Trabalho_Cotroladores_Analise_em_Frequencia (1)

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
 
 
 
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
 
CONTROLE DE PROCESSOS 
 
 
 
ATIVIDADE 1 – ANÁLISE E PROJETO DE SISTEMAS PELO MÉTODO DA 
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
 
 
 
Docente: Lucas Silvestre Chaves 
Discentes: André do Nascimento Silva 
 Rafael Bruno da Silva 
 Vitor da Cunha de Souza 
 
 
 
NEPOMUCENO 
21/11/2022 
 
 
Questão 1) Considere o sistema genérico apresentado a seguir: 
 
Projete um compensador de avanço pelo método da resposta em frequência de modo 
que o sistema de malha fechada satisfaça os seguintes requisitos: constante de erro 
estático de velocidade = 20 𝑠−1, margem de fase = 50° e margem de ganho ≥ 10 dB. 
Utilize a seguinte equação para o projeto do compensador de avanço: 
𝐺𝐶(𝑠) = 𝐾𝐶𝛼
𝑇𝑠 + 1
𝛼𝑇𝑠 + 1
= 𝐾𝐶
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛼𝑇
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 (0 < 𝛼 < 1) 
Obtenha em simulação e apresente todos os diagramas de bode necessários para a 
análise e execução do projeto, a margem de fase e de ganho da planta (𝐺(𝑠)) e da 
planta com do compensador (𝐺𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)). Apresente também as respostas do sistema 
em malha fechada não compensado e compensado ao degrau e a rampa unitária para 
validar o projeto. 
 
Questão 2) Considere a mesma planta apresentada na primeira questão. Projete agora 
um compensador de atraso pelo método da resposta em frequência de modo que o 
sistema de malha fechada satisfaça os seguintes requisitos: constante de erro estático de 
velocidade = 20 𝑠−1, margem de fase = 50° e margem de ganho ≥ 10 dB. Utilize a 
seguinte equação para o projeto do compensador de atraso: 
𝐺𝐶(𝑠) = 𝐾𝐶𝛽
𝑇𝑠 + 1
𝛽𝑇𝑠 + 1
= 𝐾𝐶
𝑠 +
1
𝑇
𝑠 +
1
𝛽𝑇
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝛽 > 1) 
Obtenha em simulação e apresente todos os diagramas de bode necessários para a 
análise e execução do projeto, a margem de fase e de ganho da planta (𝐺(𝑠)) e da 
planta com do compensador (𝐺𝐶(𝑠)𝐺(𝑠)). Apresente também as respostas do sistema 
 
 
em malha fechada não compensado e compensado ao degrau e a rampa unitária para 
validar o projeto. 
 
Questão 3) Compare as respostas obtidas pelo sistema compensado nas questões 1 e 2. 
Descreva o que foi observado nas duas soluções, tanto em regime permanente como 
transitório. O que se pode concluir com relação a escolha de qual compensador usar 
para o projeto? 
 
Solução: 
Questão 1) 
1º Passo: Determinar o ganho 𝐾 a fim de satisfazer o requisito da constante de erro 
estático de velocidade. 
𝐺1(𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) =
10𝐾
𝑠(𝑠 + 1)
 
𝐾 = 𝐾𝐶𝛼 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺1(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠
10𝐾
𝑠(𝑠 + 1)
= 20 
𝐾 = 2 
Com 𝐾 = 2, o sistema compensado satisfará o requisito de desempenho em regime 
permanente. 
 
2º Passo: Construir o diagrama de Bode do sistema com ganho ajustado, porém não 
compensado 𝐺1(𝑗𝜔) e avaliar a margem de fase. 
 
 
 
 
𝜑 = 12,76° 
 
3º Passo: Determinar o ângulo de avanço de fase necessário que deve ser acrescentado 
ao sistema. 
𝜑𝑚 = (50° − 12,76°) + 12° = 49,24° 
A adição do compensador por avanço de fase desloca a frequência de cruzamento de 
ganho para a direita e diminui a margem de fase. Por isso, deve-se somar de 5° a 12° no 
ângulo. Nesse caso, optou-se por adicionar 12°. 
 
