MAT_FIN_06_ACE_2020

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 curso de Educação a Distância da Rede Senac EAD, da disciplina correspondente. Proibida a reprodução e o com
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 Editora Senac São Paulo.
Capítulo 6 
Taxas e prazos 
em aplicações
financeiras 
Neste capítulo, mostraremos tanto como calcular as taxas médias 
quanto os prazos médios das operações financeiras. 
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1 Taxas médias em aplicação financeira – 
teoria e cálculo 
Qual a necessidade e a utilidade de conhecer a taxa média em um 
prazo médio nas operações financeiras? 
Vamos supor que você tenha um capital de R$ 10.000,00 para inves-
timento e poderá fazer uma aplicação individual de R$ 10.000,00 com 
uma determinada taxa e prazo ou, ainda, selecionar outros investimen-
tos para a diversificação de sua carteira de investimentos. Para Gimenes 
(2013), você pode aplicar seu capital a taxas e prazos diferentes e, com 
isso, analisar essas variáveis como um todo, identificando uma taxa úni-
ca, na qual você poderia aplicar todo o capital, que renderia o mesmo 
valor final com essas aplicações individuais, bem como identificar um 
prazo de aplicação, de maneira única, em que o capital aplicado, o valor 
dos juros e o valor do rendimento seriam equivalentes. 
Sendo assim, Assaf Neto (2009) destaca: 
• Taxa média: utilizada quando temos vários títulos de aplicações 
ou operações financeiras e queremos acumular todos em um úni-
co título ou fazer uma operação para que todos estejam em uma 
mesma taxa para ter melhor rendimento e vantagem financeira. 
• Prazo médio: utilizado quando temos vários títulos de aplicações 
ou operações financeiras e queremos acumular todos em um úni-
co título ou fazer uma operação para que todos estejam em um 
prazo para ter melhor rendimento e vantagem financeira. 
Temos três contextos para calcular a taxa média: capital igual e prazo 
igual, capital diferente e prazo igual e capital diferente e prazo diferente. 
91 Taxas e prazos em aplicações financeiras
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1.1 Capital igual e prazo igual 
Cenário em que temos o mesmo capital e o mesmo prazo emprega-
do para cada um dos títulos. A única diferenciação dessas aplicações 
será a própria taxa. Nessa situação, aplicaremos a média aritmética 
simples, que funciona de forma mais adequada quando os valores são 
relativamente uniformes. A média aritmética simples é o somatório de 
cada uma das observações dividido pelo número total de elementos 
que compõem a amostra. Diante desse primeiro contexto, apresenta-
mos a seguinte fórmula: 
i1 + i2 + i3 ... + inTaxa média aritmética = 
n (títulos) 
Consideramos o somatório de todas as taxas, dividido pela quantida-
de de títulos em que foi realizada a aplicação. 
Vamos aplicar a fórmula em um exemplo prático? 
Considerar 3 títulos financeiros no valor de R$ 10.000,00 no prazo de 
3 meses, com as respectivas taxas: 
Título da aplicação 1: 2% ao mês 
Título da aplicação 2: 3% ao mês 
Título da aplicação 3: 4% ao mês 
Determinar a taxa média desse cenário. 
Primeiro, devemos transformar as taxas na base decimal (dividir por 
100), realizar o somatório delas e dividir pela quantidade de títulos. Ao 
final, multiplicar por 100 para encontrar a taxa média na forma 
percentual. 
0,02 + 0,03 + 0,04 Taxa média aritmética = = 0,03 � 100 = 3% 
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Resposta: A taxa média desse cenário é de 3%. 
1.2 Capital diferente e prazo igual 
Cenário em que temos o capital diferente empregado para cada um 
dos títulos e o mesmo prazo. Nessa situação, aplicaremos a média arit-
mética ponderada, que é calculada multiplicando-se cada valor do con-
junto de dados pelo seu peso. A média aritmética ponderada é o soma-
tório de cada uma das observações com seus respectivos pesos 
dividido pelo número de pesos que compõem a amostra. O peso nesse 
caso será o capital. Diante desse segundo contexto, apresentamos a 
seguinte fórmula: 
 Taxa média ponderada = C1 � i1 + C2 � i2 + C3 � i3 + ... Cⁿ � iⁿ 
C1 + C2 + C3 ... + Cⁿ 
Vamos aplicar a fórmula em um exemplo prático? 
Considerar três títulos financeiros, A, B e C, no prazo de 3 meses, 
com as seguintes informações: 
Título da aplicação A: capital de R$ 10.000,00 a 2% ao mês. 
Título da aplicação B: capital de R$ 15.000,00 a 3% ao mês. 
Título da aplicação C: capital de R$ 20.000,00 a 4% ao mês. 
Determinar a taxa média desse cenário. 
Primeiro, devemos transformar as taxas na base decimal (dividindo 
por 100) e multiplicar cada taxa pelo seu capital, para, na sequência, so-
mar esses produtos. Em seguida, dividir esse resultado pelo somatório 
monetário de títulos. Ao final, multiplicar por 100 para encontrar a taxa 
média na forma percentual. 
Taxa média ponderada = 10.000 ∙ 0,02 + 15.000 ∙ 0,03 + 20.000 ∙ 0,04 
10.000 + 15.000 + 20.000 
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Taxa média ponderada = 200 + 450 + 800
45.000 
Taxa média ponderada = 1.450 = 0,0322 ∙ 100 = 3,22%
45.000 
Resposta: A taxa média desse cenário é de 3,22%. 
1.3 Capital diferente e prazo diferente 
Cenário em que temos capital e prazo diferentes para cada um dos 
títulos. Nessa situação, aplicaremos a média aritmética ponderada, que 
é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu 
peso. A média aritmética ponderada é o somatório de cada uma das 
observações com seus respectivos pesos dividido pelo número de pe-
sos que compõem a amostra. Os pesos, nessa situação, serão o capital 
e o tempo. Diante desse terceiro contexto, apresentamos a seguinte 
fórmula: 
 
