 6,24 cm (raio de giração relativo ao eixo x) Expressar as características dadas em: a) m": m3; m b) mrn": mrrr': mm 1 5 . a ) Sabe-se que cm = 10-2 m em" = (10-2 rn)" = 10-8 m4 :. Jx= 920 x 10-8 m" = 9,2 x 10-6 m" crrr' = (10-2 m)3 = 10-6 m3 :. Wx = 120 X 10-6 m3 = 1,2 x 10-4 m3 em = 10-2 m :. ix = 6,24 X 10-2 m = 6,24 x 10-2 m 1 5 . b ) Sabe-se que cm = 10mm em" = (10 mrn)" = 104 mrn" :. Jx= 920 X 104 mrn" = 9,2 x 106 mm" cm3 = (10 mm)3= 103 mm3 :. Wx = 120 X 103 mm3 = 1,2 x 105 mm' cm=10mm :. ix = 6,24 x 10 mm = 62,4 mm ;Q,,,,,MecânicaonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBATécnica eReslstêncla dos,Materiais""'2""""',"" " " '- 'w . ; " • •• • • • E X . 1 6 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA produção de petróleo no Brasil, em 1984, foi de 500.000 barris/dia. Essa produção equivale a: a) Quantos litros de petróleo/dia b) Quantos metros cúbicos de petróleo/dia barril de petróleo =159ONMLKJIHGFEDCBAP 1 6 . a ) Produção em litros/dia 5 x 105 x 1,59 X 102 = 7,95 x 107 P/dia : l 6 . b ) Produção em mnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA3/dia 5 x 105 x 1,59 X 102 x 10-3 7,95 X 104 m3/dia E X . 1 7 - Unidade de tensão utilizada no SI (Sistema Internacional), o MPa (megapascal) corresponde a 106 Pa ou 106 N/m2. Determinar as relações entre: a) MPa e N/em2 b) MPa e N/mm2 e) MPa e kgf/em2 d) MPa e kgf/mm2 1 7 . a ) MPa para N/cm2 MPa = 106 N/m2 sabe-se que, 1 7 . b ) MPa para N/mm2 MPa = 106 N/m2 sabe-se que, m = 103 mm m2 = (103 mm)2 = 106 mm2 106 MPa = -- N /mm2 106 1 7 . c ) MPa para kgf/cm2 MPa = 106 N/m2 kgf = 9,80665N:m = 102 em m2 = (102 em)2= 104 em2 106 MPa = --------:- 9,80665 X 104 sabe-se que, I MPa = 10,197 kgf/em21 I ,..CBA 1 7 . d ) MPa para kgfjmmnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2 MPa ~dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 0 6 N /m 2 sabe-se que, kgf = 9,80665N m = 103 mm m2 = (103 mm)2 = 106 mrrr' 106 MPa=-----~ 9,80665 x 106 I MPa = 0,10197 kgf I mm 2 1onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA EX.18 - No dimensionamento de redes hidráulicas, utiliza-se a unidade de pressão mH20 (metro coluna d' água), que corresponde a 9806,65 N jmONMLKJIHGFEDCBA2 . Determinar as relações entre: a) mH20 e kPa; b) mH20 e kgf/cm 2 ; c) mH20 e bar. Dados 1 5 2 N = kgf e bar = 10 N I m 9,80665 18.a) Como o prefixo quilo (k) representa 103, dividi-se o valor dado em Pa(Njm2) por mil, obtendo-se então: 9806,65 mH20= ., =9,80665kPa 10 18.b) mH20 = 9806,65 N /m 2 como N = 1 kgf e m2 = 104 cm2 tem se que: 9,80665 2 9806,65 kgf mH20 = 9806,65 N 1 m = 4 --2 9,80665 x 10 cm 3 -4 -1 fi 2mH2O = 10 x 10 = 10 kg cm I mH20 = 0,1 kgf I cm21 18.c) mH20 = 9,80665 X 10 3 N jm 2 como bar = 105 N jm 2 tem-se que: mH20 = 0,980665 x 10 5 N /m 2 portanto mH20 = 0,980665 bar ImH20 = 9,80665 x 10-2 bar I E x . 1 9 - Por definição, tem-se que: cv= 735,5W (cavalo-vapor) e hp= 745, 7W (horse-power). Determinar a relação entre cv e hp. hp 745,7 -=-- cv 735,5 745,7 hp = --cv 735,5 I hp == 1,014cvl Obs.: Na prática, normalmente utiliza-se hp = cv. Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais ~ Ex. 20 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBASabe-se que, por definição, WnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= J/s, cal = 4,186 Je kgfm = 9,80665 J.Pede-se determinar as relações entre: _.. c •." "(' •.1=n - h:\05~30Rq~_.;'..:- '. _; .-..'. ,. L_: '; ,;dcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr C \ _ a) kWh e J b) kWh e kgfrn: c) kWIi 6~ÓaL . , 'u · :"ri:~~EIOS COü;~OCBAU c . :ONMLKJIHGFEDCBAh l , l.- 20.a) Relação entre kWh e J Como W = .I/s: k = 103; h = 3,6 X 103s, conclui-se que: J kWh == 103 X 3,6 X 103,,5'.- / I kWh == 3,6 x106 J I 20.b) Relação entre kWh e kgfrn 1 Tem-se que kgfm = 9,80665J, portanto J == kgfm , Como kWh = 3,6 x 106 J, 9,80665 conclui-se que: 3,6 X 10 6 kWh == kgfm 9,80665 I kWh = 3,67 x 105 kgf.m 20.c) Relação entre kWh e kcal Como 1 cal = 4,186 J,tem-se que: 1 J == -- cal 4,186 3,6 X 10 6 kWh == cal 4,186 kWh == 8,6 x 105 cal Como kcal = 103 cal, conclui-se que: I kWh = 860 kcall Ex. 21 - Nos projetos de sistemas de ar condicionado, utiliza-se a unidade de caloria BTU, que significa a quantidade de calor necessária para elevar 1 libra de H20 à temperatura de 1° F. Determinar as relações entre: a) BTU e kWh; b) BTU e cvh. Sabe-se que, BTU = 1,0546 x 103 J (a 60°F aproximadamente 15,5 0c). 21.a) 1 _ Sabe-se que, kWh == 3,6 x 106 J, portanto J = 6 kWh, tem-se entao que: 3,6 x 10 3 BTU == 6 x 1,0546 x 10 kWh 3,6 x 10 1 I BTU =2,93 x10-4 kWh 21.b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAPela resolução do exercício 7, tem-se que cvh ::::2,6478x 106nmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ, portanto, 1 J = 2,6478 x 106 cvh, logo pode-se escrever que 1 3 BTU= R • 1,0546 x 10 cvh 2,6478 x 10 I BTU= 0,398 x 10-3 cvh I Ex. 22 - Por definição, tem-se que: kgf-rn = 9,80665 J, kW = 103 W e hp Determinar as relações entre: 745,7 W. a) kWe kgfrn/s: b) hp e kgfrn/s 22.a) J 1 Como W = - e J = kgfrn, conclui-se que: N 9,80665 22.b) 3 J 103 kgfm kW= 10 -= --- N 9,80665 5 IkW~102~1 Sendo hp::::745,7W, conclui-se que: 7457 I Ihp = 'kgfmdcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 5 hp == 76 kgfm 1 5 9,80665 . EX.23 - A vazão de um fluido, com escoamento em um regime permanente, no tubo de uma rede de distribuição, corresponde ao volume do fluido escoado na unidade de tempo. Determinar as relações entre as unidades de vazão que seguem: a) m3ONMLKJIHGFEDCBA1 5 (SI) e i! 1 5 ; b) m3 1 h e i! 1 5 . 