4º Passo: Determinar o fator de atenuação 𝛼 e definir a frequência em que o módulo do 
sistema não compensado com ganho ajustado 𝐺1(𝑗𝜔) seja igual a −20 log(1 √𝛼⁄ ). 
Selecionar essa frequência como a nova frequência de cruzamento de ganho, que 
corresponde a 𝜑𝑚 = 1 √𝛼𝑇⁄ , e a defasagem máxima 𝜑𝑚ocorrerá nessa frequência. 
sin 𝜑𝑚 =
1 − 𝛼
1 + 𝛼
 
Isolando 𝛼, temos que: 
 
 
𝛼 =
1 − sin 𝜑𝑚
1 + sin 𝜑𝑚
=
1 − sin(49,24°)
1 + sin(49,24°)
= 0,1380 ≅ 0,14 
𝐺1(𝑗𝜔) = −20 log(1 √𝛼⁄ ) = −20 log(1 √0,14⁄ ) = −8,60 dB 
 
Analisando o diagrama de Bode do sistema não compensado com ganho ajustado, 
observa-se que esse valor de magnitude ocorre na frequência de 𝜔𝑚 ≅ 7,60 rad/s. 
Temos que: 
𝜔𝑚 =
1
√𝛼𝑇
 
Isolando 𝑇 e substituindo os valores de 𝛼 e 𝜔𝑚, temos que: 
𝑇 =
1
𝜔𝑚√𝛼
=
1
7,60√0,14
≅ 0,35 s 
 
5º Passo: Determinar as frequências de canto superior e inferior do compensador por 
avanço de fase. 
𝜔𝑧 =
1
𝑇
=
1
0,35
≅ 2,84 rad/s 
 
 
𝜔𝑝 =
1
𝛼𝑇
=
1
0,14 ∙ 0,35
≅ 20,31 rad/s 
 
6º Passo: Determinar o ganho do controlador por avanço de fase. 
𝐾𝐶 =
𝐾
𝛼
=
2
0,14
≅ 14,28 
 
7º Passo: Determinar a função de transferência em malha aberta do controlador por 
avanço de fase. 
𝐺𝐶(𝑠) = 14,28
𝑠 + 2,84
𝑠 + 20,31
 
Margem de fase e de ganho da planta (𝑮(𝒔)): 
 
 
 
 
 
 
 
Margem de fase e de ganho da planta com do compensador (𝑮𝑪(𝒔)𝑮(𝒔)): 
 
 
Resposta do sistema em malha fechada não compensado e compensado ao degrau: 
 
 
 
 
 
Resposta do sistema em malha fechada não compensado e compensado à rampa: 
 
Questão 2) 
1º Passo: Determinar o ganho 𝐾 para que o requisito relativo à constante de erro 
estático de velocidade seja atendido. 
𝐺1(𝑠) = 𝐾𝐺(𝑠) =
10𝐾
𝑠(𝑠 + 1)
 
𝐾 = 𝐾𝐶𝛽 
𝐾𝑣 = lim
𝑠→0
𝑠𝐺1(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠
10𝐾
𝑠(𝑠 + 1)
= 20 
𝐾 = 2 
Com 𝐾 = 2, o sistema compensado satisfará o requisito de desempenho em regime 
permanente. 
 
2º Passo: Construir o diagrama de Bode do sistema com ganho ajustado, porém não 
compensado 𝐺1(𝑗𝜔) e avaliar a margem de fase. 
 
 
 
Como o sistema não compensado com ganho ajustado não atende a especificação de 
margem de fase, deve-se determinar o ponto de frequências onde o ângulo de fase da 
função de transferência em malha aberta seja igual a -180º mais a margem de fase 
requerida. A margem de fase requerida é a margem de fase especificada acrescida de 
um ângulo de 5º a 12º. Nesse caso, optou-se por somar 12º. 
𝜑𝑚 = (50° − 180°) + 12° = −118° 
 
 
 