 
Taxa média ponderada = i1 ∙ (n1 ∙ C1) + i2 ∙ (n2 ∙ C2) + i3 ∙ (n3 ∙ C3) + ...
(n1 ∙ C1) + (n2 ∙ C2) + (n3 ∙ C3) + ... 
Considerar três títulos financeiros, A, B e C, com as seguintes 
informações: 
Título da aplicação A: capital de R$ 10.000,00 a 2% ao mês, prazo de 
3 meses. 
Título da aplicação B: capital de R$ 15.000,00 a 3% ao mês, prazo de 
8 meses. 
Título da aplicação C: capital de R$ 20.000,00 a 4% ao mês, prazo de 
12 meses. 
Determinar a taxa média desse cenário. 
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Taxa média ponderada = i1 ∙ (n1 ∙ C1) + i2 ∙ (n2 ∙ C2) + i3 ∙ (n3 ∙ C3) + ...
(n1 ∙ C1) + (n2 ∙ C2) + (n3 ∙ C3) + ... 
Primeiro, devemos transformar as taxas na base decimal (dividindo 
por 100) e efetuar a multiplicaçãode cada taxa pelo prazo e pelo capital. 
Na sequência, adicionamos esses produtos e dividimos esse resultado 
pelo somatório da multiplicação dos prazos pelo capital. Ao final, multi-
plicamos por 100 para indicar a taxa na forma percentual. 
 
 
Taxa média ponderada = 0,02 ∙ (3 ∙ 10.000) + 0,03 ∙ (8 ∙ 15.000) + 0,04 ∙ (12 ∙ 20.000)
(3 ∙ 10.000) + (8 ∙ 15.000) + (12 ∙ 20.000) 
600 + 3.600 + 9.600 13.800Taxa média ponderada = = 
30.000 + 120.000 + 240.000 390.000 
= 0,0354 . 100 = 3,54% 
Resposta: A taxa média desse cenário é de 3,54%. 
2 Prazos médios em aplicação financeira – 
teoria e cálculo 
Para Hazzan e Pompeo (2014) e seguindo a mesma linha de racio-
cínio de Assaf Neto(2009), para calcular o prazo médio de um conjunto 
de títulos, utilizaremos os mesmos contextos para o cálculo das taxas 
médias e aplicaremos no prazo médio: capital igual e prazo igual, capital 
diferente e prazo igual e capital diferente e prazo diferente. 
2.1 Capital igual e taxa igual 
Cenário em que temos o mesmo capital e a taxa empregada para 
cada um dos títulos. Nessa situação, aplicaremos a média aritmética 
simples, que funciona de maneira mais adequada quando os valores 
são relativamente uniformes. A média aritmética simples é o somatório 
de cada uma das observações dividido pelo número total de elementos 
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que compõem a amostra. Diante desse primeiro contexto, apresenta-
mos a seguinte fórmula: 
 nPrazo médio = n1 + n2 + n3 + ... n 
n (títulos) 
Consideramos o somatório de todos os prazos dividido pela quanti-
dade de títulos em que foi realizada a aplicação. 
Vamos aplicar a fórmula em um exemplo prático? 
Considerar três títulos financeiros no valor de R$ 10.000,00, com a 
taxa de 2%, com os respectivos prazos: 
Título da aplicação 1: 20 dias. 
Título da aplicação 2: 25 dias. 
Título da aplicação 3: 30 dias. 
Determinar o prazo médio desse cenário. 
 20 + 25 + 30 = 25 dias Prazo médio = 3 
Resposta: O prazo médio desse cenário é de 25 dias. 
IMPORTANTE 
No exemplo apresentado, se você aplicar o capital total de R$ 30.000, o 
prazo médio de 25 dias é o tempo para que, no final, a uma mesma taxa, 
tenhamos o mesmo rendimento. 
 