23.a) 3 3 Sabe-se que, m = 10 t , portanto: m 3 /5 = 1 0 3 i! 5 23.b) Como m3 = 1 03 .e e h = 3,6 X 103s, conclui-se que: m 3 /h = 10 3 i! 3,6x1035 I m3/h = 0,277 i! 1 s I EX.24 - Denomina-se viscosidade a propriedade que tem os fluidos de resistir ao movimento de suas partículas. Desta forma, mede-se a variação de velocidade que se reflete sobre os esforços de cisalhamento. A viscosidade dinâmica no SI é dada em newton- segundo por metro quadrado: viscosidade de um líquido que ao percorrer a distância de 1m, com a velocidade de Lrn/s, provoca uma tensão superficial de 1Pa (N/m2), representada por [ j. l] . MecânicaTécnica.eResistênciadosMateriais I CnmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAplaca móvelCBA I _ = = = = - - _ - J ; ~ . . FtonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA---=-- - o : : : : : = . - _ ' : . .::--==-==t~~:-==::'=::---I~-camada de fluído I--==~_ H"7,J ~placafixa v = Irn/s d = 1m placa móvel camada de fluído placa fixa A unidade usual para este tipo de viscosidade é o poise que equivale a 1 dlna.s/ em", Expressar poise nas unidades do: a) SI; b) Mk*S (técnico). 24.a) Sabe-se que N = 105 dina e m2 = 104 cm2, portanto conclui-se que: 10-5 N . s dina = 10- 5 N cm 2 = 10-4 m2 poise = 10-4 m2 I poise = 10-1 Ns/m2 I 24.b) Como kgf = 9,80665N conclui-se que: 1 N = kgf 9,80665 1 1 kgf.s poise = 10- . --- 9,80665 m2 -3 kgf.s poise = 10,19 x 10 ~ kgf.s --::: 98poisem2 - Ex. 25 - A viscosidade cinemática de um fluido (v) é definida através da relação entre a viscosidade dinâmica (J..I.) e a sua massa específica (p). No SI, a viscosidade cinemática é definida através da viscosidade dinâmica de 1Ns/m2 e a massa específica de 1kgjm3, o que resulta em uma viscosidade cinemática de 1m2js. Porém, a unidade utilizada com maior freqüência na prática é a do CGS que corresponde a cm2js (stoke). Expressar Stoke nos: a) SI b) Mk*S (técnico) d) expressar centistoke no SIc) centistokes ..Sistemas de Unidades ,,, . ~.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 25.a) stoke no SInmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 1 cm 2 -4 2 st = stoke = -- cm = 10 m s st= stoke= 10- 4 m 2 s 25.b) stoke no Mk*S (técnico) o mesmo do SI 25.c) stoke em centistokes cst = centistoke = 10-2 stoke 25.d) centistoke no SI 2 -2 -2 -4 m cst = centistoke = 10 stoke = 10 . 10 - s cst = centistoke = 10- 6 m 2 / s m 2 = 10 6 mm 2 centistoke = 10- 6 . 10 6 mm 2 / s I cst= mm2 / si Ex. 26 - Demonstrar que a unidade de viscosidade cinemática de um fluido no SI éONMLKJIHGFEDCBA1 m 2 /s . Pela definição de viscosidade cinemática tem-se que: ~ viscosidade dinâmica v = - = -------- p massa espedfica A unidade de viscosidade dinâmica no SI édcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAN s /m 2 , e a unidade de massa específica no SI é k g /m 3 . Através da definição de força escreve-se que: F m=-= N a m/ s2 portanto kg= _N m/s2 Como a definição de v = ~, conclui-se que: p N.s m2 N N. s m4 Nm2 . S2 v= m/ S2 m3 Iv = m2 / si ..MecânicaTécnicae Resistência dos Materiais: ~ -------- V íN C U L O S E S T R U T U R A IS 2 .1 In t ro d u ç ã oZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA D e n o m in a m o s v ín c u lo s o u a p o io s o s e le m e n to s d e c o n s tru ç ã o q u e im p e d e m o s m o v im e n to s d e u m a e s tru tu ra . N a s e s tru tu ra s p la n a s , p o d e m o s c la s s if ic á - Io s e m 3 tip o s . 2 .1 .1 V ín c u lo S im p le s o u M ó v e l E s te t ip o d e v ín c u lo im p e d e o m o v im e n to d e tra n s la ç ã o n a d ire ç ã o n o rm a l a o p la n o d e a p o io , fo rn e c e n d o -n o s d e s ta fo rm a , u m a ú n ic a re a ç ã o (n o rm a l a o p la n o d e a p o io ) . R e p re s e n ta ç ã o s im b ó lic a : 2 .1 .2 V ín c u lo D u p lo o u F ix o E s te t ip o d e v ín c u lo im p e d e o m o v im e n to d e tra n s la ç ã o e m d u a s d ire ç õ e s , n a d ire ç ã o n o rm a l e n a d ire ç ã o p a ra le la a o p la n o d e a p o io , p o d e n d o d e s ta fo rm a n o s fo rn e c e r , d e s d e q u e s o lic ita d o , d u a s re a ç õ e s , s e n d o u m a p a ra c a d a p la n o c ita d o . R e p re s e n ta ç ã o s im b ó lic a : y x tNMLKJIHGFEDCBA 2 .1 .3 E n g a s ta m e n toZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA E s te t ip o d e v ín c u lo im p e d e a tra n s la ç ã o e m q u a lq u e r d ire ç ã o , im p e d in d o ta m b é m a ro ta ç ã o d o m e s m o , a tra v é s d e u m c o n tra m o m e n to , q u e b lo q u e ia a a ç ã o d o m o m e n to d e s o lic ita ç ã o . ~ tR!'C \ - - 'S ! '< I i • R x rc , - - ~ Rx = im p e d e o m o v im e n to d e tra n s la ç ã o n a d ire ç ã o x . R y = im p e d e o m o v im e n to d e tra n s la ç ã o n a d ire ç ã o y. M - im p e d e a ro ta ç ã o 2 .2 E s tru tu ra D e n o m in a -s e e s tru tu ra o c o n ju n to d e e le m e n to s d e c o n s tru ç ã o , c o m p o s to c o m a fin a lid a d e d e re c e b e r e tra n s m it ir e s fo rç o s . A s e s tru tu ra s p la n a s s ã o c la s s if ic a d a s a tra v é s d e s u a e s ta t ic id a d e , e m 3 tip o s . 2 .2 .1 E s tru tu ra s H ip o e s tá t ic a s E s te s t ip o s d e e s tru tu ra s s ã o in s tá v e is q u a n to à e s ta t ic id a d e , s e n d o b e m p o u c o u t il iz a d a s n o d e c o rre r d o n o s s o c u rs o . A s u a c la s s if ic a ç ã o c o m o h ip o e s tá t ic a s é d e v id o a o fa to d e o n ú m e ro d e e q u a ç õ e s d a e s tá t ic a s e r s u p e r io r a o n ú m e ro d e in c ó g n ita s . E x e m p lo : p A B R A RB número de equações> número de incógnitas 2 .2 .2 E s tru tu ra s Is o s tá t ic a s A e s tru tu ra é c la s s if ic a d a c o m o is o s tá t ic a q u a n d o o n ú m e ro d e re a ç õ e s a s e re m d e te rm in a d a s c o in c id e c o m o n ú m e ro d e e q u a ç õ e s d a e s tá t ic a . M e c â n ic a T é c n ic a e R e s is tê n c ia d o s M a te r ia is ~ E x e m p lo s : a ) RAv b)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I I . P I lL ._ ._ ._ P, RAH número de equações< número de incógnitas 2 .2 .3 E s tru tu ra s H ip e re s tá t ic a s A e s tru tu ra éc la s s if ic a d a c o m o h ip e re s tá t ic a , q u a n d o a s e q u a ç õ e s d a e s tá t ic a s ã o in s u f ic ie n te s p a ra d e te rm in a r a s re a ç õ e s n o s a p o io s . P a ra to rn a r p o s s ív e l a s o lu ç ã o d e s ta s e s tru tu ra s , d e v e m o s s u p le m e n ta r a s e q u a ç õ e s d a e s tá t ic a c o m a s e q u a ç õ e s d o d e s lo c a m e n to , q u e s e rã o e s tu d a d a s p o s te r io rm e n te e m re s is tê n c ia d o s m a te r ia is . E x e m p lo s : pa ) b ) p número de equações< número de incógnitas V ín c u lo s ,E s tru tu ra is · 29 ",~",: __.,-,!