𝜔𝑚 = 0,52 
 
3º Passo: Determinar a frequência de canto referente ao zero do compensador. 
Para prevenir os efeitos nocivos do atraso de fase causados pelo compensador, o polo e 
o zero do compensador devem ficar localizados abaixo da nova frequência de 
cruzamento de ganho. Portanto, deve-se escolher a frequência de canto referente ao zero 
do compensador (𝜔𝑧) uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho. 
𝜔𝑧 = 0,10𝜔𝑚 = 0,10 ∙ 0,52 ≅ 0,05 rad/s 
 
4º Passo: Determinar a atenuação necessária para abaixar a curva de módulo a 0 dB na 
nova frequência de cruzamento de ganho. Desse modo, é possível determinar a outra 
frequência de canto referente ao polo do compensador. 
 
 
−20 log 𝛽 = −30 
10log 𝛽 = 10
30
20 
𝛽 ≅ 31,62 
 
 
𝑇 =
1
𝜔𝑧
=
1
0,05
= 20 s 
𝜔𝑝 =
1
𝛽𝑇
=
1
(31,62)(20)
= 0,02 rad/s 
 
5º Passo: Determinar o ganho do controlador por atraso de fase. 
𝐾𝐶 =
𝐾
𝛽
=
2
31,62
= 0,06 
 
6º Passo: Determinar a função de transferência em malha aberta do controlador por 
atraso de fase. 
𝐺𝐶(𝑠) = 0,06
𝑠 + 0,05
𝑠 + 0,02
 
Margem de fase e de ganho da planta (𝑮(𝒔)): 
 
 
 
 
 
Margem de fase e de ganho da planta com do compensador (𝑮𝑪(𝒔)𝑮(𝒔)): 
 
 
Resposta do sistema em malha fechada não compensado e compensado ao degrau: 
 
 
 
 
 
 
Resposta do sistema em malha fechada não compensado e compensado à rampa: 
 
 
Questão 3) 
Controlador por avanço de fase Controlador por atraso de fase 
 
A análise gráfica das respostas do sistema ao degrau unitário revela que o sistema com o 
compensador por avanço de fase apresentou um overshoot de aproximadamente 20 % 
enquanto que o sistema com o compensador por atraso de fase apresentou um overshoot 
de aproximadamente 15 %. Além disso, o sistema compensado utilizando o 
compensador por avanço de fase apresentou um tempo de acomodação de 
aproximadamente 1 segundo, enquanto o sistema compensado por atraso de fase 
apresenta um tempo de acomodação de aproximadamente 10 segundos. Isso significa 
que apesar de o sistema que utilizou o compensador por atraso de fase terapresentado 
 
 
um overshoot um pouco menor, o sistema tem uma resposta muito mais lenta se 
comparado com o sistema que utilizou o compensador por avanço de fase. Sendo assim, 
em termos da resposta em regime transitório, o sistema compensado que utilizou o 
compensador por avanço de fase apresentou resultados mais satisfatórios se confrontado 
com o que utilizou o compensador por atraso de fase. 
Controlador por avanço de fase Controlador por atraso de fase 
 
Por outro lado, a resposta a rampa mostra que o sistema em regime permanente do 
sistema compensado utilizando o compensador por avanço de fase apresenta um erro em 
regime permanente muito pequeno. Já o sistema compensado utilizando o compensador 
por atraso de fase apresentou um erro em regime permanente muito grande, maior até 
mesmo que o sistema original não compensado. Diante disso, fica evidente que a 
melhor opção nesse caso é utilizar o compensador por avanço de fase, uma vez que o 
mesmo atende todas as especificações de projeto, e além disso, apresentou melhores 
resultados tanto em regime transitório quanto em regime permanente. 
 