2.2 Capital diferente e taxa igual 
Cenário em que temos o capital diferente empregado para cada um 
dos títulos e a mesma taxa. Nessa situação, aplicaremos a média 
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aritmética ponderada, que é calculada multiplicando-se cada valor do 
conjunto de dados pelo seu peso. A média aritmética ponderada é o 
somatório de cada uma das observações com seus respectivos pesos 
dividido pelo número de pesos que compõem a amostra. O peso, nesse 
caso, será o capital. Diante desse segundo contexto, apresentamos a 
seguinte fórmula: 
 ⁿ ∙ nⁿPrazo médio ponderado = C1 ∙ n1 + C2 ∙ n2 + C3 ∙ n3 + ... C 
C1 + C2 +C3 ... + Cⁿ 
Vamos aplicar a fórmula em um exemplo prático? 
Considerar 3 títulos financeiros, A, B e C, com taxa de 2%, e com os 
respectivos prazos: 
Título da aplicação A: capital de R$ 10.000,00 com prazo de 20 dias. 
Título da aplicação B: capital de R$ 15.000,00 com prazo de 25 dias. 
Título da aplicação C: capital de R$ 20.000,00 com prazo de 30 dias. 
Determinar o prazo médio desse cenário. 
Multiplicar cada prazo pelo seu capital e dividir pela somatória mone-
tária de títulos. 
Prazo médio = 10.000 ∙ 20 + 15.000 ∙ 25 + 20.000 ∙ 30 10.000 + 15.000 + 20.000 
Prazo médio = 200.000 + 375.000 + 60.000 45.000 
1.175.000 = 26,11Prazo médio = 45.000 
Resposta: O prazo médio desse cenário é de 26 dias. 
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NA PRÁTICA 
O resultado de 26 dias significa que, se substituirmos os períodos dife-
rentes apresentados no exemplo para 26 dias e calcularmos a soma dos 
juros totais de cada aplicação, teremos o mesmo valor que a soma dos 
juros totais na aplicação inicial. 
 
2.3 Capital diferente e taxa diferente 
Cenário em que temos o capital e a taxa diferentes para cada um dos 
títulos. Nessa situação, aplicaremos a média aritmética ponderada, que 
é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu 
peso. A média aritmética ponderada é o somatório de cada uma das 
observações com seus respectivos pesos dividido pelo número de pe-
sos que compõem a amostra. O peso, nessa situação, será o capital e a 
taxa. Diante desse terceiro contexto, apresentamos a seguinte fórmula: 
 
n1 ∙ (i1 ∙ C1) + n2 ∙ (i2 ∙ C2) + n3 ∙ (i3 ∙ C3) + ...Prazo médio = 
(i1 ∙ C1) + (i2 ∙ C2) + (i3 ∙ C3) + ... 
Vamos aplicar a fórmula em um exemplo prático? 
Considerar 3 títulos financeiros, A, B e C, com as seguintes 
informações: 
Título da aplicação A: capital de R$ 10.000,00 a 2%, prazo de 20 dias. 
Título da aplicação B: capital de R$ 15.000,00 a 3%, prazo de 25 dias. 
Título da aplicação C: capital de R$ 20.000,00 a 4%, prazo de 30 
meses. 
Determinar o prazo médio desse cenário. 
n1 ∙ (i1 ∙ C1) + n2 ∙ (i2 ∙ C2) + n3 ∙ (i3 ∙ C3) + ...Prazo médio = 
(i1 ∙ C1) + (i2 ∙ C2) + (i3 ∙ C3) + ... 
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Primeiro, coloque as taxas na base decimal (dividindo por 100). Na 
sequência, multiplique cada prazo pela taxa e pelo capital. Realize o so-
matório dos produtos e divida esse resultado pelo somatório da multi-
plicação das taxas pelos capitais. 
 