_,«~"",".";",,,,,,,- ._;.,;., .... ;;;. '-_<;l;~;,·;;-=-~:,:;<;:_;;_;;''',,:~,,-'~§.;.,:::::_:;.._':,,'= ..~"';- §:- c, -----~ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA. .~ E Q U ILíB R IO D E FO R Ç A S E M O M E N TO SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Para que um determinado corpo esteja em equilíbrio,srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé necessário que sejam satisfeitas as condições 3.1 e 3.2. 3.1 R esultante de Forças A resultante do sistema de forças atuante será nula. 3.2 R esultante dos M om entos A resultante dos momentos atuantes em relação a um ponto qualquer do plano de forças será nula. 3.3 E quações Fundam entais da E stática Baseados em 3.1 e 3.2, concluímos que para forças coplanares, LFx = O, LFy = O e LM = O. 3.4 Força A xial ou N orm al F É definida como força axial ou normal a carga que atua, na direção do eixo longitudinal da peça. A denominação normal ocorre, em virtude de ser perpendicular, à secção transversal. eixo longitudinal ~. - Equilíbrio de Forças e Momentos 11 31 ,kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3.5 Tração e C om pressão A ação da força axial atuante, em uma peça, originará nesta tração ou compressão. Tração na P eça A peça estará tracionada quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o seu exterior. ~ C om pressão na P eça A peça estará comprimida, quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido dirigido para o interior. ~ 3.6 Ligação ou N ó Denomina-se nó todo ponto de interligaçào dos elementos de construção componentes de uma estrutura. 3.7 Tração e C om pressão em R elação ao N ó P eça Tracionada Sempre que a peça estiver sendo tracionada, o nó estará sendo "puxado". .. AHtM,,;..;;:;;~;,:._<".tt.- B Tração no nósrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A B o---~ Tração na barra .. M ecânicaTécnica e R esistência dos M ateriais ,.,. P eça C om prim idazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Sempre que a peça estiver sendo comprimida, o nó estará sendo "empurrado". Compressão na barra Compressão do nó AsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~"',,'@F',.. B 3.8 C om posição de Forças Consiste na determinação da resultante de um sistema, podendo ser resolvida gráfica ou analiticamente. E xem plo 1: E xem plo 2: FI + F2 F3 F3 F = FI + F2-F3 3.9 D ecom posição de Força em C om ponentes O rtogonais y Fx = F cos o. = F sen ~ Fy = F cos ~ = F sen c. Equilíbrio de Forças.eMomentos 33 ,.kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3.:10 C onhecidos F x e Fy' determ inar a e ~srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Fy . tgo; =-, Fx Fy r. sena= -; cosa =- F F F F Ftg 1<=2... sen I<=2... cos I<= ~ f-' F' f-' F' f-' F y 3.1:1. D eterm inação A nalítica da R esultante de D uas Forças que Form am entre S i  ngulo a B 0< I .-'),A D Através do ~ ODA, aplica-se o Teorema de Pitágoras, resultando: I) F2 = (F2 + X)2 + y2 onde CD = x AD = Y Pelo L'l CDA tem-se: 2 2 2 Fi = X + Y portanto: 11) 2 - 2 2Y = Fi - X no mesmo L'l CDA conclui-se que: 11I) x = Fi cos a Substituindo a eq. 11na eq. I tem-se: 2 2 2 2 2 F = F2 + 2F2x + X + Fi - X M ecânicaTécnicae R esistênciadosM ateriais --- Substituindo a eq. 11Ina anterior tem-se: ParasrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAa = O Quando a = O ~ cos a = 1, portanto: F2=F12+F/+2F1F2 F2 = (F1 + F2)2 F = F1 + F2kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI Quandoa = 900 ~ cosa = O, portanto: c ---------------- B,,,,,,,, o "'-'---'---0: ,. A FI F Quando a = 1800 ~ cosa = - 1, portanto: F2=F/+F22_2F1F2 F2 = (F1 - F2)2 ou (F2 - Fi)2 I F I = I Fi - F21 ou I F2 - Fi I F 180 0 FI r:-. 2 F2 FI F=F2-Fl 3.12 D eterm inação A nalítica da D ireção da R esultante Através do ~ OAO tem-se: B tgy=_Y- F2 +x O~""r-----;:"T""~A No ~ ACO tem-se: Y = Fi sen« D x = Fi cosa rsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F1sena tgy= F 2 +F1 cosa portanto, podemos escrever que:kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a) Fl=lON F2=20N F3=25N 3.13 E xercícios E X .l - Determine a resultante F dos sistemas de forças a seguir: .. - .. S olução: F=1O+20+25=55N -I R esposta: F = 55N da esquerda para direita b) 50N ---- ..••.- .. --------80N 120N S olução: 50N 80N 120N--- 50N 200N ~I F = 200-50 = I50N R esposta: F = 150N da direita para esquerda. E X .2 - Determine os componentes ortogonals Fx e Fy de uma carga F de 100N que forma 40° com a horizontal. y' Fx = 100 cos 40° = 100 x 0,766C~--7:B I Fx == 76,6NI \)~ : r; I «,-?"> : Fy = 100 sen 40° = 100 x 0,643 I 40° I I Fy == 64,3 N I.~o r, A X E X .3 - As componentes de uma carga F, são respectivamente: r, = 120 N e Fy= 90 N M ecânica T êcnlca.e R esistência dos~Materiais',~'"c 2;;t'l~~ill;'X;:~;:'" . :';"i';«.'~"i.:!.:.:::::~,j~g;"",,';~:.::':i .;;:i!';0;::::c~:JC:';. ""--- Determinar:kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a) A resultante F. b) O ângulo que F forma com a horizontal. c) O ângulo que F forma com a vertical. S olução: a) Resultante F FsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F = J1202 + 902 I F = 150N I a Fx=120N b) ângulo que F forma com a horizontal (a) Fy 90 tg« = - = - = 0,75 Fx 120 l-a-=::3-71 c) ângulo que F forma com a vertical (~) B = 90° - a = 90° - 3]0 E x.4 - As cargas Fi = 200 N e F2 = 600 N formam entre si um ângulo a=60'. Determinar a resultante das cargas (F) e o ângulo (y) que F forma com a horizontal. S olução: Resultante F y F =JF; +F; +2FIF2 COSa F=J2002 +6002 +2.200·600·COS60o I F=::721N IF.