Programa em Python utilizado para gerar os diagramas de Bode das questões 1 e 
2: 
#Diagrama de Bode 
 
!pip install control 
import numpy as np 
from pylab import plot 
import control 
import warnings 
 
s = control.TransferFunction.s 
 
#Planta 
 
 
G_s = (10)/(s*(s+1)) 
 
#Sistema não compensado com ganho ajustado 
G1_s = (20)/(s*(s+1)) 
 
#Compensador por avanço de fase 
Gc_s = (14.28)*((s+2.84)/(s+20.31)) 
 
#Compensador por atraso de fase 
Gc1_s = (0.06)*((s+0.05)/(s+0.02)) 
 
#Ajuste do eixo da frequência do sistema não compensado com ganho a
justado 
#control.bode_plot(G1_s,dB=True,omega_limits= np.array([0.1,15])) 
 
#Diagrama de Bode 
control.bode(G3_s,dB=True) 
 
#Sistema compensado por avanço de fase 
G2_s = (Gc_s)*(G_s) 
 
#Sistema compensado por atraso de fase 
G3_s = (Gc1_s)*(G_s) 
 
#Diagrama de Bode do sistema não compensado 
#control.bode(G2_s,dB=True) 
 
plot() 
print("G3(s) = " , G3_s) 
gm, pm, wg, wp = control.margin(G3_s) 
print("Resultados:") 
print("Margem de Ganho: "+str(gm)+' dB\n') 
print(f'Margem de fase: {round(pm, 2)}'+' graus\n') 
 
Programa em Python utilizado para gerar a resposta ao degrau unitário das 
questões 1 e 2: 
!pip install slycot # optional 
!pip install control 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import control 
 
s = control.tf('s') 
 
#Compensador por avanço de fase 
Gc1 = (14.28*(s+2.84))/((s+20.31)) 
 
 
 
#Compensador por atraso de fase 
Gc2 = (0.06*(s+0.05))/((s+0.02)) 
 
#planta 
G = 10/(s**2+s) 
 
#Malha Fechada com o compensador por avanço de fase 
MF1 = G*Gc1/(1+G*Gc1) 
 
#Malha Fechada com o compensador por atraso de fase 
MF2 = G*Gc2/(1+G*Gc2) 
 
#Malha Fechada sem o compensador 
MF = G/(1+G) 
print('MF(s) =', MF) 
#Resposta ao degrau unitário 
t,y = control.step_response(MF2,10) 
t2,y2 = control.step_response(MF,10) 
 
#Gráfico 
plt.rcParams.update({'font.size': 10}) 
plt.figure() 
plt.plot(t,y,'r-
',label="Resposta ao degrau do sistema compensado"); 
plt.plot(t2,y2,label="Resposta ao degrau do sistema não compensado"
); 
plt.grid() 
plt.xlabel('Tempo (s)') 
plt.legend() 
plt.show 
 
Programa em Python utilizado para gerar a resposta à rampa das questões 1 e 2: 
!pip install slycot # optional 
!pip install control 
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np 
import control 
 
s = control.tf('s') 
 
#compensador por avanço de fase 
Gc1 = (14.28*(s+2.84))/((s+20.31)) 
 
#compensador por atraso de fase 
Gc2 = (0.06*(s+0.05))/((s+0.02)) 
 
 
 
#planta 
G = 10/(s**2+s) 
 
#Malha Fechada com o compensador por avanço de fase 
MF2 = (G*Gc1/(1+G*Gc1))*1/s 
 
#Malha Fechada com o compensador por atraso de fase 
MF3 = (G*Gc2/(1+G*Gc2))*1/s 
 
#Malha Fechada sem o compensador 
MF = (G/(1+G))*1/s 
MF1= 1/s 
print('MF(s) =', MF) 
 
#Resposta 
#t,y = control.step_response(MF2,3) 
t2,y2 = control.step_response(MF,3) 
t3,y3= control.step_response(MF1,3) 
t4,y4= control.step_response(MF3,3) 
 
#Gráfico 
plt.rcParams.update({'font.size': 10}) 
plt.figure() 
#plt.plot(t,y,'r-
',label="Resposta à rampa do sistema compensado por avanço de fase"
); 
plt.plot(t4,y4,'r-
',label="Resposta à rampa do sistema compensado por atraso de fase"
); 
plt.plot(t2,y2,label="Resposta à rampa do sistema não compensado"); 
plt.plot(t3,y3,'--',label="rampa unitaria"); 
plt.grid() 
 
plt.xlabel('Tempo (s)') 
plt.legend() 
plt.show