 
Prazo médio = 20 ∙ (0,02 ∙ 10.000) + 25 ∙ (0,03 ∙ 15.000) + 30 ∙ (0,04 ∙ 20.000) 
(0,02 ∙ 10.000) + (0,03 ∙ 15.000) + (0,04 ∙ 20.000) 
4.000 + 11.250 + 24.000 39.250Prazo médio = = = 27,07 dias 
200 + 450 + 800 1450 
Resposta: O prazo médio para esse cenário é de 27 dias. 
É importante ressaltar que é necessário fazer as devidas pondera-
ções nos prazos e nas taxas médias, pois, quando temos outras infor-
mações distintas e esses títulos foram aplicados, precisamos conside-
rar os pesos de ponderação para cada caso apresentado, na medida em 
que valores diferentes terão oscilações de como esses títulos rendem 
com relação aos juros durante o período de capitalização. 
PARA PENSAR 
Podemos calcular também o capital médio nas operações financeiras? 
 
Considerações finais 
Neste capítulo, aprendemos a calcular a taxa média e o prazo médio 
de títulos em operações financeiras. 
O conceito de prazo médio ou taxa média de um conjuntos de títulos 
em que o valor total desse conjunto, a uma certa taxa média ou prazo 
médio, terá o mesmo resultado que a soma dos juros de cada título in-
dividual com a mesma taxa de juros (ASSAF NETO, 2009). 
99 Taxas e prazos em aplicações financeiras
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A importância desse conceito é que podemos tomar a melhor deci-
são entre taxa e prazo médio em uma determinada operação financeira, 
analisando a melhor forma de aplicar o capital total. 
Aprendemos o conceito de média aritmética simples e média arit-
mética ponderada. A média aritmética simples é o somatório de cada 
uma das observações dividido pelo número total de elementos que 
compõem a amostra e a média aritmética ponderada é o somatório do 
produto de cada uma das observações com seus respectivos pesos di-
vidido pelo número de pesos que compõem a amostra. 
Para calcularmos a taxa média e o prazo médio, foram apresentados 
conceitos que utilizam a média aritmética simples – capital igual e taxa 
igual – e utilizando a média aritmética ponderada – capital diferente e 
taxa igual e capital diferente e taxa diferente. 
Referências 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: 
Atlas, 2009. 
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP 12C e Excel: uma 
abordagem descomplicada. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 7. ed. São 
Paulo: Saraiva, 2014. 
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Lista de exercícios do capítulo 
Introdução 
Chegou a hora de você testar os conhecimentos adquiridos neste 
capítulo sobre taxa e prazos médios. Utilize as fórmulas apresentadas 
para conseguir resolver os exercícios a seguir. 
Exercícios 
1. Calcule o prazo médio e a taxa média para as aplicações abaixo: 
VALOR TAXA MENSAL PRAZO MENSAL 
R$ 11.000 7% 5 
R$ 16.000 9% 3 
R$ 37.000 10% 7 
Resposta: taxa média: 9,41%; prazo médio: 5,76 meses (em torno de 
6 meses). 
2. Para um capital A de R$ 12.000,00 durante 9 meses, um capital B de 
R$ 16.000,00 durante 6 meses e um capital C de R$ 32.000,00 durante 
10 meses, aplicando-se a mesma taxa de juros, qual é o prazo médio? 
Resposta: O prazo médio é de 8,73 meses. 
3. Qual é a taxa média de investimento considerando-se as seguin-
tes aplicações em regime de juros simples com prazo de 1 mês? 
a. R$ 11.000 a taxa de 5% ao mês. 
b. R$ 8.000 a taxa de 7% ao mês. 
c. R$ 16.000 a taxa de 4% ao mês. 
Resposta: A taxa média é de 5,00%.