=600N ângulo que F forma com F2 (Y) FI sen a tgy=---- F2 +FI cosa t 200sen60° gy=------ 600 - 200 cos 60° y=13"54' I ,..kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3.14 M étodo das P rojeçõessrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o estudo do equilíbrio neste método, consiste em decompor as componentes das forças coplanares atuantes no sistema em x e y conforme item 3. E xem plo 1 3.:14.1 E xem plos A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as forças normais atuantes nos cabos <I>,@,®. S olução: Os cabos estão todos tracionados (cabo não suporta compressão), portanto os nós A, B, C, D estão sendo "puxados". Baseados no exposto, podemos colocar os vetores representativos das forças nos cabos. Para determinarmos a intensidade das forças, iniciamos os cálculos pelo nó que seja o mais conveniente, ou seja, que possua a solução mais rápida, nó com o menor número de incógnitas, para o nosso caso nó D. Nó D L:Fy = O y F3I F3= P I x p Determinada a força na barra 3, partimos para determinar Fi e F2' que serão calculados através do nó C. Nó C LFy = O Fi sencx = P LFx = O Fi coscx= F2 y F, cos a x P F2 = -- . coscx sencx ~t~/: u..11a II F = _P- = Pcosseccx Ii sencx I F2 = P cotgCXI p MecânícaTêcníca-e Resistência dos Materiais ••... E xem plo 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A construção representada na figura está em equilíbrio. Calcular as forças normais atuantes nos cabos (j),srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA@, (1). c ® D P S olução: Analogamente ao exemplo 1, partimos do nó D para determinar F3. LFy = ° I F3 = P I No D y p Novamente como no exemplo anterior, o nó C é o mais conveniente. Porém, neste exemplo, temos a oportunidade de apresentar mais um artifício, que poderá ser utilizado sempre que for necessário. Este artifício (mudança de plano) torna-se conveniente, sempre que duas ou mais forças estiverem colineares ou defasadas 90°. Os cabos (j), @, (1) estão tracionados, portanto teremos o nó C com o sistema de forças a seguir. y x LFy = ° F2 = Pcos45° I F2 = 0,707P I LF =0 x F 1 = P sen 45° IF1 = 0,707P I p E xem plo 3 Uma carga de 1000 kgf está suspensa conforme mostra a figura ao lado. Determinar as forças normais atuantes nas barras (j), @ e (1). "'"kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA S olução: , Iniciamos os cálculos pelo nó D. A carga de 1000 kgf traciona a barra 3, portanto teremos o sistema de forças abaixo.srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F3 EFy = O I F3 = 1000 kgf I '.1000 kgf A barra Q), tracionada, tende a "puxar" o nó A para baixo, sendo impedida pela barra Q) que o "puxa" para cima, auxiliada pela barra CDque o "empurra" para cima para que haja equilíbrio. Temos portanto a barre O tracionada e a barraCD comprimida, resultando no sistema de forças atuante no nó A representado na figura. y IFx = O Fl (:)c$ F1 sen60° = F2 sen45° F2 cos45° F1 = (1) sen 60° A ~ x IF = Oy F1 cos60° + F2 cos45° = 1000 (11) 1000 kgf substituindo a equação I na equação 11 temos: F2 cos 45° ---- . cos60° + F2 cos 45° = 1000 sen60° F2 . 0,707 . 0,5 0,866 + 0,707 F2 = 1000 1,115 F2 = 1000 I F2'" 897 kgf I substituindo F2 na equação I temos: F 1 = F2 cos45° sen60° 897 x 0,707 0,866 I F1= 732kgf I 3.15 M étodo do P olígono de Forças Para que um sistema de forças concorrentes atuantes em um plano esteja em equilíbrio, é condição essencial que o polígono de forças formado pela disposição geométrica destas cargas esteja fechado. M ecânica Técnica e Resistência dos M ateriais te: :~.~;.:~~..~. ~ ~5 r-~LKJIHGFEDCBAt~[~ ..kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr/i () S S O R ÓzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA - [~Ií:"3LICTEC/\· É importante ressaltar que para a formação do polígono, o iIÚOQ),Qt;lU'DífWwm€tmre;entativo de uma carga deve coincidir com o final do outro. E assim sucessivamente / E xem plo: o vetor CDinicia-se em A e vai até B o vetor @ inicia-se em B e vai até C 3.15.1 E xem plos S olução: E xem plo 1 A construção dada está em equilíbrio. A carga P aplicada em D é de 1,4 tf. Determinar as forças normais atuantes nos cabos, utilizando o método do polígono de forças. Neste caso, como temos apenas 3 forças a serem determinadas, o nosso polígono será um triângulo de forças. Sabemos que F3 = P, como estudamos em exemplos anteriores. Para traçarmos o triângulo de forças, vamos utilizar o nó C, procedendo da seguinte forma: 1- Traçamos o vetor força F3 = P, que sabemos ser vertical. 2 - A F2 forma com F3 um ângulo de 3r, sabemos ainda que, o vetor F2 tem o seu início no final do vetor F3' portanto, com uma inclinação de 3r em relação ao final do vetor F3' traçamos o vetor F2. 3 - O vetor Fi forma 90° com o vetor F3' sabemos que o início de F3 é o final de Fi' teremos, portanto, o triângulo de forças abaixo. Pela lei dos senos temos: sen90° P 1400 F2 = = -- = 1750kgf sen53° 0,8 Fi = F2 sen3r = 1750 x 0,6 Fi = 1050 kgf F2 =1750 kgf F3 = 1400 kgf .....E quilíbrio de: Forças:e Momentos:",,:,,: 41 r Observação:LKJIHGFEDCBAC om o se pode perceber, a cargasrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1,4 tf fo i transfo rm ada para 1400 kg f.kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA E xem plo 2 A estrutura representada na figura está em equilíbrio. A carga P aplicada em D é de 2,4 tf. Determinar as forças normais atuantes nas barras CD, <De Q) utilizando o método do polígono de forças. S olução: Observando a figura, concluímos que as barras CD e Q) estão tracionadas, e a barra <Destá comprimida. Teremos portanto o esquema de forças a seguir. Novamente para este caso, teremos um triângulo de forças. Sabemos que F3 = 2,4 tf, como já foi estudado em exemplos anteriores. Novamente o nó C será objeto do nosso estudo. Através de C, traçaremos o triângulo de forças. 1. - Traçamos o vetor força F3 = 2,4 tf, que sabemos ser vertical, e para baixo. 2 - A força F2 formacom F3 um ângulo de 3JO, sabemos ainda que o vetor F2 tem o seu início no final do vetor F3' portanto, com uma inclinação de 37° em relação ao final do vetor F3, traçamos o vetor F2. 