AD1-Q1-2023-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 1 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2023-2
Questão 1 (2,5 pontos) Uma pesquisa com 324 consumidores de três marcas de sabão em pó,
Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas revelou que:
1. 5 consumidores compram somente Alvo e Bem Limpo;
2. os consumidores de Cores Vivas ou compram só esta marca, ou compram somente esta marca e
mais uma das outras duas;
3. 1/3 dos consumidores de Alvo também compram outras marcas;
4. os consumidores apenas de Bem Limpo são o triplo dos consumidores apenas de Alvo, o quádruplo
dos consumidores apenas de Cores Vivas e o dobro dos que consomem Bem Limpo e Cores Vivas.
5. todos os participantes da pesquisa consomem pelo menos uma das marcas.
Para ajudar na resolução desta questão, uma dica é utilizar o diagrama de Venn abaixo. No diagrama,
A é o conjunto das pessoas que compram Alvo, B é o conjunto de quem compra Bem Limpo, e C
o conjunto de quem compra cores vivas.
Note que algumas das regiões representadas podem ser vazias, isto é, ter 0 elementos.
(a) Quantas pessoas compram as três marcas, Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas?
(b) Se chamarmos de x o número de pessoas que compram somente Alvo, qual é o número de
pessoas, em função de x, que compram Alvo e Cores Vivas mas não compram Bem Limpo?
(c) Quantas pessoas, em função de x, compraram somente Bem Limpo? E quantas compram
somente Cores Vivas?
(d) Quantas pessoas compram somente Alvo?
Solução:
(a) Pela informação 2, quem compra Cores Vivas só compra, no máximo, mais uma das outras
marcas, não comprando as outras duas. Assim, a interseção entre os três conjuntos é vazia, logo
ninguém (ou 0 pessoas) compra as três marcas, Alvo, Bem Limpo e Cores Vivas.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2023-2 2
(b) Vamos utilizar o diagrama de Venn sugerido.
Vamos preencher com x, como dito, o conjunto de quem só compra Alvo, com 0 o conjunto
de quem compra as três marcas (obtido no item anterior) e com 5 o conjunto de quem compra
somente Alvo e Bem Limpo (informação 1):
Observe a região marcada com y no diagrama abaixo, que representa quem compra Alvo e Cores
Vivas mas não compra Bem Limpo. Pela informação 3, um terço das pessoa que compram Alvo
também compram outras marcas. Como as pessoas que compram Alvo são dadas por x+y+5+0
e as que compram Alvo e outras marcas são 5 + 0 + y, temos
1
3
(x+ y + 5 + 0) = 5 + 0 + y
∴ x+ y + 5 = 15 + 3y
∴ y − 3y = 15− 5− x
∴ −2y = 10− x
∴ 2y = x− 10
∴ y =
x− 10
2
.
Assim, o número de pessoas que compram Alvo e Cores Vivas mas não compram Bem Limpo é
dado por
x− 10
2
.
(c) Por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo são o triplo dos consumidores apenas de Alvo (ou
seja, x). Com isso, os consumidores apenas de Bem Limpo são dados por 3x.
Ainda por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo (3x) são quádruplo dos consumidores apenas
de Cores Vivas, logo os consumidores apenas de Cores Vivas são
3x
4
.
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Novamente por 4, os consumidores apenas de Bem Limpo (3x) são o dobro dos que consomem
Bem Limpo e Cores Vivas, logo
3x
2
consomem Bem Limpo e Cores Vivas. Como 0 estão na
interseção A ∩B ∩ C, esses 3x
2
estão em B ∩ C − A, como no diagrama abaixo:
(d) Para saber quantas pessoas compram somente Alvo, basta descobrirmos x. Observando o di-
agrama completo do item anterior, sabendo que o total de consumidores é 324 e que, pela
informação 5, todos compram pelo menos uma das marcas, temos
x+ 5 + 0 +
x− 10
2
+ 3x+
3x
2
+
3x
4
= 324,
logo, escrevendo todos os termos sobre um mesmo denominador 4,
4x+ 20 + 0 + 2(x− 10) + 12x+ 6x+ 3x
4
=
4 · 324
4
,
e, portanto,
4x+ 20 + 2x− 20 + 12x+ 6x+ 3x = 1296,
e então
27x = 1296,
que nos dá
x =
1296
27
= 48.
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