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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA LABORATÓRIO DE CONTROLE DE PROCESSOS PRÁTICA 5– DIAGRAMA DE BODE Docente: Lucas Silvestre Chaves Discentes: Heberte Sebastião Leandro Rafael Bruno da Silva Vitor da Cunha de Souza NEPOMUCENO-MG 01/11/2022 a) Determine a função de transferência 𝑉𝐿(𝑠)/𝑉𝑔(𝑠) referente ao modelo. (1). 𝑣𝐿(𝑡) = 1 𝐶 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑡𝑜 (2). 𝑣𝑔(𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑡) + 𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 1 𝐶 ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑇 𝑡𝑜 Aplicando Laplace nas equações e substituindo a equação 1 em 2. 𝑉𝐿(𝑠) = 1 𝑠𝐶 𝑖(𝑠) 𝑉𝑔(𝑠) = 𝑅 ∙ 𝑖(𝑠) + 𝐿𝑠 ∙ 𝑖(𝑠) + 1 𝑠𝐶 𝑖(𝑠) = [𝑅 + 𝐿𝑠 + 1 𝑠𝐶 ] 𝑖(𝑠) = [ (𝑅𝑠𝐶+𝐿𝑠2𝐶+1) 𝑠𝐶 ] 𝑖(𝑠) Fazendo 𝑣𝐿(𝑠)/𝑣𝑔(𝑠) tem-se: 𝑉𝐿(𝑠) 𝑉𝑔(𝑠) = 1 𝑠𝐶 𝑖 (𝑠) [ (𝑅𝑠𝐶 + 𝐿𝑠2𝐶 + 1) 𝑠𝐶 ] 𝑖 (𝑠) = 1 𝑅𝑠𝐶 + 𝐿𝑠2𝐶 + 1 𝑉𝐿(𝑠) 𝑉𝑔(𝑠) = 1 𝐿𝐶 𝑠2 + 𝑅 𝐿 𝑠 + 1 𝐿𝐶 Substituindo os valores de R, C e L: 𝑉𝐿(𝑠) 𝑉𝑔(𝑠) = 1000 𝑠2 + 120𝑠 + 1000 b) Encontre a resposta em magnitude e em fase para uma faixa de 0 Hz até 7a harmônica, sendo 60 Hz a frequência fundamental. Respostas de magnitude e fase obtidas no scilab. Respostas de magnitude e fase obtidas no Python c) Com o auxílio dos gráficos obtidos na letra b), determine o 𝑉𝐿(𝑡) se 𝑉𝑔(𝑡) = 220√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) 𝑉. Observando pelo gráfico na frequência de 60 Hz é visto que o ganho é algo próximo de -78 dB. Ou ainda ajustando o ganho para a sua unidade padrão, tem-se algo em torno de aproximadamente 6.8 ∙ 10−3, como segue na figura a baixo: Logo fazendo, 𝑉𝐿(𝑡) = 220√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) ∗ 6.8 ∙ 10 −3 𝑉𝐿(𝑡) = 1.496√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) d) Agora determine o 𝑉𝐿(𝑡) se 𝑉𝑔(𝑡) = 220√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) + 80𝑠𝑒𝑛(2𝜋180𝑡) 𝑉. Como se sabe para 60 Hz, 𝑉𝐿(𝑡) = 1.496√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) 𝑉 Para 180 Hz, temos graficamente que: Algo em torno de 7.8 ∙ 10−4, logo: 𝑉𝐿(𝑡) = 220√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋180𝑡) ∙ 7.8 ∙ 10 −4 𝑉𝐿(𝑡) = 0.1716√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋180𝑡) A soma dos dos ganhos nas duas frequências resultam: 𝑉𝐿(𝑡) = 1.496√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋60𝑡) + 0.1716√2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋180𝑡) Observações do trabalho: Para os casos onde se desejava a tensão de saída em dada frequência, fizemos o ajuste do eixo de frequência para se ter valores mais precisos. Outra informação importante é que o pytho fornece o valor do ganho tanto em dB quanto em sua unidade padrão (número real), então nos utilizamos dessa possibilidade. Programa utlizado na obtenção do gráfico !pip install control import numpy as np from pylab import plot import control L=0.1 R=12 C=0.01 s = control.TransferFunction.s G = (1/(L*C))/((s**2)+((R/L)*s)+(2/(L*C))) control.bode_plot(G,dB=True,Hz=True,omega_limits= np.array([1,2638. 937826]))
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