3 - O vetor F1 forma 90° com o vetor F 2, pela extremidade final de F2, com uma inclinação de 90° em relação a este, traçamos o vetor F 1,teremos desta forma o triângulo de forças. Pela lei dos senos temos: F1 F2 F3 --= ==-- sen 3JO sen 53° sen 90° F2 = F3 sen 53° u:' Como o sen 90° = 1, tem-se que: F2 = 2,4 x 0,8 = 1,92 tf F1= F3 sen 37" F1= 2,4 x 0,6 = 1,44 tf E xem plo 3 Determinar a intensidade da força F que deve ser aplicada no eixo do disco de r = 2m e m = 10kg mostrado na figura, para que possa subir o degrau de h = 20 cm. Adotar g = 10m/s2. Qual a intensidade da reação em A? ~;;;,,"::Mecânica;T écnica e R esistência dos,'Materiais"';f;;,C;"'~"f;i';=fi::::",l:C;"TL.:llii':',;;;;:~:::::2 iQ ,;;,'\,;;tL ";""" ,< ;','::YF"''':;;;;;S;;'='='='''=', ••• FzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA F p 6 o C'J pkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA S olução: Traçaremos o triângulo de forças relativo ao equilíbrio do ponto O. Como nos exemplos anteriores, iniciaremos o traçado pela força P que sabemos ser vertical e para baixo. A força F, forma 90° com P, e coincide com o final de F. Os ângulos que RA forma com P e com F serão determinados através do /'o" OAB. 1,8 cosa = - = 0,9 2 B Pela lei dos senos, cálculo de FeRA: F P RA sen26° sen 64° sen90° Como sen 90° = 1, tem-se: p F = 64' sen26°sen ° p 100.0,438 F= 0,9 I F = 48,66N I F 48,66 R - --- A - sen 26°- 0,438 RA == 111,1N I 43 3.16 M om ento de um a ForçazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Define-se como momento de uma força em relação a um ponto qualquer de referência, como sendo o produto entre a intensidade de carga aplicada e a respectiva distância em relação ao ponto.srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA É importante observar que a direção da força e a distância estarão sempre defasadas 90°. Na figura dada, o momento da força Fem relação ao ponto A será obtido através do produto F.c, da mesma forma que o p Çl •.... r. produto da carga P em relação a A será obtido através de P.b. ' , Para o nosso curso, convencionaremos positivo, o momento que obedecer ao sentido horário. Nota:LKJIHGFEDCBAM uitos autores u tilizam convenção contrá ria a esta , porém , para a seqüência do nosso curso , é im portan te que o m om ento positivo se ja horário . 3.16.1 Teorem a de V arignon o momento da resultante de duas forças concorrentes em um ponto E qualquer do seu plano em relação a um ponto A de referência, é igual à soma algébrica dos momentos das componentes da força resultante em relação a este ponto. Rd = Hb + Vc Para o caso da figura temos: 3.16.2 E xem plos E xem plo 1 Determinar as reações nos apoios das vigas a, b, c, d, carregadas conforme mostram as figuras a seguir. a) Viga solicitada por carga perpendicular. J,- a " p b RA Ra .m nvM ecânica::TécnicaeR esistência dos Materiais ,,~;;;.::.; :-::~;~';.'-~~~: == l:MA = ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Rs (a + b) = p. a l:Ms =0 RA (a + b) = p. b R =~ B (a + b) R =~ A (a + b)kjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b) Viga solicitada por carga inclinada. I- 2m 3m 2m 8kN 5kN S olução: A primeira providência a ser tomada, para solucionar este exemplo, é decompor a carga de 10kN, visando obter as componentes vertical e horizontal. A componente horizontal será obtida através de 10 cos 53° = 6kN, e a componente vertical é obtida através de 10 sen 53° = 8kN .. Agora, já temos condição de utilizar as equações do equilíbrio para solucionar o exemplo. 7Rs = 5 x 5 + 8 x 2 I Rs == 5,86KN I l:FH=O I RAH = 6KN IRAV = 8 + 5 - 5,86 I RAV = 7,14KN I Resultante no apoio A RA = J7,14 2 + 62 IRA == 9,33KN I c) Viga solicitada por carga paralela ao suporte principal. 4m r-- IMzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA = o IFH = o I RAH = 6KNkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI6RB = 6x2 IRB=2KNI IFv = o IRAV=RB=2KN Resultante no apoio A RA = JR~H + RL RA=J62+22 IRA=6,32KNI d) Viga solicitada por torque. ~ 6m4m 30kN Figura A E N 30kN" I r~,RA RB Figura B o binário da figura A pode ser representado conforme a figura B. IM A = O 10RB = 120 I RB = 12KN I IFv = O I RA = RB = 12KN I 3.17 E xercícios R esolvidos Ex. 1. - o suporte vertical ABC desliza livremente sobre o eixo AB, porém é mantido na posição da figura através de um colar preso no eixo. Desprezando o atrito, determinar as reações em A e B, quando estiver sendo aplicada no ponto C do suporte, uma carga de 5kN. M ecânica;Técnicae Resistência;dos';Materiais'n~'::;c ',::.·:',110"'",';; ':":> , ,;'c'· ,:.' .A",:tir #7",/:" i,,~,.;LKJIHGFEDCBA,;X ;,1 """:,:ri, '''' ;;\')7' :, ::7;"'":;, --- »c:': RAV//,.///,/ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ , <,srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A, IkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAII I ~ RAH 11 111 I 1, 5 8 I ~ 8 % RB 8 B '/ /// 30cm c IMA=O 24RB = 5 x 30 IRB = 6,25KN I IFH = O kN I RAH = RB = 6,25KN I IFv = O Reação em A IRA = 8KN I E x. 2 - A figura a seguir, representa uma junta rebitada, composta por rebites de diâmetros iguais. Determinar as forças atuantes nos rebites. ~~ __~R=-~ ~~ RAH Como os diâmetros dos rebites são iguais, na vertical as cargas serão iguais: IR" = R, = Rcv = T = 1000 N I o rebite B, por estar na posição intermediária, não possui reação na horizontal. O rebite A está sendo "puxado" para a direita, portanto possuirá uma reação horizontal para a esquerda. O rebite C, ao contrário de A, está sendo "empurrado" para a esquerda, portanto possuirá reação horizontal para a direita. .E quilíbrio,deForças e,Momentos;;·x'!,' 47 E sforços H orizontais I.MAzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= O 200 RCH= 600 x 3000 I RCH= 9000N I Força atuante nos rebites A e C RA = JRtv + RtH RA = ~10002 + 90002 IRA =9055N IsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I.FH = O I RAH= RCH= 9000N I Como RA e Rc são iguais, temos que: I RA e Rc = 9055 N I E x. 3 - Determinar a intensidade da força F, para que atue no parafuso o torque de 40Nm. A distância ª (centro do parafuso ao ponto de aplicação da carga F) será determinada por: 20em 20 20 a= =-- cos23° 0,92 a = 21,7 em la=o,217ml LMO = O O,217F = 40 F = 40 0,217=184N E X .4 - Um grifo é utilizado para rosquear um tubo de d = 20mm a uma luva como mostra a figura. Determinar a intensidade da força F exercida pelo grifo no tubo, quando a força de aperto aplicada for 40N. O somatório de momentos em relação à articulação A soluciona o exercício: I.MA=O 30F = 180 x 40 -1 F = 180 x 40 30 IF = 240N I M ecânica Técnica e R esistência dos M ateriais 40N 180 E X .5 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA figura dada representa uma alavanca de comando submetida a um conjugado horário de 90Nm exercido em O. Projetar a alavanca para que possa operar com força de 150N. IS 0N~'--+--'srqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o o N y S olução: Para projetar a alavanca, precisamos determinar a dimensão y. Para determinarmos y, precisamos que as unidades sejam coerentes, por esta razão, transformaremos Nm para N.mm 90Nm = 90000Nmm dim ensão y LMO = O 150 (200 + y) = 90000 90000 Y = -200 150 Iy = 400mm I dim ensão x Como x é a hipotenusa do triângulo ABO temos: y 400 x = cos 26° 0,9 I x == 445mm I E X .6 - O guindaste da figura foi projetado para 5kN. Determinar a força atuante na haste do cilindro e a reação na articulação A. 400 800 B 5kN • ',:",',;,:r,:,:"",:',:""",:r',:',:,:',:",',:,'" E quilíbrio de Forças e M om entos S olução:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Esforços na viga AC 400 800 5kNsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFcsen 37°~~ Força atuante na haste do cilindro: LM A = O 400 Fc cos 37° = 5 x 1200 I Fc = 18,75kN I Componentes de Fc Fc cos 3r = 18,75 x0,8 = 15 kN Fc sen 3r = 18,75 x 0,6 = 11,25kN Reações na articulação A LFH = O RAH = Fc sen 3r = 11,25kN LFV = O RAV = Fc cos 3r - 5 RAV = 15 - 5 = 10kN Fc cos 37° Reação na articulação A r 2 2 RA = VRAH+ RAV RA = ~11,252 + 10 2 IRA=15kN I E X .7 - A figura dada, representa uma escada de comprimentoLKJIHGFEDCBAf = 5m e peso desprezível. A distância do pé da escada à parede é de 3m. No meio da escada há um homem de peso P = 800N. A parede vertical não apresenta atrito. Determinar a reação da parede sobre a escada, e a reação no ponto B . A >- S olução: ângulo a Esforços no apoio B 3 cosa = - = 06 5 ' l-a-=-53-o I [SJ~o RSH Podemos agora determinar a dimensão y: y = 3 tg 53° I y= 4m I M ecânica Técnica e R esistência dos M ateriais Reação da parede vertical na escala: IMB =0 4RsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA = 1,5 x 800 I RA = 300NkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI - c Reações em B A distância 1,5 m foi obtida através do triângulo CDB: LFv = O RBV = 800N Resultante Rs RB = ~8002 + 3002 I RB == 855N I LFH = O RBH = RA = 300 N E x. 8 - Determinar a força que atua no prego, quando uma carga de 80 N atua na extremidade A do extrator ("pé de cabra"), no caso representado na figura dada. 80N A o o '" S olução: Força de extração do prego: IMB = O 50F cos34°= 80 x 200 I F = 385N I I''''+1"",wrEc~uilíbriiode Forças e Mom.entos; C A R G A D IS T R IB U íD A 4 .1 In t ro d u ç ã ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Nos capítulos anteriores, estudamos somente a ação de cargas concentradas, isto é, cargas que atuam em um determinado ponto, ou região com área desprezível. No presente capítulo, passaremos a nos preocupar com a ação das cargas distribuídas, ou seja, cargas que atuam ao longo de um trecho. 4 .1 .1 E x e m p lo s d e C a rg a s D is t r ib u íd a s a ) O peso próprio de uma viga b) O peso de uma caixa d'água atuando sobre uma vigaaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~ 3"""""ê ..CargaDistribuída v c )aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBApeso de uma laje em uma viga • I c o lu n a c o lu n a Podemos ainda citar como exemplos, barragens, comportas, tanques, hélices, etc. Vamos agora, genericamente, estudar o caso de uma carga qualquer distribuída, como nos mostra a figura a seguir. XG q - intensidade de carga no ponto correspondente Adotamos para o estudo, o infinitésimo de carga dQ que é determinado pelo produto qdx. nx m to- --- q d Q L--------~rr~I~!~tl~--~,AO ' ~ Q I d Q = q d x I É fácil observar que a superfície da figura é composta por infinitos qdx, que correspondem às forças elementares das áreas elementares correspondentes. Osomatório dessas cargas elementares expressará a resultante Q, determinada pela área total Om.n.A da figura. 4 .2 L in h a d e A ç ã o d a R e s u lta n te O momento de um infinitésimo de área em relação ao ponto O será expresso através do produto xdQ, que podemos escrever qxdx. O somatório de todos os momentos em relação ao ponto O será expresso por: f:QXdX Denominamos XG, a abscissa que fixa o ponto de aplicação da concentrada Q em relação ao ponto o. Portanto, podemos escrever que: - M e c â n ic a T é c n ic a eResistênciardos',Materiais"-",,,-,', >t~~',:;:;?:'~::-.~_~mk~:df-~:C~F.';;;~f,.~',<m<:R"'~~'~)ij;!!!:r.::'f~L,/';': s:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAqxdx XG =-=--Q- Donde conclui-se que a resultanteaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAQ atuará sempre no centro de gravidade da superfTcie que representa a carga distribuída. Através desta superfTcie de carga, fica determinada a resultante e o ponto de aplicação da carga distribuída.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4 .3 E x e rc íc io s R e s o lv id o s Ex. 1- Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela ação das cargas distribuídas, conforme as figuras dadas. 1.a) q A resultante da carga distribuída de intensidade q e comprimento l será ql, e atuará no ponto l /2 em relação a A ou B, como já foi estudado anteriormente. Teremos, então: Q/2 qQ f R A f = q f '2 IR A = q~ I 1.b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA i / q A carga distribuída, variando linearmente de O a q, possui resultante com intensidade q.e/ 2, que atuará a uma distância .e /3 de B (centro de gravidade do triângulo). Teremos, então: ~QaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 RA IM A = O R t _ qt 2B __ ._f 2 3' I R , = ~ I IM s = 0 R A f = q e .~ 2 3 I R" = ~ I 1.c) 6m ql 2 I , ~ Q /3 RB lO k N m Na solução deste exercício, vamos dividir o trapézio em um triângulo e um retângulo, obtendo desta forma as concentradas a seguir . .q;mJ;,JYlecânZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAic a . Técnica."e,Resistência·,dos< M a te r ia is ,; ; ; ; '::"';_"'~'2!I'~:;';;".:. . · · '. ; ;z : l i · ; :" " " ? , '< .:" '~ ' .. .:. . . . · 7 ,! ! 'S = ;;" ; : ; : : ;< i .. " : . '"~;.'J>\_•.::......< , '- 30kN 15kN 3m 1m 2m RA IRBaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA L MzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA = O 6RB = 4 x 15 + 30x 3 I RB = 25kNI 1..d) L F v = O R A + R B = 30 + 15 I RA = 20kNI 6m 3m Solução idêntica ao exercício anterior. Teremos, então: L M A = O 6RB=7x12+48x3 I RB = 38kNZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI 48kN 12kN 3m 3m 1m 2m I 1 -- - - - - - - - - - - - - IRa L F v = O R A + R B = 48 + 12 I RA = 22kN I E x .2 - Determinar a reação no apoio A e a força normal na barra (D, na viga carregada conforme a figura dada. Qual o ângulo a que RA forma com a horizontal? / 5kN m 4m 2m 2kN 1m 5 7 Na solução deste exercício, devemos observar o tipo de solicitação na barra (j). A barra está tracionada, portanto "puxa" os nós. Decompomos a força normal na barra (j), determinando as componentes vertical e horizontal da força. O próximo passoaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé determinar a resultante da carga distribuída, bem como a sua localização. É fácil observar que para determinar RA' temos que obter as componentes vertical e horizontal do apoio, para na seqüência obtermos a resultante; Temos, então, o esquema de forças a seguir: 2m 4m 1m ~~t 1 2 k N RAVI «:-7 : : l ' F1V a . 53°ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA. ' A RAH ' lH Força normal na barra (j) I ,M A = O 6Fi sen53°= 7 x 2 + 20 x 2 I Fi = 11,25KN I Componente horizontal de Fi Componente vertical de Fi Fi H = Fi COS 53° = 11,25 x 0,6 = 6,75 kN FiV = Fi sen 53° = 11,25 x 0,8 = 9 kN Reação em A Componente Vertical RAV Componente horizontal RAH I ,F v = O I,F H = O RAV+FiV=20+2 I RAV= 22 - 9 = 13kN I RAH= FiH = 6,75kN Resultante RA RA = JR~H + R~v RA = J6,75 2 + 132 I RA == 14,65kN I Ângulo que RAforma com a horizontal tg o : = RAV ~ RAH 6,75 1 0 : = 62° 34' I Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais E X .3 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBADeterminar as reações nos apoios A e B, da construção representada na figura a seguir. Qual o ângulo (a) que RA forma com a horizontal? 4m Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, chegamos ao esquema de forças a seguir:aZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 40 0 N 2m 2m ._.:=11 E 4 O _ 0 N ._ ;~ 2 4 0 N I : 3 7 ' 1 2 0 0 N 3 2 0 N ~ I ~._._._. 3m 1m R. Reação no apoio B IM A = O 8Rs = 1200 x 7 + 240 x 4 + 2400 x 2 - 320 x 2 I Rs = 1690N I IF y = O RAy + Rs = 2400 + 240 + 1200 IRAS = 2150N I IF H = O RA H = 320N I 5 9 Resultante RaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA RA = ~RÃH + RÃv RA = J3202 +21502 I RA = 2174N Ângulo que RA forma com a horizontal tg « = RAV _ 2 1 5 0 R AH - 3 2 0 la = 8 1 °3 2 '1ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA E X .4 - Determinar as reações nos apoios A, B e C e a força normal atuante nas barras C D e (? ) , na construção representada na figura a seguir. l ! ' : j.5 t I 1 1 ' . . ; - . '- . E e o G ® 5 3../n_ w ~ -t 800N m c 3T o C D "'r~500N E 500N 1m I 3m Para solucionar este exercício devemos proceder da seguinte forma. Calculamos a força normal atuante na barra C D e a reação no apoio A, não nos preocupando com a parte superior do exercício. Desta forma teremos, então,o seguinte esquema de forças: 2m 3m3m A •...~.. .• . . . . . • . . . . . . 2400N F I -: r---.----.----.----.~ E O O N .m RA .M e c â n ic a Técnica e R e s is tê n c ia d o s M a te r ia is Força normal na barra CD Reação no apoio AaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .L :M A = O 5F1 = 2400 x 2 + 1000 IFl = 1160NI .L :F v = O RA + F1 = 2400 R A = 2400 - 1160 IRA = 1240NI A barraCDestá tracionada, portanto "puxa" os nós Ee Fcom a intensidade de 1160N. Portanto, agora, temos condição de calcular a parte superior de construção, baseados no esquema de forças a seguir. 1m 1200N E , . . . . .L - - - - - - j - - j~ = = 1 ~ B RaH F 1160N 1m 1m 2m Força normal na barra 2 2:MB =0 4F2sen53°= 1200 x 3 + 1160 x 1 + 800 x 1- 600 xl IF2 = 1550NZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAI Componentes vertical e horizontal de F2 F2X= F2sen53°= 1550 x 0,8 = 1240N Reação no apoio B F2y= F2sen53°= 1550 x 0,6 = 930N RBV = F2cos 53°+1160 + 1200 + 600 RBV = 930 + 1160 + 1200 + 600 I Rsv = 3890N I RBH = 1200 + 800 I RBH = 440N I Resultante B RB = ~38902 + 440 2 I RB = 3915N I '" C a rg a ,O is t r ib u íd a 6 1 lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA, TRAÇÃO E COMPRESSÃO 5.1 Revisão do Capítulo 3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEixoLongitudinal 5.1.1 Força Normal ou Axial FzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Define-se como força normal ou axial aquela que atua perpendicularmente (normal) sobre a área da secção transversal de peça. / 5.1.2 Tração e Compressão Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforço de tração ou compressão, quando uma carga normal F atuar sobre a área da secção transversal da peça, na direção do eixo longitudinal. Quando a carga atuar com o sentido dirigido para o exterior da peça ("puxada"), a peça estará tracionada. Quando o sentido de carga estiver dirigido para o interior da peça, a barra estará comprimida ("empurrada"). Peça tracionada Peça comprimida Área da secção Transversal Área da secção TransversalUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA - : / -- 63 5.2 Tensão NormalzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA A carga normal F, que atua na peça, origina nesta, uma tensão normal que é determinada através da relação entre a intensidade da carga aplicada, e a área da secção transversal da peça. I cr= f I Onde: o - tensão normal [Pa; ] F - força normal ou axial [N; ] A - área da secção transversal da peça [m2; ] Unidade de Tensão no SI (Sistema Internacional) A unidade de tensão no SI é o pascal, que corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2. 1N 1m 2 Como a unidade pascal é infinetesimal, freqüência, os seus múltiplos: '~ . kP a (quilo pascal) kPa = 103 Pa utiliza-se com MP a (mega pascal) 6MPa = 10 Pa A unidade MPa (rnega pascal, corresponde à aplicação de 106 N (um milhão de newtons) na superfície de um metro quadrado (m2). Como m2 = 106mm2, conclui-se que: I MPa = N/mm 2 1 MPa corresponde à carga de 1N atuando sobre a superfície de Lrnm". 5.3 Lei de Hooke Após uma série de experiências, o cientista inglês, Robert Hooke, no ano de 1678, constatou que uma série de mãteriais, quando submetidos à ação de carga normal, sofre variação na sua dimensão linear inicial, bem como na área da secção transversal inicial. Ao fenômeno da variação linear, Hooke denominou alongamento, constatando que: • quanto maior a carga normal aplicada, e o comprimento inicial da peça, maior o alongamento, e que, quanto maior a área da secção transversal e a rigidez do material, medido através do seu módulo de elasticidade, menor o alongamento, resultando daí a equação: IH=F'j-A.E Como o = ~ podemos escrever a Lei de Hooke: A IM=G/I ..'··'MecânicaTécnica e Resistência dos Materiais' Onde:fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf:. R - alongamento da peça [m; ] (J - tensão normalzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA[Pa; ] F - carga normal aplicada [N; ] A - área da secção transversal [m2; ] E - módulo de elasticidade do material [Pa; ]UTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R - comprimento inicial da peça [m; ] O alongamento será positivo, quando a carga aplicada tracionar a peça, e será negativo quando a carga aplicada comprimir a peça. É importante observar que a carga se distribui por toda área da secção transversal da peça.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Tração no Nó Compressão no Nó Peça Tracionada Peça Comprimida F IRf = R + t l R I Onde: J!f - comprimento final da peça [m; ] R - comprimento inicial da peça [m; ] t l R - alongamento [m; ] A lei de Hooke, em toda a sua amplitude, abrange a deformação longitudinal (E) e a deformação transversal (Et). Deformação longitudinal ( E ) Consiste na deformação que ocorre em uma unidade de comprimento (u.c) de uma peça submetida à ação de carga axial. Sendo definida através das relações: 6~Tração e Compressão v rzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ./" ,fedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA I IE=~=~ IzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA<,onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Deformação transversal (tt) Determina-se através do produto entre a deformação unitária (E) e o coeficiente de Poisson (v) . ó. f o como c == e == E' podemos escrever: ICt == -vc I ~ ~ ou Ict == _vó./I Onde: Et - deformação transversal adimensional o - tensão normal atuante [Pa; .... , .... ] E - módulo de elasticidade do material [Pa;; ..... ] t - deformação longitudinal adimensional v - coeficiente de Poisson adimensional ó. f - alongamento [m; ] f - comprimento inicial [m; ] 5.4 Materiais Dúcteis e Frágeis Os materiais, conforme as suas características, são classificados como dúcteis ou frágeis. 5.4.1 Material Dúctil O material é classificado como dúctil, quando submetido a ensaio de tração, apresenta deformação plástica, precedida por uma deformação elástica, para atingir o rompimento. cobre; latão; etc. alumínio; bronze; Ex.: Aço; níquel; ··:"Mecânicac1'écnica·eResistênciados::MateriaiS:F.:.·:':;>' ..'.'.;::;".'1'&' ,:""".;.,. r" "'''".,.""." Diagrama Tensão deformação do aço ABNT 1020 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ponto O - Início de ensaio carga nula Ponto A - Limite de proporcionalidade Ponto B - Limite superior de escoamento Ponto C - Limite inferior de escoamento Ponto D - Final de escoamento início da recuperação do material Ponto E - Limite máximo de resistência Ponto F - Limite de ruptura do materialzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (f E (fm~;---------------------~~ (fr o Escoamento RecuperaçãoRegião de Def. Elástica Região de Def. Plástica 5.4.2 Material Frágil F Eslricçáo o material é classificado comefrágil, quando submetido a ensaio de tração não apresenta deformação plástica, passando da deformação elástica para o rompimento. Ex.: concreto, vidro, porcelana, cerâmica, gesso, cristal, acrílico, baquelite etc. Diagrama tensão deformação do material frágil Ponto O - Início de ensaio carga nula Ponto A -limite máximo de resistência, ponto de ruptura do material I .•e ormação elástica---+---- 5.5 EstricçãozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA No ensaio de tração,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà medida que aumentamos a intensidade de carga normal aplicada, observamos que a peça apresenta alongamento na sua direção longitudinal e uma redução na secção transversal. Na fase de deformação plástica do material, essa redução da secção transversal começa a se acentuar, apresentado estrangulamento da secção na região de ruptura. Essa propriedade mecânica é denominada estricção, sendo determinada através da expressão: Ao - Af .100% cP = Ao Onde: cp - estricção [%] Ao - área da secção transversal inicial [mm2; cm; ] Af - área da secção transversal final [mm2; cm2; ] 5.6 Coeficiente de Segurança k O coeficiente de segurança é utilizado no dimensionamento dos elementos de construção, visando assegurar o equilíbrio entre a qualidade da construção